三角関数のグラフの書き方を徹底解説!周期や平行移動の問題も

この記事では、「三角関数のグラフの書き方」をできるだけわかりやすく解説していきます。

平行移動のやり方や周期の求め方なども説明しますので、ぜひマスターしてくださいね。

 

三角関数のグラフの基本

まずは、基本となる \(y = \sin \theta\), \(y = \cos \theta\), \(y = \tan \theta\) のグラフについてまとめます。

\(y = \sin \theta\) と \(y = \cos \theta\) のグラフは波形になっています。

実は、両者の波形はまったく同じで、位相(\(\theta\) 軸方向の位置)がずれているだけです。

一方、\(y = \tan \theta\) のグラフは波ではなく、上下に無限に伸びる曲線ですね。

 

三角関数のグラフの特徴

\(3\) つのグラフは、「対称性」と「周期性」をもつという特徴があります。

  • 対称性
    ある点または線に対してグラフがとる位置の性質。
    特に、原点について対称なグラフは「奇関数」、\(y\) 軸について対称なグラフは「偶関数」と呼ばれる。
  • 周期性
    一定の周期で同じ形を繰り返す性質。
    同じ形 \(1\) 回分の周期を「周期」と呼ぶ。
補足

「偶関数・奇関数」については、以下の記事で詳しく説明しています。

偶関数・奇関数とは?意味や見分け方、積分での使い方

 

y = sin θ のグラフの書き方

まずは、\(y = \sin \theta\) のグラフの書き方です。

\(\sin \theta\) については、以下のことだけ押さえましょう。

sin θ のグラフの要点
  • 縦幅: \(\color{red}{−1 \leq y \leq 1}\)
  • 開始位置: \(\color{red}{(\theta, y) = (0, 0)}\)
  • 周期: \(\color{red}{2\pi}\)

 

書き方の流れを確認します。

STEP.1
横のラインを書く

まずは横軸(\(\theta\) 軸)と、グラフの縦幅(上下に接するライン)を引きます。

上下線は点線でうす〜く書きましょう。

 

STEP.2
点を打つ

グラフが通る次の点を打っていきます。

① 開始位置 \((0, 0)\)
② \(1\) 周期分の終点 \((2\pi, 0)\)
③ \(1\) 周期を \(4\) 等分する点

\(\sin \theta\) のグラフは「中央 → 山 → 中央 → 谷 → 中央」 と変化します。

縦軸をまだ書いていないので、場所は自分で調整できます。

開始位置を左寄り、終点を右寄りに書くのがオススメです。

 

STEP.3
波を書く

\(1\) 周期分の位置が定まったので、波を書きます。

はじめに位置を決めた \(1\) 周期分を書き、同じ要領で左右に少しだけ伸ばします。

変にとんがらないように、なめらかな曲線にするのがポイントです!

 

STEP.4
縦軸、値を書く

開始位置に合わせて縦軸を書き込み、縦・横両方の値を入れていきます。

周期が \(2\pi\) なので、\(4\) 等分した一刻みは「\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)」です。

グラフの山・中央・谷には、すべて値を与えましょう。

 

STEP.5
関数名を明記する

最後に、関数名を忘れずに書き込みます。

これで、\(y = \sin \theta\) のグラフの完成です!

 

完了

 

y = cos θ のグラフの書き方

続いて、\(y = \cos \theta\) のグラフの書き方です。

\(\cos \theta\) については、以下のことだけ押さえましょう。

cos θ のグラフの要点
  • 縦幅: \(\color{red}{−1 \leq y \leq 1}\)
  • 開始位置: \(\color{red}{(\theta, y) = (0, 1)}\)
  • 周期: \(\color{red}{2\pi}\)

\(y = \sin \theta\) との違いは、開始位置が高さ \(1\) の点(山)であることですね。

 

それでは、書き方を確認します。

流れは \(y = \sin \theta\) とまったく同じなので、詳しい説明は省きますね。

STEP.1
横のラインを書く

 

STEP.2
点を打つ

① 開始位置 \((0, 1)\)
② \(1\) 周期分の終点 \((2\pi, 1)\)
③ \(1\) 周期を \(4\) 等分する点

\(\cos \theta\) のグラフは「山 → 中央 → 谷 → 中央 → 山」 と変化します。

 

STEP.3
波を書く

 

STEP.4
縦軸、値を書く

\(\cos \theta\) の場合も、刻みの間隔は「\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)」ですね。

 

STEP.5
関数名を明記する

最後に、関数名を忘れずに書き込みます。

これで、\(y = \cos \theta\) のグラフの完成です!

 

完了

 

y = tan θ のグラフの書き方

最後は、\(y = \tan \theta\) のグラフの書き方です。

\(\tan \theta\) については、以下のことだけ押さえましょう。

tan θ のグラフの要点
  • 開始位置: \(\color{red}{(\theta, y) = (0, 0)}\)
  • 周期: \(\color{red}{\pi}\)

 

それでは、グラフの書き方を確認しましょう。

\(\sin \theta\), \(\cos \theta\) とは少し手順が違うので、注意してください!

