条件付き確率とは?公式や問題、ベイズの定理(不良品の例)も!

この記事では、「条件付き確率」の公式や問題の解き方をできるだけわかりやすく解説していきます。

また、発展的な内容として、条件付き確率の公式から派生した「ベイズの定理」についても紹介します。

条件付き確率は大学受験でも頻出なので、この記事を通してマスターしてくださいね!

 

条件付き確率とは?【公式】

条件付き確率とは、ある事象が起きたという条件のもとで、もう \(1\) つの事象が起きる確率のことです。

条件付き確率の公式

事象 \(A\) が起きたという条件のもとで事象 \(B\) が起きる確率 \(P(B | A)\) は以下のように表される。

\begin{align}\color{red}{P(B | A)} & \ \color{red}{= \displaystyle \frac{P(A ∩ B)}{P(A)}}\\\\ & \ = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{n(A ∩ B)}{n(U)}}{\displaystyle \frac{n(A)}{n(U)}}\\\\ & \ \color{red}{= \displaystyle \frac{n(A ∩ B)}{n(A)}}\end{align}

 

ただし、\(P(X)\) は事象 \(X\) が起こる確率、\(n(X)\) は事象 \(X\) の場合の数を表す。

  • \(U\) : 起こりうるすべての事象
  • \(A ∩ B\) : 事象 \(A\) と事象 \(B\) が同時に起こる事象

 

条件付き確率の公式の意味

単に事象 \(B\) が起こる確率を求めるならば、全事象 \(U\) の場合の数を分母にとって

\(P(B) = \displaystyle \frac{n(B)}{n(U)}\)

と計算しますよね。

 

一方、条件付き確率では、全事象 \(U\) ではなく条件(前提)となる事象 \(A\) の場合の数を分母にとります

「事象 \(A\) がすでに起きた」ことを前提としているので、事象 \(A\) が起きない場合は最初から考慮しない、ということですね。

 

条件付き確率の表し方

ちなみに、条件付き確率は \(\color{red}{P(B | A)}\) や \(\color{red}{P_A(B)}\) などと表されます。

どちらを使っても大丈夫です。

条件付き確率の表し方

事象 \(A\) が起きたという条件のもとで事象 \(B\) が起きる確率は、

\(\color{red}{P(B | A)}\) または \(\color{red}{P_A(B)}\)

と表せる。

 

条件付き確率の求め方【例題】

公式を使った、条件付き確率の求め方を見ていきましょう。

例題

次の図の袋の中には、赤い玉が \(3\) 個、白い玉が \(3\) 個入っています。

赤い玉のうち \(1\) つには「X」、残りの \(2\) つには「Y」と書かれています。

一方、白い玉のうち \(2\) つには「X」、残りの \(1\) つには「Y」と書かれています。

(1) この袋の中から玉を \(1\) つ取り出す時、「X」と書かれた赤色の玉が取り出される確率はいくらでしょうか。

(2) この袋の中から玉を \(1\) つ取り出した時、その玉は赤色でした。この赤い玉に「X」と書かれている確率はいくらでしょうか。

 

(1) は通常の確率を求める問題です。

(2) は、取り出した \(1\) つの玉が赤色であるという条件のもとで「X」と書かれている確率なので、条件付き確率になります。

玉が赤色であるという事象を \(A\)、この赤い玉に「X」と書かれている事象を \(B\) として、条件付き確率の公式を使ってみましょう。

解答

 

(1)

\(6\) 個の玉のうち、「X」と書かれた赤色の玉は \(1\) 個なので、求めたい確率は

\(\displaystyle \frac{1}{6}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{6}}\)

 

 

(2)

取り出した玉が赤色であるという事象を \(A\)、取り出した玉が「X」と書かれている事象を \(B\) とする。

 

赤玉は \(6\) 個中 \(3\) 個なので、

\(P(A) = \displaystyle \frac{3}{6} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

 

(1) より、「X」と書かれた赤色の玉が取り出される確率 \(P(A ∩ B)\) は

\(P(A ∩ B) = \displaystyle \frac{1}{6}\)

 

したがって、求めたい確率 \(P(B | A)\) は

\(P(B | A) = \displaystyle \frac{P(A ∩ B)}{P(A)} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{1}{2}} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{3}}\)

(1)、(2) ともに「X」と書かれた赤玉を取り出す確率ですが、(2) は取り出した玉が赤色であるという条件のもとでの確率なので (1) とは確率が異なりますね。

これが「条件付き確率」です。

ちなみに、(2) の条件付き確率は場合の数から求めることもできます。

(2) の別解

 

