宝くじの当選確率は?当選金額の期待値を計算してみよう!

この記事では、身近な例の「宝くじ」の当選金額を求めることで、確率・期待値の公式への理解を深めていきます。

確率・期待値の考え方が身の回りでも利用できることを実感してもらえればと思います!

 

確率・期待値とは?

まずは、確率と期待値の定義を確認しましょう。

確率

ある事象(出来事)の起こりやすさ(割合)。

確率とは?公式、問題での計算式の立て方と解き方

期待値

ある試行を行ったときにその結果として得られる数値の平均値。

期待値とは?計算公式と求め方、確率変数・確率分布の意味も!

 

身の回りでは、確率がたくさん利用されています。

友達とのじゃんけんで勝つ確率、ある病気になる確率、自分の欲しいキャラがガチャで当たる確率、など様々な確率がこの世には存在します。

もしかすると「確率なんか勉強してなにになるの?」「将来に役立つの?」と考えている人もいるかもしれません。

そこで、最も夢のある確率である「宝くじの当選」について、当選金額の期待値を実際に求めることで、確率の便利さ・有用さを感じてみましょう!

 

例題「宝くじの当選金額の期待値を計算する」

下の表はある宝くじの等賞ごとの当選金額と当選確率です。

実際にこの宝くじの当選金額の期待値を求めてみましょう。

 

期待値は、次の公式で求められます。

期待値の公式

ある試行において、確率変数 \(X\) のとりうる値を \(x_1, x_2, ・・・, x_n\)、\(X\) がその値をとる確率をそれぞれ \(p_1, p_2, ・・・, p_n\) とすると、この確率変数の期待値 \(E[X]\) は

\begin{align}\color{red}{E[X] = x_1p_1 + x_2p_2 + ・・・ + x_np_n}\end{align}

 

今回の問題では、確率変数 \(X\) が「当選金額」ですね。

数が大きくて少し大変ですが、確率分布表を書いて、確率変数ごとの確率を整理しましょう。

そして、確率変数を確率で重み付けした値 (\(x_np_n\)) を計算します。

なお、当選しなかった場合の当選金額は当然 \(0\) 円なので、重み付けした値は確率によらず \(0\) になりますね。

 

あとは期待値の公式に当てはめるだけです。

\(E[X]\)

 

\(= x_1p_1 + x_2p_2 + ・・・ + x_9p_9\)

 

\(= 35 + 15 + 0.995 + 1.5 \) \(+ \ 5 + 20 + 10 + 30 + 30\)

 

\(= 147.495\)

 

\(≒ 147.5\)

よって、当選金額の期待値は約 \(147.5\) 円と求めることができました!

 

あなたは宝くじを買いますか?

さて、先ほどの宝くじの当選金額の期待値は \(147.5\) 円でした。

このことから何がわかるでしょうか。

単純に言えば、「この宝くじが \(\bf{1}\) \(\bf{148}\) 円以上であれば損する可能性が高い」ということですね。

しかし、\(1\) 枚購入するだけで \(7\) 億円が当たる可能性も決して \(0\) ではありません。

当選金額の期待値 \(147.5\) 円を高いと思うか低いと思うかは、人によるでしょう。

あなたは、この宝くじが \(1\) 枚いくらなら買いますか?

 

このように「当選確率」や「当選金額の期待値」がわかっていれば、購入する際に損する可能性の大きさなどを判断できます。

「\(1\) 枚○○円なら購入しよう」「購入するかしないか」「何枚購入するか」などを直感や勘ではなく、論理的に考えることができるのです。

今回は宝くじを例に考えましたが、最初にも述べたように確率は身の回りの様々な場面で利用されています。

「降水確率が \(80\) % なら傘を持っていくけど、\(20\) % なら持っていかない」などは意識せずに確率を利用している例といえますね。

 

普段何気なく利用している確率や期待値の考え方をきちんと理解し、少し意識すれば、あなたはもしかすると他の人よりも「運のいい」人生を送れるかもしれませんね!

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