三角関数の合成とは？公式と証明、範囲つき最大最小の問題

\(xy\) 平面に点 \(\mathrm{P}(a, b)\) をとり、\(\mathrm{OP} = r\) とおく。

\(\mathrm{OP}\) が \(x\) 軸の正の向きとなす角を \(\alpha\) とすると、

\(\displaystyle \cos\alpha = \frac{a}{r}\) より、\(a = r \cos\alpha\) …①

\(\displaystyle \sin\alpha = \frac{b}{r}\) より、\(b = r \sin\alpha\) …②

三平方の定理より \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) …③

これを \(a \sin\theta + b \cos\theta\) に代入すると、

\(a \sin\theta + b \cos\theta\)

\(= r \cos\alpha \sin\theta + r \sin\alpha \cos\theta\)（①、②代入）

\(= r(\sin\theta \cos\alpha + \cos\theta \sin\alpha)\)

\(= r \sin(\theta + \alpha)\)（sin の加法定理）

\(= \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \alpha)\)（③代入）

したがって、

\(a \sin\theta + b \cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \alpha)\)

が成り立つ。

ただし、

\(\left\{\begin{array}{l} \cos\alpha = \displaystyle \frac{a}{r} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\\ \sin\alpha = \displaystyle \frac{b}{r} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\end{array}\right.\)

（証明終わり）

\(\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\) より、

\(\begin{align} f(\theta) &= 2 \sin\theta + 3 \cos\theta \\ &= \sqrt{13} \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \sin\theta + \frac{3}{\sqrt{13}} \cos\theta \right) \\ &= \sqrt{13} (\cos\alpha \sin\theta + \sin\alpha \cos\theta) \\ &= \sqrt{13} \sin(\theta + \alpha) \end{align}\)

（ただし、 \(\alpha\) は \(\displaystyle \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}\)、\(\displaystyle \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}\) を満たす角）

\(0 \leq \theta \leq \pi\) より、

\(\alpha \leq \theta + \alpha \leq \pi + \alpha\)

このとき、図のように \(\sin(\theta + \alpha)\) のとる範囲は

\(\displaystyle −\frac{3}{\sqrt{13}} \leq \sin(\theta + \alpha) \leq 1\)

よって、\(\sin(\theta + \alpha)\) は

• \(\displaystyle \theta + \alpha = \frac{\pi}{2}\) すなわち \(\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2} − \alpha\) のとき
  最大値 \(1\)
• \(\theta + \alpha = \pi + \alpha\) すなわち \(\theta = \pi\) のとき
  最小値 \(\displaystyle −\frac{3}{\sqrt{13}}\)

したがって、

\(f(\theta) = \sqrt{13} \sin(\theta + \alpha)\) 　\((0 \leq \theta \leq \pi)\) は、

• 最大値 \(\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} − \alpha \right) = \sqrt{13} \cdot 1 = \sqrt{13}\)
• 最小値 \(\displaystyle f(\pi) = \sqrt{13} \left( −\frac{3}{\sqrt{13}} \right) = −3\)

をとる。

答え：

\(\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2} − \alpha\) のとき、最大値 \(\sqrt{13}\)

\(\theta = \pi\) のとき、最小値 \(−3\)

（ただし、\(\alpha\) は \(\displaystyle \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}\)、\(\displaystyle \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}\) を満たす角）

\(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\) より、

\(\begin{align} y &= \sin x + \cos x \\ &= \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) \\ &= \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x \right) \\ &= \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \end{align}\)

\(\displaystyle y = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)\) のグラフは、

\(y = \sin x\) をもとにして、\(y\) 軸方向に \(\sqrt{2}\) 倍し、\(x\) 軸方向に \(\displaystyle −\frac{\pi}{4}\) だけ平行移動したものである。

したがってグラフは次のようになる。

答え：