順列と組み合わせの違いと見分け方!公式や計算問題

この記事では「順列」と「組み合わせ」の違いや見分け方について、公式や計算問題を通してできるだけわかりやすく解説していきます。

この \(2\) つはよく混同されるので、この記事を通してしっかりマスターしてくださいね!

 

順列と組み合わせの違い

順列と組み合わせの違いは、選び出した/取り出したものの並び順を考慮するかどうかです。

「順列」は取り出したものの並び順を考慮しますが、「組み合わせ」では並び順を考慮しません

 

例えば \(5\) 人 (A , B , C , D , E) の中から \(2\) 人を選ぶ順列と組み合わせを考えましょう。

人の選び方には A と B、B と C、C と D などがありますね。

「順列」では AB と BA を区別しますが、「組み合わせ」では区別しません。

これが、順列と組み合わせの大きな違いです!

 

順列と組み合わせの公式

それぞれの意味と公式を軽くおさらいしておきましょう。

順列の公式

順列とは、人や物に順番をつけて \(\bf{1}\) 列に並べることです。

英単語「Permutation」の頭文字をとって、記号「\(\mathrm{P}\)」で表します。

順列の公式

異なる \(n\) 個のものの中から異なる \(r\) 個を取り出して \(1\) 列に並べる場合の数は

\begin{align}\color{red}{{}_n \mathrm{P}_r} \ &\color{red}{= \displaystyle \frac{n!}{(n − r)!}}\\\\&\color{red}{= n(n − 1)(n − 2) \cdots (n − r + 1)}\end{align}

順列 P とは?公式や計算方法、問題の解き方(重複ありなど)

 

組み合わせの公式

組み合わせとは、人や物を選び出す/取り出すことです。

英単語「Combination」の頭文字をとって、記号「\(\mathrm{C}\)」で表します。

組み合わせの公式

異なる \(n\) 個のものの中から異なる \(r\) 個を取り出す場合の数は

\begin{align}\color{red}{{}_n \mathrm{C}_r } \ &\color{red}{= \displaystyle \frac{{}_n \mathrm{P}_r}{r!}}\\\\&\color{red}{= \displaystyle \frac{n!}{r!(n − r)!}}\\\\&\color{red}{= \displaystyle \frac{n(n − 1)(n − 2) … (n − r + 1)}{r(r − 1)(r − 2) … 1}}\end{align}

組み合わせ C とは?公式や計算方法(◯◯は何通り?)

 

順列と組み合わせの見分け方【例題】

順列と組み合わせを見分けるポイントは以下の \(2\) 点です。

Tips
  • 順番に並べるか
  • 順番を変えると意味が変わるか

を考える!

「順番に並べる」「順番を変えると意味が変わる」ときは順列になります。

反対に、「順番に並べない」「順番を変えても意味が変わらない」ときは組み合わせになります。

実際の問題で見分け方を練習してみましょう。

 

例題①「3 桁の整数を作る」

次の問題は順列・組み合わせのどちらでしょうか。

例題①

\(9\) 個の数字 \(1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9\) から異なる \(3\) つの数字を選んでできる \(3\) 桁の整数はいくつあるか。

 

この問題では、選んだ \(3\) つの数字を順番に並べることで \(3\) 桁の整数を作ります。

同じ \(3\) つの数字を選んでも、順番を変えると別の整数になりますね。

(例)

\(1, 5, 9\) の数字を選ぶと、できる整数は

\(159, 195, 519, 591, 915, 951\) の \(6\) 通り

これらのことから、これは「順列」の問題です。

解答

 

\(9\) 個の数字から異なる \(3\) 個の数字を取り出して並べる順列は

\({}_9 \mathrm{P}_3 = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504\)

 

答え: \(504\) 通り

 

例題②「男女から 3 人選ぶ」

それでは、次の問題は順列・組み合わせのどちらでしょうか。

例題②

男子 \(5\) 人 (A、B、C、D、E)、女子 \(2\) 人 (X、Y) がいます。

この中から \(3\) 人を選ぶ方法は何通りあるか。

 

