この記事では、「順列」の公式や問題の解き方をできるだけわかりやすく解説していきます。
重複順列の問題なども紹介していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね！
目次
順列 P とは？
順列とは、人や物に順番をつけて \(1\) 列に並べることです。
順列を意味する英単語「Permutation」の頭文字をとって記号「\({}\mathrm{P}\)」で表します。
\(n\) 個の中から異なる \(r\) 個を取り出して \(1\) 列に並べる順列の場合の数は、
\begin{align}\color{red}{{}_n \mathrm{P}_r}\end{align}
「順列」とよく混同される「組み合わせ」との違いを解説した以下の記事もぜひご覧ください！
順列と組み合わせの違いと見分け方！公式や練習問題
順列には、通常の「順列」に加えて、「円順列」「じゅず順列」「重複順列」など特殊な順列が存在します。
次の章から順番に解説していきます。
順列の公式
まずは、通常の順列（一列に並べる場合の数）の公式です。
異なる \(n\) 個のものの中から異なる \(r\) 個を取り出して \(1\) 列に並べる場合の数は
\begin{align}\color{red}{{}_n \mathrm{P}_r} &\color{red}{= \displaystyle \frac{n!}{(n − r)!}}\\&\color{red}{= n(n − 1)(n − 2) … (n − r + 1)}\end{align}
ある数から \(1\) までの整数の積のことを「階乗」といい、記号「\(!\)」で表現します。
\(n\) の階乗 \(n!\) は次のように計算できます。
\(n! = n(n − 1)(n − 2) \cdots 1\)
\(n\) 個から \(r\) 個を取り出して並べる順列は、\(n\) の階乗を \((n − r)\) の階乗で割れば求められます。
\(n\) や \(r\) で書かれるとわかりづらいのですが、このとき、分子と分母で \((n − r)!\) が相殺され、\(n\) から \(r\) 個分の階乗部分だけが残ります。
順列の計算方法【例題】
それでは、実際に例題を解いてみましょう。
A、B、C、D、E の \(5\) 人がいる。
(1) \(5\) 人の中から \(3\) 人選んで並べる方法は何通りか。
(2) 全員の並び方は何通りか。
どちらの問題も順列の公式を使って解いていきます。
(1)
\(5\) 人の中から \(3\) 人選んで並べる場合の数は
\(\begin{align}{}_5 \mathrm{P}_3 &= \displaystyle \frac{5!}{2!}\\&= \displaystyle \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1}\\&= 5 \cdot 4 \cdot 3\\&= 60\end{align}\)
答え： \(60\) 通り
(2)
全員の並び方は \(5\) 人から \(5\) 人を選んで並べる場合の数なので
\(\begin{align}{}_5 \mathrm{P}_5 &= \displaystyle \frac{5!}{0!}\\&= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\&= 120\end{align}\)
答え： \(120\) 通り
順列 \({}_n \mathrm{P}_r\) の計算に慣れてきたら、\(n\) の階乗を \(r\) 個までで止める！という風に計算すると早く求められますよ。
（例）
- \({}_5 \mathrm{P}_1 = 5\)
\(5\) の階乗を \(1\) 個までで止める - \({}_5 \mathrm{P}_3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\)
\(5\) の階乗を \(3\) 個までで止める - \({}_5 \mathrm{P}_5 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\)
\(5\) の階乗を \(5\) 個（最後）まで続ける
円順列の公式
円順列とは、人や物を円形に並べる順列です。
異なる \(n\) 個のものの円順列の場合の数は
\begin{align}\color{red}{(n − 1)!}\end{align}
円順列では、回転して並び方が一致するものは同じ順列であると考えます。
そのため、\(n\) 個のうちの \(1\) 個の位置を固定して場合の数を考えます。
例えば、A、B、C の \(3\) 人を円形に並べる場合、A の位置を固定してあげると、あとは B、C の \(\bf{2}\) 人の並び方だけを考えればいいのです。
したがって、求める場合の数は
\((3 − 1)! = 2! = 2 \times 1 = \color{red}{2}\)
となります。
公式が \((n \color{red}{− 1})\) の階乗となっているのはこのためです。
円順列の計算方法【例題】
実際に円順列の例題を解いてみましょう。
A、B、C、D、E の \(5\) 人がいる。この \(5\) 人が円形に並ぶときの並び方は何通りか。
円形に並ぶときの場合の数なので、円順列ですね。
\(5\) 人が円形に並ぶときの並び方なので
\(\begin{align}(5 − 1)! &= 4!\\&= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\&= 24\end{align}\)
答え： \(24\) 通り
じゅず順列の公式
じゅず順列とは、ものを円形に並べるとき、裏返しによって並び方が一致するものは同じとみなす順列のことです。
異なる \(n\) 個のもののじゅず順列の場合の数は
\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{(n − 1)!}{2}}\end{align}
「裏返したときに同じ並びならば同じもの」とみなされるので、円順列の場合の数を単純に半分にすれば求められます。
