区分求積法とは?logの問題や証明などをわかりやすく説明!

この記事では「区分求積法」についてわかりやすく説明していきます。

\(\log\) を使う問題や証明方法なども紹介していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

区分求積法とは?【公式】

区分求積法とは、ある範囲の面積を無数の長方形の足し算として求めるテクニックです。

この「面積を無限に分割し、足し合わせる」という考え方は、積分の原点でもあります。

 

区分求積法の公式は以下の通りです。

区分求積法の公式

(準備)

\(f(x)\) が閉区間 \([a, b]\) で連続であるとき、この区間を \(n\) 等分すると、分点は \(x_0 (= a), x_1, x_2, \cdots, x_{n − 2}, x_{n − 1}, x_n (= b)\) となる。

区間の幅 \(\displaystyle \frac{b − a}{n} = \Delta x\) とおくと、任意の分点は \(x_k = a + k\Delta x\) と表せ、以下の関係式が成り立つ。

 

【公式①】

\begin{align} \color{red}{\lim_{n \to \infty} \sum_{k = 0}^{n − 1} f(x_k) \Delta x \,} & \color{red}{= \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n f(x_k) \Delta x} \\ & \color{red}{= \int_a^b f(x) \,dx} \end{align}

 

 

【公式②】

特に \(\color{red}{a = 0, b = 1}\) のとき、

\(\displaystyle \Delta x = \frac{1}{n}\) , \(\displaystyle x_k = \frac{k}{n}\) より

\begin{align} \color{red}{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n − 1} f \left( \frac{k}{n} \right) \,} & \color{red}{ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n f \left( \frac{k}{n} \right)} \\& \color{red}{ = \int_0^1 f(x) \,dx} \end{align}

実際の問題では、区分求積法は「和の極限」を「定積分」の計算に落とし込めるというメリットがあります。

そのため、公式②を重点的に覚えておきましょう。

 

区分求積法の証明

それでは、区分求積法がどのように成り立つか確認してみましょう。

ここでは、公式②のパターン、\(y = f(x)\) の区間 \(0 \leq x \leq 1\) における面積を考えます。

(イメージしやすくするため、上記区間で常に \(f(x) \geq 0\) であるとします。)

証明

 

\(y = f(x)\) と \(x\) 軸、および \(x = 0\), \(x = 1\) で囲まれた部分の面積を \(S\) とすると、

\(\displaystyle S = \int_0^1 f(x) \, dx\) …(*)

ここで、区間 \([0, 1]\) を \(n\) 等分すると、

分点は

\(x_0 (= 0), x_1, x_2, \cdots, x_{n − 2}, x_{n − 1}, x_n (= 1)\)

となる。

区間の幅は \(\displaystyle \frac{1 − 0}{n} = \frac{1}{n}\) であるから、任意の分点は \(\displaystyle \frac{k}{n}\) と表せる。

 

高さ \(\displaystyle f \left( \frac{k}{n} \right)\)、幅 \(\displaystyle \frac{1}{n}\) の長方形(面積 \(\displaystyle \frac{1}{n} f \left( \frac{k}{n} \right)\))を並べるとき、並べ方には次の \(2\) 通りがある。

(i) 左肩を \(y = f(x)\) に合わせる場合

→ \(k = 0, 1, 2, \cdots, n − 1\)

長方形の面積の和は

\(\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n − 1} f \left( \frac{k}{n} \right)\) …①

 

(ii) 右肩を \(y = f(x)\) に合わせる場合

→ \(k = 1, 2, \cdots, n\)

長方形の面積の和は

\(\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n f \left( \frac{k}{n} \right)\) …②

 

①、②において \(n\) を無限に大きくすると (\(n \to \infty\))、両者の面積は \(S\) に限りなく近づく。

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n − 1} f \left( \frac{k}{n} \right) = S\)

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) = S\)

 

したがって、

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n − 1} f \left( \frac{k}{n} \right) &= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) \\ &= \int_0^1 f(x) \, dx \end{align}

が成り立つ。

 

(証明終わり)

このように示すことができました。

補足

ちなみに、等分する数が同じならば、長方形をとる位置や個数を多少ずらしても和の極限は同じになります。

そのため、例えば以下の式も同様に成り立ちます。

\begin{align} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 3}^{n + 10} f \left( \frac{k}{n} \right) = \int_0^1 f(x) \, dx \end{align}

 

区分求積法の練習問題

それでは、区分求積法を利用する練習問題に挑戦してみましょう。

和の極限の問題で使うときはいくつかポイントがあるので、\(1\) つ \(1\) つ確認しましょう。

練習問題①「和の極限」

練習問題①

次の極限値を求めよ。

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + \cdots + \frac{n^2}{n^3} \right)\)

 

和の極限を求める問題です。

区分求積法を利用するには、次のように式変形するのがポイントです。

Tips
  • 和を \(\sum\) で表す
  • \(\sum\) の外に \(\displaystyle \frac{1}{n}\) を出す
  • \(\sum\) の中に \(\displaystyle \frac{k}{n}\) のかたちを作る

そうすると、\(\displaystyle \frac{k}{n}\) を \(x\) に対応させた関数の積分と見ることができます。

解答

 

\(\displaystyle \frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + \cdots + \frac{n^2}{n^3}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{n} \left( \frac{1^2}{n^2} + \frac{2^2}{n^2} + \cdots + \frac{n^2}{n^2} \right)\)

