積分とは?不定積分と定積分の違いをわかりやすく解説!

この記事では、「積分」とは何か、不定積分と定積分の違いをわかりやすく解説していきます。

この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

積分とは?

積分とは、ある関数 \(f(x)\) の原始関数 \(F(x)\) を求める演算のことです。

そして、原始関数 \(F(x)\) とは、「微分すると \(f(x)\) になる関数」のことです。

つまり、微分の反対の演算が積分ということですね。

 

積分のイメージ

関数 \(y = f(x)\) を \(x\) について積分することは、\(\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int f(x) \ dx}\end{align}\) と表すことができます。

積分記号「\(\int\):インテグラル」は総和(合計)を求めること、「\(dx\)」は変数 \(x\) の微小(瞬間的な)変化量のことです。

つまり、\(\begin{align}\displaystyle \int f(x) \ dx\end{align}\) は「\(x\) がごくわずかに変化したときの \(f(x)\) の変化量の総和を求める」ことを意味しています。

ある関数における瞬間的な変化量の積み重ねが 「積分」なのです。

 

不定積分と定積分の違い

さて、積分には「不定積分」と「定積分」があります。

不定積分と定積分の違いを一言で言えば、「関数定数か」です。

不定積分とは、ある関数の瞬間的な変化量の積み重ねを求められる関数(= 原始関数)を求めることです。

それに対して、定積分とはある関数の特定の区間における瞬間的な変化量の積み重ねの値を求めることです。

それぞれについて、詳しく説明していきます。

 

不定積分の定義と意味

不定積分とは、微分すると \(f(x)\) になる関数(= 原始関数)の総称、または原始関数を求める演算そのものを指します。

不定積分の定義

\(F'(x) = f(x)\) のとき、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int f(x) \ dx = F(x) + C}\end{align}

(ただし、\(C\) は積分定数)

 

また、原始関数を求めること自体も「不定積分」と呼ぶ。

 

「不定」→ 原始関数は無限に存在する

なぜ「不定」という言葉がつくかというと、原始関数は無限に存在するからです。

例えば、微分して \(f(x) = 2x\) になる関数には、\(x^2\) があったり、\(x^2 − 2\) があったり、\(x^2 + 1\) があったりします。

グラフで見れば、形は同じだけれど切片が異なる関数たちが原始関数です。

「微分の反対が積分である」と説明しましたが、厳密には \(1\) 対 \(1\) の対応ではなく、\(\bf{1}\) 対 多 の関係なのですね。

 

「不定」だから積分定数 C をつける

このように、微分すると \(f(x)\) になる原始関数は、切片の数だけ無限に存在し、\(1\) つに特定することができません。

よって、切片にあたる定数部分をまとめて「積分定数」と呼び、記号 \(C\) で表すのです。

 

不定積分のやり方

不定積分の公式ややり方は、次の記事で説明しています。

不定積分とは?公式ややり方をわかりやすく解説(分数の問題も)

 

定積分の定義と意味

定積分とは、ある関数の範囲を限って積分し、その値を求めることです。

定積分の定義

関数 \(f(x)\) の原始関数(不定積分の \(1\) つ)を \(F(x)\) とするとき、\(F(b) − F(a)\) を関数 \(f(x)\) の \(a\) から \(b\) までの「定積分」といい、次のように表すことができる。

\begin{align} \int_a^b f(x) \ dx &= [F(x)]_a^b \\ &= F(b) − F(a)\end{align}

このとき、定積分を求める区間 \(a \leq x \leq b\) を「積分区間」と呼ぶ。

 

定積分 → 変化量の積み重ね = 面積 を求める

定積分の値は、関数 \(f(x)\) のグラフ上に図示すると \(f(x)\) と \(x\) 軸との間の面積を示します。

 

その面積を求めるための関数が原始関数 \(F(x)\) で、\(y = F(x)\) のグラフ上で考えると、面積は \(2\) 点間の \(y\) 座標の差で表されます。

 

定積分で積分定数がいらない理由

定積分において積分定数を無視できるのは、このように面積が原始関数上では \(2\) 点間の差で表されるからです。

積分定数が異なる原始関数でも、特定の \(2\) 点間の \(y\) 座標の差は同じ、つまり、どの原始関数を使っても、積分区間さえ同じなら定積分の値は同じなのです。

 

定積分のやり方

定積分の公式ややり方は、次の記事で説明しています。

定積分とは?計算・面積公式や求め方をわかりやすく解説!

 

以上で、積分の説明は終わりです!

積分は、微分と対をなす重要な単元です。

暗記だけで乗り切るのではなく、意味や仕組みをよく理解しておきたいですね!

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