公式自体は簡単なのですが、問題を読んでそれが円順列なのか、じゅず順列なのかを判断できるかがポイントになります。
じゅず順列の計算方法【例題】
実際に \(1\) 問解いてみましょう。
赤、青、黄、緑、黒の \(5\) つのビーズを円形に並べるとき、何種類のブレスレットが作れるか。
円形に並べる場合の数であり、かつ、ブレスレットは裏返すことができるので、じゅず順列です。
\(5\) 色のビーズのじゅず順列なので
\(\begin{align}\displaystyle \frac{(5 − 1)!}{2}&= \displaystyle \frac{4!}{2}\\&= \displaystyle \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2}\\&= 12\end{align}\)
答え： \(12\) 通り
重複順列の公式
重複順列とは、異なる \(n\) 個のものの中から重複を許して \(r\) 個を取り出し、\(1\) 列に並べる順列のことです。
異なる \(n\) 個のものの中から、重複を許して \(r\) 個を取り出し、\(1\) 列に並べる場合の数は
\begin{align}\color{red}{n^r}\end{align}
通常の順列では異なる \(r\) 個を選びますが、重複順列では同じものをいくつ選んでもいいという特徴があります。
\(r\) 個のものを取り出すとき、毎回 \(n\) 個から選んで取り出すことができるので、\(n\) を \(r\) 回かければよいのですね。
重複順列の計算方法【例題】
実際に例題を解いてみましょう。
A、B、C、D、E の \(5\) 人がいる。この \(5\) 人を X と Y の \(2\) つの部屋に分ける方法は何通りか。
ただし、どちらの部屋にも最低 \(1\) 人は入ることとする。
\(5\) 人それぞれが X、Y のどちらかを選べるので、「X か Y のうち、重複を許して \(5\) つを取り出して \(1\) 列に並べる」重複順列と考えることができます。
例えば、「XXXYX」ならA・B・C・E の \(4\) 人は X の部屋、D は Y の部屋といった感じです。
ただし、「どちらの部屋にも最低 \(1\) 人は入る」ので、\(5\) 人全員が X または Y の部屋に固まる場合は除きましょう。
\(5\) 人が X と Y の \(2\) 部屋から重複を許して部屋を選ぶ場合の数は、
\(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\)（通り）
このうち、全員が X、または全員が Y の部屋を選ぶ場合の数はそれぞれ \(1\) 通り。
したがって、\(5\) 人を X と Y の \(2\) つの部屋に分ける場合の数は、
\(32 − 2 = 30\)（通り）
答え： \(\color{red}{30}\) 通り
順列の計算問題
ここまでの知識を使って、実際に問題を解いてみましょう。
各問題で求めるのはどの順列なのかを見極めてみてください。
計算問題①「数字を選び、3 桁の整数を作る」
\(9\) 個の数字 \(1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9\) から異なる \(3\) つの数字を選んでできる \(3\) 桁の整数はいくつあるか。
\(9\) 個の数字から異なる \(3\) つの数字を取り出して \(1\) 列に並べるので、順列の公式を使って求めましょう。
\(9\) 個の数字から異なる \(3\) つの数字を取り出して並べる順列は
\({}_9 \mathrm{P}_3 = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504\)
答え： \(504\) 通り
計算問題②「重複を許して数字を選び、3 桁の整数を作る」
\(10\) 個の数字 \(0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9\) から重複を許して \(3\) つの数字を選んでできる \(3\) 桁の整数はいくつあるか。
「重複を許して」とあるので、重複順列になります。
\(3\) 桁の整数を作るので、百の位の数字が \(0\) になる場合は除くことに注意しましょう。
\(10\) 個の数字 \(0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9\) から重複を許して \(3\) つの数字を選んで並べる場合の数は、
\(10^3 = 1000\)（通り）
このうち、百の位が \(0\) となる並べ方は
\(1 \times 10^2 = 100\)（通り）
したがって、求める場合の数は
\(1000 − 100 = 900\)（通り）
答え： \(900\) 通り
計算問題③「円卓の座り方」
A、B、C、D、E、F の \(6\) 人を円卓に座らせる。
(1) \(6\) 人の座り方には何通りあるか。
(2) A、B が隣り合う座り方は何通りか。
円卓に座るということは、円順列です。
(2) では、隣り合う \(2\) 人をまとめて \(1\) 人とみなして考えます。
その後に、この \(2\) 人の並び方を考慮するのを忘れないようにしましょう。
(1)
\(6\) 人の円順列であるから、
\(\begin{align}(6 − 1)! &= 5!\\&= 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\&= 120\end{align}\)
答え： \(120\) 通り
(2)
A と B をまとめて \(1\) 人とみなすと、\(5\) 人の円順列であるから、
\(\begin{align}(5 − 1)! &= 4!\\&= 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1\\&= 24\end{align}\)
A、B の並び方には \(2! = 2\) 通りあるので、
積の法則より
\(24 \times 2 = 48\) (通り)
答え： \(48\) 通り
以上で問題も終わりです。
順列は確率などを求める際にも使うので、しっかりとした理解が必要です。
たくさん問題を解いて慣れていきましょう！