取り出した玉が赤色であるという事象を \(A\)、取り出した玉が「X」と書かれている事象を \(B\) とする。

 

赤玉は \(3\) 個あるので

\(n(A) = 3\)

 

「X」と書かれた赤色の玉は \(1\) 個なので

\(n(A ∩ B) = 1\)

 

したがって、求めたい確率 \(P(B | A)\) は

\(P(B | A) = \displaystyle \frac{n(A ∩ B)}{n(A)} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{3}}\)

 

条件付き確率の練習問題

それでは、練習問題に挑戦しましょう。

練習問題①「2 つのサイコロの目の和」

練習問題①

大小のサイコロが \(1\) つずつある。

この \(2\) つのサイコロを同時に振り、出た目の和が \(10\) のときに小さいサイコロの目が \(2\) の倍数である確率を求めよ。

 

出た目の和が \(10\) であるという条件のもとで小さいサイコロの目が \(2\) の倍数である確率なので、条件付き確率です。

解答

 

事象 \(A\) を「出た目の和が \(10\) 」、事象 \(B\) を「小サイコロの目が \(2\) の倍数」とする。

 

出た目の和が \(10\) になるのは、

(大サイコロの目, 小サイコロの目)

\(= (4 , 6) , (5 , 5) , (6 , 4)\)

になるときであるから、

\(P(A) = \displaystyle \frac{3}{36} = \displaystyle \frac{1}{12}\)

 

出た目の和が \(10\) かつ小サイコロの目が \(2\) の倍数である確率 \(P(A ∩ B)\) は

\(P(A ∩ B) = \displaystyle \frac{2}{36} = \displaystyle \frac{1}{18}\)

 

よって求めたい確率は

\(P(B | A) = \displaystyle \frac{P(A ∩ B)}{P(A)} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{18}}{\displaystyle \frac{1}{12}} = \displaystyle \frac{2}{3}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{2}{3}\)

 

練習問題②「ある参加者が男性である確率」

練習問題②

あるイベントにおいて参加した男女の割合が男性 \(30\) %、女性 \(70\) %、独身率が男性 \(40\) %、女性 \(30\) %だった。

インタビューしたある参加者が独身だった場合、この人が男性である確率を求めよ。

 

インタビューした人が独身であるという条件のもとでこの人が男性である確率なので、条件付き確率ですね。

解答

 

事象 \(A\) を「インタビューした人が独身である」、事象 \(B\) を「男性にインタビューする」とする。

 

参加者全体の \(30\) % が男性、そのうちの \(40\) % が独身であるから、参加者のうち男性かつ独身である人の割合 \(P(A ∩ B)\) は

\(P(A ∩ B) = \displaystyle \frac{30}{100} \times \displaystyle \frac{40}{100} = \displaystyle \frac{12}{100}\)

 

同様に、参加者全体の \(70\) % が女性、そのうちの \(30\) % が独身であるから、参加者のうち独身である人の割合 \(P(A)\) は

\(\begin{align}P(A) &= \displaystyle \frac{12}{100} + \left(\displaystyle \frac{70}{100} \times \displaystyle \frac{30}{100}\right)\\\\&= \displaystyle \frac{12}{100} + \displaystyle \frac{21}{100}\\\\&= \displaystyle \frac{33}{100}\end{align}\)

 

 

よって求めたい確率は

 

\(\begin{align}P(B | A) &= \displaystyle \frac{P(A ∩ B)}{P(A)}\\\\&= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{12}{100}}{\displaystyle \frac{33}{100}}\\\\&= \displaystyle \frac{12}{33}\\\\&= \displaystyle \frac{4}{11}\end{align}\)

 

 

答え: \(\displaystyle \frac{4}{11}\)

以上で練習問題は終わりです。

条件付き確率は苦手な人が多いですが、基本を押さえれば難しくないのでいろいろな問題を解いて慣れていってくださいね。

 

最後に、少し発展的な内容である「ベイズの定理」について説明していきます。

(興味のない人は読み飛ばして大丈夫です!)

