条件付き確率とは？公式や問題、ベイズの定理（不良品の例）も！

 

(1)

\(6\) 個の玉のうち、「X」と書かれた赤色の玉は \(1\) 個なので、求めたい確率は \(\displaystyle \frac{1}{6}\)

 

答え：　\(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{6}}\)

 

 

(2)

取り出した玉が赤色であるという事象を \(A\)、取り出した玉が「X」と書かれている事象を \(B\) とする。

 

赤玉は \(6\) 個中 \(3\) 個なので、

\(P(A) = \displaystyle \frac{3}{6} = \displaystyle \frac{1}{2}\)

 

(1) より、「X」と書かれた赤色の玉が取り出される確率 \(P(A ∩ B)\) は

\(P(A ∩ B) = \displaystyle \frac{1}{6}\)

 

したがって、求めたい確率 \(P(B | A)\) は

\(P(B | A) = \displaystyle \frac{P(A ∩ B)}{P(A)} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{6}}{\displaystyle \frac{1}{2}} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

 

答え：　\(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{3}}\)

 

取り出した玉が赤色であるという事象を \(A\)、取り出した玉が「X」と書かれている事象を \(B\) とする。

 

赤玉は \(3\) 個あるので

\(n(A) = 3\)

 

「X」と書かれた赤色の玉は \(1\) 個なので

\(n(A ∩ B) = 1\)

 

したがって、求めたい確率 \(P(B | A)\) は

\(P(B | A) = \displaystyle \frac{n(A ∩ B)}{n(A)} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

 

答え：　\(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{3}}\)

 

事象 \(A\) を「出た目の和が \(10\)」、事象 \(B\) を「小サイコロの目が \(2\) の倍数」とする。

 

出た目の和が \(10\) になるのは、

(大サイコロの目, 小サイコロの目)

\(= (4 , 6) , (5 , 5) , (6 , 4)\)

になるときであるから、

\(P(A) = \displaystyle \frac{3}{36} = \displaystyle \frac{1}{12}\)

 

出た目の和が \(10\) かつ小サイコロの目が \(2\) の倍数である確率 \(P(A ∩ B)\) は

\(P(A ∩ B) = \displaystyle \frac{2}{36} = \displaystyle \frac{1}{18}\)

 

よって求めたい確率は

\(P(B | A) = \displaystyle \frac{P(A ∩ B)}{P(A)} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{18}}{\displaystyle \frac{1}{12}} = \displaystyle \frac{2}{3}\)

 

答え：　\(\displaystyle \frac{2}{3}\)

 

事象 \(A\) を「インタビューした人が独身である」、事象 \(B\) を「男性にインタビューする」とする。

 

参加者全体の \(30\) % が男性、そのうちの \(40\) % が独身であるから、参加者のうち男性かつ独身である人の割合 \(P(A ∩ B)\) は

\(P(A ∩ B) = \displaystyle \frac{30}{100} \times \displaystyle \frac{40}{100} = \displaystyle \frac{12}{100}\)

 

同様に、参加者全体の \(70\) % が女性、そのうちの \(30\) % が独身であるから、参加者のうち独身である人の割合 \(P(A)\) は

\(\begin{align}P(A) &= \displaystyle \frac{12}{100} + \left(\displaystyle \frac{70}{100} \times \displaystyle \frac{30}{100}\right)\\\\&= \displaystyle \frac{12}{100} + \displaystyle \frac{21}{100}\\\\&= \displaystyle \frac{33}{100}\end{align}\)

 

 

よって求めたい確率は

 

\(\begin{align}P(B | A) &= \displaystyle \frac{P(A ∩ B)}{P(A)}\\\\&= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{12}{100}}{\displaystyle \frac{33}{100}}\\\\&= \displaystyle \frac{12}{33}\\\\&= \displaystyle \frac{4}{11}\end{align}\)

 

 

答え：　\(\displaystyle \frac{4}{11}\)

 

生産される全部品の \(40\) % が X 工場で生産されることから、

\(P(A) = \displaystyle \frac{40}{100}\)

 

X 工場では \(1\) % の確率で不良品が含まれるから、X 工場で生産された部品が不良品である確率 \(P(B | A)\) は、

\(P(B | A) = \displaystyle \frac{1}{100}\)

 

生産される全部品の \(40\) % が X 工場で生産され、うち \(1\) % が不良品、\(60\) % が Y 工場で生産され、うち \(2\) % が不良品であることから、取り出した部品が不良品である確率 \(P(B)\) は

\(\begin{align}P(B) &= \left(\displaystyle \frac{40}{100} \times \displaystyle \frac{1}{100}\right) + \left(\displaystyle \frac{60}{100} \times \displaystyle \frac{2}{100}\right)\\\\&= \displaystyle \frac{4}{1000} + \displaystyle \frac{12}{1000}\\\\&= \displaystyle \frac{16}{1000}\\\\&= \displaystyle \frac{2}{125}\end{align}\)

 

 

ベイズの定理より、求めたい確率 \(P(A | B)\) は

\(\begin{align}P(A | B) &= \displaystyle \frac{P(B | A) \times P(A)}{P(B)} \\\\&= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{100} \times \displaystyle \frac{40}{100}}{\displaystyle \frac{2}{125}} \\\\&= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{250}}{\displaystyle \frac{2}{125}}\\\\&= \displaystyle \frac{1}{250} \times \displaystyle \frac{125}{2}\\\\&= \displaystyle \frac{1}{4}\end{align}\)

 

 

答え：　\(\displaystyle \frac{1}{4}\)