微分積分とは？高校で習う公式一覧、基本定理や記号の意味も！

各用語については個別の記事で紹介しているので、ぜひ学習してみてください。

• 導関数と微分係数
  導関数と微分係数の違いとは？定義・公式・求め方を解説！
• 不定積分
  不定積分とは？公式ややり方をわかりやすく解説（分数の問題も）
• 定積分
  定積分とは？計算・面積公式や求め方をわかりやすく解説！

• \(\bf{\Delta}\) （デルタ）
  差（ある点から別の点への変化量）
• \(\bf{d}\) （ディー）
  限りなく微小な差（ある点から限りなく近い別の点への変化量）

• 差分 \(\bf{\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}}\)
  \(x\) の変化量に対する \(y\) の変化量の割合。「平均変化率」とも呼ばれる。
• 微分 \(\bf{\displaystyle \frac{dy}{dx}}\)
  ある点における \(y\) の \(x\) に対する瞬間の変化率。
  \(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x}\) の変化量を限りなく \(0\) に近づけた値。

\(y = f(x)\) において、

\(\displaystyle \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) − f(x)}{\Delta x}\)

\(\begin{align}\displaystyle \frac{dy}{dx}&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\\&= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) − f(x)}{\Delta x}\end{align}\)

関数 \(y = f(x)\) を \(x\) について微分することは、次のように表せる。

• \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)
• \(\displaystyle \frac{d}{dx} f(x)\)
• \(y’\)
• \(f’(x)\)

関数 \(y = f(x)\) を \(x\) について積分することは、次のように表せる。

\begin{align} \int f(x) \ dx \end{align}

• \(\int\)（インテグラル）
  総和（合計）を求めること。
• \(dx\)
  変数 \(x\) の微小（瞬間的な）変化量。

• 平均変化率
  \(\displaystyle \frac{f(b) − f(a)}{b − a}\)　\((b \neq a)\)
• 微分係数
  \(\begin{align} f’(a) &= \lim_{b \to a} \frac{f(b) − f(a)}{b − a} \\ &= \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) − f(a)}{h} \end{align}\)
• 導関数
  \(\displaystyle f’(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) − f(x)}{h}\)

\(\alpha\), \(\beta\) を定数とすると、\(x\) の関数 \(f(x)\), \(g(x)\) について以下が成り立つ。

• 定数倍
  \((\alpha f(x))’ = \alpha f’(x)\)
• 和と差
  \((f(x) \pm g(x))’ = f’(x) \pm g’(x)\)
• 線形性
  \((\alpha f(x) \pm \beta g(x))’ = \alpha f’(x) \pm \beta g’(x)\)
• 積の微分
  \((f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)\)
• 商の微分
  \(\displaystyle \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)’ = \frac{f’(x)g(x) − f(x)g’(x)}{\{g(x)\}^2}\)
  特に \(f(x) = 1\) のとき
  \(\displaystyle \left( \frac{1}{g(x)} \right)’ = −\frac{g’(x)}{\{g(x)\}^2}\)
• 合成関数の微分
  \(\{f(g(x))\}’ = f’(g(x))g’(x)\)

• 定数の微分
  \((k)’ = 0\)（\(k\) は実数）
• べき乗の微分
  \((x^p)’ = px^{p − 1}\)（\(p\) は有理数）
• 一次式のべき乗の微分
  \(\{(ax + b)^n\}’ = an(ax + b)^{n − 1}\)
• 三角関数の微分
  \((\sin x)’ = \cos x\)
  \((\cos x)’ = −\sin x\)
  \(\displaystyle (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x}\)
  \(\displaystyle \left(\frac{1}{\tan x}\right)’ = −\frac{1}{\sin^2 x}\)
• 指数関数の微分
  \((e^x)’ = e^x\)
  \(\displaystyle (a^x)’ = \frac{a^x}{\log a}\)（ただし、\(a > 0\), \(a \neq 1\)）
• 対数関数の微分
  \(\displaystyle (\log x)’ = \frac{1}{x}\)
  (\(\displaystyle \log_a x)’ = \frac{1}{x \log a}\)（ただし、\(a > 0\), \(a \neq 1\)）

\(F’(x) = f(x)\) のとき、

\begin{align}\displaystyle \int f(x) \ dx = F(x) + C\end{align}

（\(C\) は積分定数）

\(F’(x) = f(x)\) のとき、

\begin{align} \int_a^b f(x) \ dx &= \left[F(x)\right]_a^b \\ &= F(b) − F(a) \end{align}