STEP.1
横軸と開始位置の点を打つ

横軸の真ん中より左側に、点 \((0, 0)\) を打ちます。

\(\tan \theta\) は波ではないので、上下線は不要です。

 

STEP.2
横軸に刻みを入れる

開始位置を起点に、横軸に等間隔の刻みを入れていきます。

細かすぎると大変なので、\(8\) ~ \(12\) 刻みあれば十分です。

 

STEP.3
漸近線を引く

開始位置から左右 \(2\) 刻みの位置に漸近線を点線で引きます。

ほかの漸近線も \(4\) 刻み間隔(\(1\) 周期)で引きましょう。

 

STEP.4
曲線を書く

開始位置 \((0, 0)\) を通り、左漸近線に \(−\infty\)、右漸近線に \(+\infty\) で近づく曲線を書きます。

ほかの漸近線同士の間にも同様の曲線を書きます。

なめらかに書いてくださいね!

 

STEP.5
縦軸、値を書く

周期(漸近線の間隔)が \(\pi\) なので、刻みの間隔は「\(\displaystyle \frac{\pi}{4}\)」ですね。

高さ \(1, −1\) の値も入れてあげるとよりていねいです。

 

STEP.6
関数名を明記する

最後に、関数名を忘れずに書き込みます。

これで、\(y = \tan \theta\) のグラフの完成です!

 

完了

 

三角関数のグラフを簡単に書くコツ

三角関数のグラフを手書きで簡単に書くコツをまとめると、次の \(2\) つです。

Tips
  • 「縦幅」「開始位置」「周期」を押さえる
    (※ \(\tan \theta\) の場合は「縦幅」不要)
  • 縦軸を最後に書く

 

三角関数のグラフは、細かく点をとろうと思えばいくらでもとれます。

例えば、三角比の値は \(\displaystyle \frac{\pi}{6}\) \((30^\circ)\) や \(\displaystyle \frac{\pi}{4}\) \((45^\circ)\) 刻みで調べることができますから、ていねいに書けば次のようなグラフが書けます。

ですが、毎回これは大変ですよね。

先ほど示した書き方のように、「縦幅」「開始位置」「周期」さえ押さえておけば、こんなに細かく値を調べる必要がありません

 

また、縦軸を最初に書くと全体の位置が固定され、「グラフを動かす」ことになってしまいます。

そうすると、例えば平行移動したグラフを書く際に思ったよりも右寄りになったり左寄りになったりと、不恰好なグラフになる可能性があります。

縦軸を最後に書けば、グラフが拡大・縮小または平行移動されても対応しやすくなります

 

それでは、三角関数のグラフの拡大・縮小や平行移動について整理していきましょう。

 

三角関数のグラフの拡大縮小

三角関数のグラフは、縦横に拡大・縮小できます。

\(y = \sin \theta\) を例に、式との対応を確認しましょう。

y 軸方向の拡大縮小 (y = a sin θ)

まずは、縦方向の拡大・縮小です。

y 軸方向の拡大・縮小

\(y = \sin \theta\) を \(y\) 軸方向に \(a\) 倍した関数は、

\begin{align}y = \color{red}{a} \sin \theta\end{align}

\(|a| > 1\) の場合は拡大、\(|a| < 1\) の場合は縮小されます。

また、\(a < 0\) になると、グラフが上下に反転します。

補足

\(y = a \sin \theta\), \(y =  a \cos \theta\) のグラフでは、\(a\) は「振幅」と呼ばれます。

グラフは縦方向に \(\color{red}{−|a| \leq y \leq |a|}\) の値をとります。

 

θ 軸方向の拡大縮小 (y = sin kθ)

続いて、横方向の拡大・縮小です。

θ 軸方向の拡大・縮小

\(y = \sin \theta\) を \(\theta\) 軸方向に \(\displaystyle \frac{1}{k}\) 倍した関数は、

\begin{align}y = \sin \color{red}{k}\theta\end{align}

なお、周期は \(\color{red}{\displaystyle \frac{2\pi}{|k|}}\)

「\(k\theta\)」で「\(\displaystyle \frac{1}{k}\) 倍」ということに注意しましょう。

また、\(k < 0\) になるとグラフが左右に反転します。

Tips

\(\theta\) 軸方向の拡大・縮小は「周期」に関わります。

「\(k\theta\)」なら周期は「\(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{|k|}}\) 」になると覚えておきましょう!

