三角関数の合成とは?公式、証明、最大最小や範囲の問題

この記事では、「三角関数の合成」の公式や証明、実際のやり方についてわかりやすく解説していきます。

また、最大・最小を求める問題や、グラフの問題も紹介しますので、ぜひ合成をマスターしてくださいね。

 

三角関数の合成とは?【公式】

三角関数の合成とは、sin と cos の和で表された式を、sin だけ、または cos だけの式に変形することです。

最もよく使う、\(\sin\) バージョンの公式を見てみましょう。

三角関数の合成 (sin)

\(a \neq 0\), \(b \neq 0\) のとき、

\begin{align}\color{red}{a \sin\theta + b \cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \alpha)}\end{align}

 

ただし、\(\alpha\) は

\(\displaystyle \cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)、\(\displaystyle \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) を満たす角

 

 

三角関数の合成は \(\sin\) に合成する公式が一般的ですが、\(\cos\) にも合成できます。

三角関数の合成 (cos)

\(a \neq 0\), \(b \neq 0\) のとき、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle a \sin\theta + b \cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\theta − \beta)}\end{align}

 

ただし、\(\beta\) は

\(\displaystyle \cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)、\(\displaystyle \sin\beta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) を満たす角

 

三角関数の合成の証明

ここでは、なぜ三角関数の合成公式が成り立つのかを説明します。

合成公式は暗記が必須なので、証明方法を理解して定着させましょう。

三角関数の合成の公式 (sin) の証明

\(a \neq 0\), \(b \neq 0\) のとき、以下の式を証明せよ。

\begin{align}a \sin\theta + b \cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \alpha)\end{align}

(ただし、\(\alpha\) は \(\displaystyle \cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)、\(\displaystyle \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) を満たす角)

 

三角関数の合成の公式は、実は「加法定理」のなのです。

証明では、\(\sin\) の加法定理を利用して、式を変形していきます。

sin の加法定理

\begin{align}\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta\end{align}

加法定理とは?覚え方や証明、関連公式や応用問題
証明

 

\(xy\) 平面に点 \(\mathrm{P}(a, b)\) をとり、\(\mathrm{OP} = r\) とおく。

 

\(\mathrm{OP}\) が \(x\) 軸の正の向きとなす角を \(\alpha\) とすると、

三平方の定理より

\(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)

 

\(\displaystyle \cos\alpha = \frac{a}{r}\) より、 \(a = r \cos\alpha\)

\(\displaystyle \sin\alpha = \frac{b}{r}\) より、 \(b = r \sin\alpha\)

 

これを \(a \sin\theta + b \cos\theta\) に代入すると、

\(a \sin\theta + b \cos\theta\)

\(= r \cos\alpha \sin\theta + r \sin\alpha \cos\theta\)

\(= r(\sin\theta \cos\alpha + \cos\theta \sin\alpha)\)

 

ここで、加法定理 \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta\) より

\(r(\sin\theta \cos\alpha + \cos\theta \sin\alpha) = r \sin(\theta + \alpha)\)

 

さらに、 \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) より

\(r \sin(\theta + \alpha) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \alpha)\)

 

したがって、

\(a \sin\theta + b \cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \alpha)\)

が成り立つ。

 

ただし、

\(\left\{\begin{array}{l} \cos\alpha = \displaystyle \frac{a}{r} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\\ \sin\alpha = \displaystyle \frac{b}{r} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\end{array}\right.\)

 

(証明終わり)

\(\cos\) への合成公式も、\(\cos\) の加法定理を利用して同様に導けます。

自分で証明してみると、より理解が深まりますよ。

 

三角関数の合成のやり方【例題】

それでは、例題を通して三角関数の合成のやり方を学んでいきましょう。

例題

次の三角関数を合成せよ。

\(\sin\theta − \cos\theta\)

 

三角関数の合成には、「式変形によるやり方」と「図を使ったやり方」の \(2\) 通りがあります。

それぞれ見てみましょう。

【やり方①】式変形

証明と同じ流れで、\(\sin\) の加法定理が使えるように式を変形していきます。

 