\(\alpha\), \(\beta\) を定数とすると、\(x\) の関数 \(f(x)\), \(g(x)\) について以下が成り立つ。

• 定数倍
  \(\displaystyle \int \alpha f(x) \ dx = \alpha \int f(x) \ dx\)
• 和と差
  \(\begin{align}\displaystyle \int \{f(x) &\pm g(x)\} \ dx \\&= \int f(x) \ dx \pm \int g(x) \ dx\end{align}\)
• 線形性
  \(\begin{align}\displaystyle \int \{\alpha f&(x) \pm \beta g(x)\} dx \\&= \alpha \int f(x) \ dx \pm \beta \int g(x) \ dx\end{align}\)

• 定積分の値と積分変数
  \(\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = \int_a^b f(t) \ dt\)
• 積分区間の性質
  \(\displaystyle \int_a^a f(x) \ dx = 0\)
  \(\displaystyle \int_a^b f(x) \ dx = −\int_b^a f(x) \ dx\)
  \(\begin{align}\displaystyle \int_a^b f(&x) \ dx \\&= \int_a^c f(x) \ dx + \int_c^b f(x) \ dx\end{align}\)

積分定数を \(C\) とする。

• 定数の積分
  \(\displaystyle \int k \ dx = kx + C\)（\(k\) は \(0\) 以外の実数）
• べき乗の積分
  • \(n \neq −1\) のとき
    \(\displaystyle \int x^n \ dx = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C\)
  • \(n = −1\) のとき
    \(\displaystyle \int x^{− 1} dx = \int \frac{1}{x} \ dx = \log |x| + C\)
• 一次式のべき乗の積分
  \(\displaystyle \int (ax + b)^n \ dx = \frac{(ax + b)^{n + 1}}{a(n + 1)} + C\)
• 三角関数の積分
  \(\displaystyle \int \sin x \ dx = −\cos x + C\)
  \(\displaystyle \int \cos x \ dx = \sin x + C\)
  \(\displaystyle \int \tan x \ dx = −\log |\cos x| + C\)
  \(\displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 x} \ dx = \tan x + C\)
  \(\displaystyle \int \frac{1}{\sin^2 x} \ dx = −\frac{1}{\tan x} + C\)
• 指数関数の積分
  \(\displaystyle \int e^x \ dx = e^x + C\)
  \(\displaystyle \int a^x \ dx = \frac{a^x}{\log a} + C\) \((a > 0\), \(a \neq 1)\)
• 対数関数の積分
  \(\displaystyle \int \log x \ dx = x\log x − x + C\)

積分定数を \(C\) とする。

• 置換積分法
  \(x = g(t)\) と置換できるとき、
  \(\begin{align}\int f(x) \,dx &= \int f(g(t)) \frac{dx}{dt} \,dt \\ &= \int f(g(t))g’(t) \,dt \end{align}\)
• 部分積分法
  \(\displaystyle \int f(x)g'(x) \ dx \) \(\displaystyle = f(x)g(x) − \int f'(x)g(x) \ dx\)
• 区分求積法
  \(\begin{align}\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) = \int_0^1 f(x) \,dx \end{align}\)
• 偶関数・奇関数の定積分
  \(f(x)\) が偶関数のとき \(\begin{align}\displaystyle \int_{−a}^a f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx\end{align}\)
  \(f(x)\) が奇関数のとき \(\begin{align}\displaystyle \int_{−a}^a f(x) \, dx = 0\end{align}\)

任意の連続関数 \(y = f(x)\) と定数 \(a\) に対して、\(\displaystyle \int_a^x f(t) \ dt\) を \(x\) の関数として微分すると、その導関数は \(y = f(x)\) になる。

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) \ dt = f(x)}\end{align}

また、関数 \(y = f(x)\) の導関数 \(y = f’(x)\) が連続であるとき、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int_a^x f’(t) \ dt = f(x) − f(a)}\end{align}

積分は複雑な図形の面積を求める方法（求積法）として、微分は運動する物体の軌跡変化（例：砲丸の弾道計算など）を求める方法としてそれぞれ発展していきました。

\(17\) 世紀後半になって、ニュートンやライプニッツが微分積分学の基本定理を発見します。

特にニュートンは、運動の変化量を考える過程で微分積分の関係に気づきました。

記事の最初に確認したイメージを、ニュートンは考えていたわけですね。