この問題では、\(7\) 人の中から \(3\) 人を選ぶだけであり、選ぶ順番や並べる順番は関係ありません。

また「A さん、B さん、X さんを選ぶ」のと「X さん、A さん、B さんを選ぶ」のは意味が同じです。

これらのことから、この問題は「組み合わせ」の問題です。

解答

 

\(7\) 人の中から \(3\) 人を選ぶ組み合わせは

\({}_7 \mathrm{C}_3 = \displaystyle \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\)

 

答え: \(35\) 通り

 

順列と組み合わせの練習問題

見分け方のポイント、「順番に並べるか」「順番を変えると意味が変わるか」に注意しながら、練習問題に挑戦しましょう。

 

練習問題①「3 役を選ぶ」

練習問題①

\(30\) 人のクラスから、学級委員長 \(1\) 人、副学級委員長 \(1\) 人、書記 \(1\) 人の \(3\) 人を選ぶ方法は何通りあるか。ただし、兼任は認めないものとする。

 

\(30\) 人のクラスから \(3\) 人を選び、左から学級委員長、副学級委員長、書記という順番で並べると、求めたい場合の数が求められます。

この \(3\) 人の順番が変われば役割が変わる、つまり順列です。

兼任は認めないことにも注意しましょう。

解答

 

求めたい場合の数は、\(30\) 人のクラスから \(3\) 人を選び、この \(3\) 人を並べることで得られるから、

\({}_{30} \mathrm{P}_3 = 30 \cdot 29 \cdot 28 = 24360\)(通り)

 

答え: \(24360\) 通り

 

練習問題②「特定の人を選ぶ/選ばない」

練習問題②

\(8\) 人の男子(A 〜 H さん)、\(7\) 人の女子(I 〜 O さん)の計 \(15\) 人から、\(5\) 人の代表を選ぶ。

 

(1) 男子 \(2\) 人、女子 \(3\) 人の \(5\) 人を選ぶ方法は何通りあるか。

(2) 男子から A さんを含む \(3\) 人、女子から I さんを含む \(2\) 人を選ぶ方法は何通りあるか。

(3) A さんは選ばれ、C さんは選ばれない方法は何通りあるか。

 

この問題では、\(15\) 人から \(5\) 人を選ぶだけなので、選ぶ順番や並び順は考慮しません。

したがって、組み合わせの問題です。

解答

 

(1) \(8\) 人の男子から \(2\) 人を選ぶ場合の数は

\({}_8 \mathrm{C}_2 = \displaystyle \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28\)

 

\(7\) 人の女子から \(3\) 人を選ぶ場合の数は

\({}_7 \mathrm{C}_3 = \displaystyle \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\)

 

よって、男子 \(2\) 人、女子 \(3\) 人の \(5\) 人を選ぶ場合の数は

\(28 \times 35 = 980\)

 

答え: \(980\) 通り

 

 

(2) 男子は A さんが選ばれることが決まっているので、残りの \(7\) 人から \(2\) 人を選ぶ場合の数は

\({}_7 \mathrm{C}_2 = \displaystyle \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21\)(通り)

 

女子は I さんが選ばれることが決まっているので、残りの \(6\) 人から \(1\) 人を選ぶ場合の数は

\({}_6 \mathrm{C}_1 = \displaystyle \frac{6}{1} = 6\)(通り)

 

よって、男子から A さんを含む \(3\) 人、女子から I さんを含む \(2\) 人を選ぶ場合の数は

\(21 \times 6 = 126\)

 

答え: \(126\) 通り

 

 

(3) Aさんが選ばれること、C さんが選ばれないことが決まっているので、残りの \(13\) 人から \(4\) 人を選べばよい。

 

よって A さんは選ばれ、C さんは選ばれない場合の数は

 

\(\begin{align}{}_{13} \mathrm{C}_4 &= \displaystyle \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\\\\&= 13 \cdot 11 \cdot 5\\\\&= 715\end{align}\)

 

答え: \(715\) 通り

以上で練習問題は終わりです。

 

順列と組み合わせは混同されやすいですが、慣れれば簡単に見分けられるので、いろいろな問題を解いて経験を積みましょう!

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