積分とは?公式や積分計算のやり方、積分定数の意味

この記事では、「積分」とは何かをわかりやすく解説していきます。

不定積分・定積分の定義ややり方も説明していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

積分とは?

積分とは、ある関数 \(f(x)\) の原始関数 \(F(x)\) を求める演算のことです。

そして、原始関数 \(F(x)\) とは、「微分すると \(f(x)\) になる関数」のことです。

つまり、微分の反対の演算が積分ということですね。

 

積分計算の記号

また、積分の計算は次のように表します。

積分の表記

関数 \(y = f(x)\) を \(x\) について積分することを次のように表す。

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int f(x) \ dx}\end{align}

なお、積分記号「\(\int\)」は「インテグラル」と読む。

 

積分を表すときは、必ず「\(\int\)」と「\(d\)◯」をペアで使います。

  • \(\int\):総和(合計)を求めること
  • \(d\)◯:変数◯の微小 (瞬間的な) 変化量

 

積分の式は、「ある関数 \(f(x)\) において、\(x\) がごくわずかに変化したときの \(f(x)\) の変化量の総和を求める」ことを意味しているのですね。

つまり、ある関数における瞬間的な変化量の積み重ねが 「積分」なのです。

 

不定積分と定積分の違い

さて、積分には「不定積分」と「定積分」があります。

不定積分と定積分の違いを一言で言えば、「関数か定数か」です。

不定積分とは、ある関数の瞬間的な変化量の積み重ねを求められる関数(= 原始関数)を求めることです。

それに対して、定積分とはある関数の特定の区間における瞬間的な変化量の積み重ねのを求めることです。

それぞれについて、詳しく説明していきます。

 

不定積分とは?

不定積分の定義は、次の通りです。

不定積分の定義

微分すると \(f(x)\) になる関数(= 原始関数)の総称を「不定積分」と呼ぶ。

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int f(x) \ dx = F(x) + C}\end{align}

(ただし、\(C\) は積分定数)

 

また、原始関数を求めること自体も「不定積分」と呼ぶ。

なぜ「不定」という言葉がつくかというと、原始関数は無限に存在するからです。

 

例えば、微分して \(f(x) = 2x\) になる関数には、\(x^2\) があったり、\(x^2 − 2\) があったり、\(x^2 + 1\) があったりします。

グラフで見れば、形は同じだけれど切片が異なる関数たちが原始関数です。

「微分の反対が積分である」と説明しましたが、厳密には \(1\) 対 \(1\) の対応ではなく、\(\bf{1}\) 対 多 の関係なのですね。

 

不定積分のやり方

不定積分の公式ややり方(計算方法)は、次の記事で説明しています。

不定積分とは?公式や計算問題の解き方(分数を含む場合など)

 

定積分とは?

定積分の定義は、次の通りです。

定積分の定義

関数 \(f(x)\) の原始関数(不定積分の \(1\) つ)を \(F(x)\) とするとき、\(F(b) − F(a)\) を関数 \(f(x)\) の \(a\) から \(b\) までの「定積分」といい、次のように表すことができる。

\begin{align} \int_a^b f(x) \ dx &= [F(x)]_a^b \\ &= F(b) − F(a)\end{align}

このとき、定積分を求める区間 \(a \leq x \leq b\) を「積分区間」と呼ぶ。

 

定積分の値は、関数 \(f(x)\) のグラフ上に図示すると \(f(x)\) と \(x\) 軸との間の面積を示します。

 

その面積を求めるための関数が原始関数で、原始関数 \(F(x)\)(不定積分の \(1\) つ)のグラフ上で考えると、面積は \(2\) 点間の \(y\) 座標の差で表されます。

定積分において積分定数を無視できるのは、このように面積が点ではなく \(2\) 点間の差で表されるからです。

積分定数が異なる原始関数でも、特定の \(2\) 点間の \(y\) 座標の差は同じになります。

つまり、どの原始関数を使っても、積分区間さえ同じなら定積分の値は同じなのです。

 

定積分のやり方

定積分の公式ややり方(計算方法)は、次の記事で説明しています。

定積分とは?公式や面積の計算、絶対値を含む問題の解き方

 

以上で、積分の説明は終わりです!

積分は、微分と対をなす重要な単元です。

暗記だけで乗り切るのではなく、意味や仕組みをよく理解しておきたいですね!

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