まず、\(\sqrt{a^2 + b^2}\) を計算し、その値で式全体をくくります

\(\sqrt{1^2 + (−1)^2} = \sqrt{2}\) より

 

\(\sin\theta − \cos\theta\)

\(\displaystyle = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\theta − \frac{1}{\sqrt{2}} \cos\theta \right)\)

ここで、 \(\sin\) の項にかかる係数が \(\cos\) の値\(\cos\) の項にかかっている係数が \(\sin\) の値となるような角度 \(\alpha\) を探します。

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} = \cos \left( −\frac{\pi}{4} \right)\), \(\displaystyle −\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \left( −\frac{\pi}{4} \right)\) より

\(\displaystyle \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin\theta − \frac{1}{\sqrt{2}} \cos\theta \right)\)

\(\displaystyle = \sqrt{2} \left( \cos \left( −\frac{\pi}{4} \right) \sin\theta + \sin \left( −\frac{\pi}{4} \right) \cos\theta \right)\)

ここで、加法定理 \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta\) を逆向きに使います。

\(\displaystyle \sqrt{2} \left( \cos \left( −\frac{\pi}{4} \right) \sin\theta + \sin \left( −\frac{\pi}{4} \right) \cos\theta \right)\)

\(\displaystyle = \sqrt{2} \left( \sin\theta \cos \left( −\frac{\pi}{4} \right) + \cos\theta \sin \left( −\frac{\pi}{4} \right) \right)\)

\(\displaystyle = \sqrt{2} \sin \left( \theta − \frac{\pi}{4} \right)\)

したがって、\(\color{red}{\displaystyle \sin\theta − \cos\theta = \sqrt{2} \sin \left( \theta − \frac{\pi}{4} \right)}\) と合成できました!

 

【やり方②】作図の利用

合成公式 \(a \sin\theta + b \cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \alpha)\) に当てはまるような \(\alpha\) の値を、座標平面から求めていきます

 

まず、座標平面に \((x, y) = (a, b)\) となる点 \(\mathrm{P}\) を取ります。

そして、\(\mathrm{OP} = \sqrt{a^2 + b^2}\) を計算します。

そうすると、三角比の定義から、\(\mathrm{OP}\) と \(x\) 軸のなす角が \(\alpha\) と求められます。

点 \(\mathrm{P}(1, −1)\) とおき、\(x\) 軸に下ろした垂線の足を点 \(\mathrm{A}\) とする。

\(\mathrm{OP} = \sqrt{1^2 + (−1)^2} = \sqrt{2}\)

 

\(\triangle \mathrm{OAP}\) は \(1 : 1 : \sqrt{2}\) の直角三角形なので

\(\mathrm{OP}\) と \(x\) 軸のなす角 \(\alpha\) は

\(\displaystyle \alpha = −\frac{\pi}{4}\)

 

よって、

\(\color{red}{\displaystyle \sin\theta − \cos\theta = \sqrt{2} \sin \left( \theta − \frac{\pi}{4} \right)}\)

 

三角関数の合成のやり方として、式変形と作図の \(2\) 通りを解説しました。

おそらく、慣れてしまえば作図の方が簡単だと思います。

ですが、式変形の方が三角関数の合成の本来の意味に従っているので、式変形のやり方も必ず理解しておきましょう。

 

三角関数の合成の練習問題

それでは、実際に練習問題を解きながら、三角関数の合成をマスターしていきましょう。

練習問題「sinθ + √3cosθ を合成する」

練習問題

次の三角関数を合成せよ。

\(\sin\theta + \sqrt{3} \cos\theta\)

 

図を書いて、三角関数の合成の公式に当てはめてみましょう。

解答

 

\(\mathrm{P}(1, \sqrt{3})\) とおく。

 

\(\mathrm{OP} = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2\) であるから、

\(1 : 2 : \sqrt{3}\) の直角三角形を考えると

\(\mathrm{OP}\)と \(x\) 軸とのなす角 \(\alpha\) は、

\(\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{3}\)

 

 

よって、\(a \sin\theta + b \cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta + \alpha)\) より

\(\displaystyle \sin\theta + \sqrt{3} \cos\theta = 2 \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right)\)

 