\(\displaystyle= \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n \frac{k^2}{n^2}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n \left( \frac{k}{n} \right)^2\)

 

よって、

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1^2}{n^3} + \frac{2^2}{n^3} + \cdots + \frac{n^2}{n^3} \right)\)

\(\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n \left( \frac{k}{n} \right)^2\)

\(\displaystyle = \int_0^1 x^2 \, dx\)

\(\displaystyle = \left[ \frac{1}{3} x^3 \right]_0^1\)

\(\displaystyle = \frac{1}{3}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{3}}\)

 

練習問題②「個数が n 個以外の和の極限」

練習問題②

次の極限値を求めよ。

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{2n} \frac{1}{3n + k}\)

 

和の個数に注目すると、\(1\) ~ \(2n\) の \(2n\) 個になっています。

このように、和が \(n\) 個でない場合も、積分区間に注意すれば区分求積法が使えます。

和が mn 個の場合の区分求積法

\(m\) が自然数のとき、

\begin{align} \color{red}{\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{mn} f \left( \frac{k}{n} \right) = \int_0^m f(x) \,dx} \end{align}

幅が \(\displaystyle \frac{1}{n}\) の長方形を、\(n\) 個ではなく \(mn\) 個、つまり \(0\) ~ \(1\) までではなく \(0\) ~ \(m\) までの範囲で足している、と考えるのですね。

解答

 

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{2n} \frac{1}{3n + k}\)

\(\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{2n} \frac{1}{3 + \frac{k}{n}}\)

\(\displaystyle = \int_0^2 \frac{1}{3 + x} \, dx\)

\(\displaystyle = \left[ \log(3 + x) \right]_0^2\)

\(= \log 5 − \log 3\)

\(\displaystyle = \log \frac{5}{3}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \log \frac{5}{3}}\)

 

練習問題③「積の極限(log をとる)」

練習問題③

次の極限値を求めよ。

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sqrt[n]{(2n + 1)(2n + 2)\cdots(3n)}\)

 

和ではなく「積の極限」なので、このままでは \(\sum\) で表すことができません。

このような問題では、両辺の自然対数 \((\log)\) をとります

そうすると、対数の性質によって積を和に変換できます。

Tips

対数 \((\log)\) をとって区分求積法を使えるのは、式に次のようなものが含まれるパターンです。

  • \(n\) の式の積
  • \(n\) の式の階乗(\(n!\) など)
  • 順列 \(\mathrm{P}\) や組み合わせ \(\mathrm{C}\)
    (→ 階乗で表せる)

答えから \(\log\) を外し忘れないように注意しましょう。

解答

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(\displaystyle A = \frac{1}{n} \sqrt[n]{(2n + 1)(2n + 2)\cdots(3n)}\)

とおくと、

 

\(\begin{align}A &= \sqrt[n]{\frac{(2n + 1)(2n + 2)…(3n)}{n^n}}\\&= \sqrt[n]{\frac{2n + 1}{n} \cdot \frac{2n + 2}{n} \cdots \frac{2n + n}{n}}\\&= \sqrt[n]{\left( 2 + \frac{1}{n} \right) \left( 2 + \frac{2}{n} \right) \cdots \left( 2 + \frac{n}{n} \right)}\\&= \left\{ \left( 2 + \frac{1}{n} \right) \left( 2 + \frac{2}{n} \right) \cdots \left( 2 + \frac{n}{n} \right) \right\}^{\frac{1}{n}}\end{align}\)

 

ここで、両辺の自然対数をとると、

\(\displaystyle \log A\)

\(\displaystyle = \log \left\{\left(2 + \frac{1}{n}\right) \left(2 + \frac{2}{n}\right) \cdots \left(2 + \frac{n}{n}\right) \right\}^{\frac{1}{n}}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{n} \log \left\{\left(2 + \frac{1}{n}\right) \left(2 + \frac{2}{n}\right) \cdots \left(2 + \frac{n}{n}\right)\right\}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{n} \left\{\log \left(2 + \frac{1}{n} \right) + \log \left(2 + \frac{2}{n}\right) + \cdots + \log \left(2 + \frac{n}{n}\right)\right\}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n \log \left( 2 + \frac{k}{n} \right)\)

 

 

よって、

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \log A\)

\(\displaystyle = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n \log \left( 2 + \frac{k}{n} \right)\)

\(\displaystyle = \int_0^1 \log(2 + x) \, dx\)

\(\displaystyle = \left[ (2 + x) \log(2 + x) \right]_0^1 − \int_0^1 \frac{2 + x}{2 + x} \,dx\)

\(\displaystyle = 3\log 3 − 2\log 2 − \int_0^1 1 \,dx\)

\(= 3\log 3 − 2\log 2 − [x]_0^1\)

\(= 3\log 3 − 2\log 2 − 1\)

\(= \log 27 − \log 4 − \log e\)

\(\displaystyle = \log \frac{27}{4e}\)

 

したがって、求める極限値は

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} A = \frac{27}{4e}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{27}{4e}}\)

以上で問題も終わりです!

 

公式が複雑に見える区分求積法ですが、考え方を理解すれば使うのはそれほど難しくありません。

基本を押さえて、いろいろな問題に対応できるようにしましょう!

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