 

【発展】ベイズの定理

ベイズの定理は、条件付き確率の公式から導かれる次の定理です。

ベイズの定理

ある事象 \(A\) について、

  • \(P(A)\) : 事象 \(B\) が起きる前の事象 \(A\) の確率(事前確率
  • \(P(A | B)\) : 事象 \(B\) が起こったという条件のもとで事象 \(A\) が起こる確率(事後確率

とすると、事後確率 \(P(A | B)\) は以下の式で求められる。

\begin{align}\color{red}{P(A | B) = \displaystyle \frac{P(B | A) \times P(A)}{P(B)}}\end{align}

 

ベイズの定理でできること

このベイズの定理はどのようなときに使われるのでしょうか。

一般的な確率は、「明日の降水確率が \(90\) %」のように未来の予想について使われます。

しかしベイズの定理では時間軸が逆になります。

つまり、「ある事象が起こった原因を確率的に求める」ことが目的になります。

例えばある犯罪が起きたとして、「このような手口の犯罪が発生したが、このようなケースが起こる原因は〇〇〇の可能性が高い」といった感じです。

 

ベイズの定理の導出

条件付き確率からベイズの定理を導出してみましょう。

ある事象 \(A\) が起こったという条件のもとで事象 \(B\) が起こる確率 \(P(B | A)\) は

\(P(B | A) = \displaystyle \frac{P(A ∩ B)}{P(A)}\)

式を変形して、

\(P(A ∩ B) = P(B | A) \times P(A)\)

 

同様に、ある事象 \(B\) が起こったという条件のもとで事象 \(A\) が起こる確率 \(P(A | B)\) は

\(P(A | B) = \displaystyle \frac{P(B ∩ A)}{P(B)}\)

式を変形して、

\(P(B ∩ A) = P(A | B) \times P(B)\)

 

ここで、\(P(A ∩ B) = P(B ∩ A)\) であるから

\(P(B | A) \times P(A) = P(A | B) \times P(B)\)

 

よって

\(P(A | B) = \displaystyle \frac{P(B | A) \times P(A)}{P(B)}\)

 

例題「不良品がX工場で出た確率」

実際にベイズの定理を使う例題を見てみましょう。

例題

ある製品の部品が X という工場で \(40\) %、Y という工場で \(60\) % 生産されている。

X 工場では \(1\) % の確率で、Y 工場では \(2\) % の確率で不良品が含まれる。

ある日、\(1\) つの部品を取り出すと不良品だった。

この不良品が X 工場で生産された確率はいくらか。

 

事象 \(A\) を「部品が X 工場で生産された」、事象 \(B\) を「取り出した部品が不良品である」とします。

「見つかったある不良品が工場 X から生産された確率」は、\(P(A | B)\) で計算できますね。

これは結果(= 不良品があった)から原因(= どっちの工場から出たか)を求めようとしている、つまり一般的な確率とは時間軸が逆の確率を求めることになります。

実際に求めてみましょう。

解答

 

生産される全部品の \(40\) % が X 工場で生産されることから、

\(P(A) = \displaystyle \frac{40}{100}\)

 

X 工場では \(1\) % の確率で不良品が含まれるから、X 工場で生産された部品が不良品である確率 \(P(B | A)\) は、

\(P(B | A) = \displaystyle \frac{1}{100}\)

 

生産される全部品の \(40\) % が X 工場で生産され、うち \(1\) % が不良品、\(60\) % が Y 工場で生産され、うち \(2\) % が不良品であることから、取り出した部品が不良品である確率 \(P(B)\) は

\(\begin{align}P(B) &= \left(\displaystyle \frac{40}{100} \times \displaystyle \frac{1}{100}\right) + \left(\displaystyle \frac{60}{100} \times \displaystyle \frac{2}{100}\right)\\\\&= \displaystyle \frac{4}{1000} + \displaystyle \frac{12}{1000}\\\\&= \displaystyle \frac{16}{1000}\\\\&= \displaystyle \frac{2}{125}\end{align}\)

 

 

ベイズの定理より、求めたい確率 \(P(A | B)\) は

\(\begin{align}P(A | B) &= \displaystyle \frac{P(B | A) \times P(A)}{P(B)} \\\\&= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{100} \times \displaystyle \frac{40}{100}}{\displaystyle \frac{2}{125}} \\\\&= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{250}}{\displaystyle \frac{2}{125}}\\\\&= \displaystyle \frac{1}{250} \times \displaystyle \frac{125}{2}\\\\&= \displaystyle \frac{1}{4}\end{align}\)

 

 

答え: \(\displaystyle \frac{1}{4}\)

ベイズの定理は、条件付き確率の公式を式変形しただけなので、本質的には同じものです。

ただし、条件付き確率が「ある条件下で起こる事象(結果)を確率的に求める」のに対し、ベイズの定理では「ある事象(結果)が起こった原因を確率的に求める」ことができます。

そのため、ベイズの定理を利用したベイズ統計学では、過去の経験や新しく蓄積されたデータから、ある事象が起こる確率を更新する(精度を高めていく)ことができるのです。

 

ベイズの定理は少し発展的な内容であり、大学受験においては必要ありません。

ですが、条件付き確率をしっかり理解した上で、豆知識として知っておいて損はないですよ!

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