答え: \(\displaystyle 2 \sin \left( \theta + \frac{\pi}{3} \right)\)

 

三角関数の合成の応用問題

最後に、三角関数の合成のまとめとして、応用問題に挑戦してみましょう。

応用問題①「最大値、最小値を求める」

応用問題①

\(0 \leq \theta \leq \pi\) のとき、\(f(\theta) = 2 \sin\theta + 3 \cos\theta\) の最大値、最小値を求めよ。

 

まずは三角関数を合成して、求める式の三角比を \(1\) つに統一します。

\(\theta\) の範囲にも気をつけましょう。

解答

 

\(\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}\) より、

\(\begin{align} f(\theta) &= 2 \sin\theta + 3 \cos\theta \\ &= \sqrt{13} \left( \frac{2}{\sqrt{13}} \sin\theta + \frac{3}{\sqrt{13}} \cos\theta \right) \\ &= \sqrt{13} (\cos\alpha \sin\theta + \sin\alpha \cos\theta) \\ &= \sqrt{13} \sin(\theta + \alpha) \end{align}\)

(ただし、 \(\alpha\) は \(\displaystyle \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}\)、\(\displaystyle \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}\) を満たす角)

 

\(0 \leq \theta \leq \pi\) より、

\(\alpha \leq \theta + \alpha \leq \pi + \alpha\)

 

このとき、図のように \(\sin(\theta + \alpha)\) のとる範囲は

\(\displaystyle −\frac{3}{\sqrt{13}} \leq \sin(\theta + \alpha) \leq 1\)

 

よって、 \(\sin(\theta + \alpha)\) は

  • \(\theta + \alpha = \pi + \alpha\) すなわち \(\theta = \pi\) のとき
    最小値 \(\displaystyle −\frac{3}{\sqrt{13}}\)
  • \(\displaystyle \theta + \alpha = \frac{\pi}{2}\) すなわち \(\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2} − \alpha\) のとき
    最大値 \(1\)

 

したがって、

\(f(\theta) = \sqrt{13} \sin(\theta + \alpha)\) は、

  • \(\theta = \pi\) のとき
    最小値 \(\displaystyle f(\pi) = \sqrt{13} \left( −\frac{3}{\sqrt{13}} \right) = −3\)
  • \(\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2} − \alpha\) のとき
    最大値 \(\displaystyle f \left( \frac{\pi}{2} − \alpha \right) = \sqrt{13} \cdot 1 = \sqrt{13}\)

をとる。

(ただし、\(\alpha\) は \(\displaystyle \sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}\)、\(\displaystyle \cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}\) を満たす角)

 

答え:

\(\displaystyle \theta = \frac{\pi}{2} − \alpha\) のとき、最大値 \(\sqrt{13}\)

\(\theta = \pi\) のとき、最小値 \(−3\)

 

応用問題②「y = sin x + cos x のグラフを書く」

応用問題②

\(y = \sin x + \cos x\) のグラフを書け。

 

まずは三角関数を合成して、\(\sin\) だけの式に変換します。

そのあと、\(y = \sin x\) のグラフを基準に拡大縮小したり、平行移動したりして目的のグラフを得ましょう。

解答

 

\(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\) より、

 

\(\begin{align} y &= \sin x + \cos x \\ &= \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x \right) \\ &= \sqrt{2} \left( \cos \frac{\pi}{4} \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cos x \right) \\ &= \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \end{align}\)

 

\(\displaystyle y = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)\) のグラフは、

\(y = \sin x\) をもとにして、\(y\) 軸方向に \(\sqrt{2}\) 倍し、\(x\) 軸方向に \(\displaystyle −\frac{\pi}{4}\) だけ平行移動したものである。

したがってグラフは次のようになる。

 

答え:

補足

「三角関数のグラフの書き方」については、以下の記事を参考にしてみてくださいね!

三角関数のグラフの書き方を徹底解説!周期や平行移動の問題も

以上で応用問題も終わりです!

 

三角関数の合成は、式変形・作図の考え方ともに理解しておきましょう。

合成ができないと次に進めない問題もたくさんあるので、しっかりとマスターしておいてくださいね!

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