(例)

  • \(y = \sin 2\theta\) → 周期 \(\pi\)
  • \(\displaystyle y = \sin \frac{\theta}{2}\) → 周期 \(4\pi\)
  • \(y = \sin (−\theta)\) → 周期 \(2\pi\)

 

三角関数のグラフの平行移動

三角関数のグラフは、縦横に平行移動もできますね。

\(y = \sin \theta\) を例に、式との対応を確認しましょう。

y 軸方向の平行移動 (y = sin θ + q)

まずは、縦方向の平行移動です。

y 軸方向の平行移動

\(y = \sin \theta\) を \(y\) 軸方向に \(q\) だけ平行移動した関数は、

\begin{align}y = \sin \theta \, \color{red}{ + \,q}\end{align}

\(q > 0\) なら上に、\(q < 0\) なら下にずれます。

 

θ 軸方向の平行移動 (y = sin (θ − p))

続いて、横方向の平行移動です。

θ 軸方向の平行移動

\(y = \sin \theta\) を \(\theta\) 軸方向に \(p\) だけ平行移動した関数は、

\begin{align}y = \sin (\theta \, \color{red}{− \, p})\end{align}

移動量 \(p\) と関数での表記 \((\theta − p)\) で正負が反対になることに注意しましょう。

 

三角関数のグラフの変形 (y = a sin k(θ − p) + q)

それではいよいよ、変形された三角関数のグラフの書き方を説明していきます。

縦横の拡大・縮小、平行移動の情報をまとめると、次のようになります。

y = a sin k(θ − p) + q のグラフ

\(\color{red}{y = a \sin k(\theta − p) + q}\) は、\(y = \sin \theta\) のグラフを

  • \(y\) 軸方向に \(\color{red}{a}\)
  • \(\theta\) 軸方向に \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{k}}\)
  • \(y\) 軸方向に \(\color{red}{+\, q}\) 平行移動
  • \(\theta\) 軸方向に \(\color{red}{+\, p}\) 平行移動

したグラフである。

なお、周期は \(\color{red}{\displaystyle \frac{2\pi}{|k|}}\)

グラフが変形されても、「縦幅」「開始位置」「周期」を押さえればきれいに書くことができます!

 

例題「cos の変形グラフを書く」

例題で、書き方の流れを確認しましょう。

例題

関数 \(\displaystyle y = 2 \cos \left( \frac{\theta}{2} − \frac{\pi}{3} \right) + 1\) のグラフを書け。また、その周期を求めよ。

 

関数の情報をまとめてから、グラフを書きます。

準備 1
右辺を整理する

まず、角度が「\(\color{red}{k}(\theta − p)\)」となるように整理します。

\(\begin{align} y &= 2 \cos \left( \frac{\theta}{2} − \frac{\pi}{3} \right) + 1 \\ &= 2 \cos \color{red}{\frac{1}{2}} \left( \theta − \frac{2}{3}\pi \right) + 1 \end{align}\)

 

準備 2
関数の情報を取り出す

関数から「縦幅」「開始位置」「周期」の情報を取り出します。

  • 縦幅:元の縦幅 \(\times\) (振幅 \(a\)) \(+\) (\(y\) 軸方向の移動量 \(q\))
  • 開始位置:角度全体が \(0\) になる \(\theta\) とそのときの \(y\) 座標
  • 周期:元の周期 \(\times \ \displaystyle \frac{1}{|k|}\)

縦幅は \(−1 \leq y \leq 3\)、開始位置は \(\displaystyle \left( \frac{2}{3}\pi , 3 \right)\)、周期は \(4\pi\) とわかりましたね。

あとは、基本のグラフと同じように書いていくだけです!

今回は \(\cos \theta\) の手順がベースですね。

 

STEP.1
横のラインを書く

\(\theta\) 軸を基準に、縦幅の上・下・中央のラインを点線で引きます。

今回は、\(y = −1, 1, 3\) の線ですね。

 

STEP.2
点を打つ

次の点を打ちます。

① 開始位置 \(\displaystyle \left( \frac{2}{3}\pi , 3 \right)\)
② \(1\) 周期分の終点 \(\displaystyle \left( \frac{2}{3}\pi + 4\pi, 3 \right) = \left( \frac{14}{3}\pi, 3 \right)\)
③ \(1\) 周期を \(4\) 等分する点

\(\cos\) のグラフなので、「山 → 中央 → 谷 → 中央 → 山」と変化します。

 

STEP.3
波を書く

位置を決めた \(1\) 周期分を基準に、左右にも少し伸ばしましょう。

 

STEP.4
縦軸、値を書く

\(\theta\) 軸方向の \(1\) 刻みは、周期 \(4\pi\) を \(4\) 等分した「\(\pi\)」ずつですね。

 

STEP.5
関数名を明記する

最後に、関数名を忘れずに書き込みます。

これで、\(\displaystyle y = 2 \cos \left( \frac{\theta}{2} − \frac{\pi}{3} \right) + 1\) のグラフの完成です!

 

完了

この方法なら、わざわざ表を作ったり、グラフを重ねて書いたりするよりも簡単にグラフを書くことができますね。

 

三角関数のグラフの練習問題

実際の問題で、グラフを書く練習をしましょう!

練習問題①「tan の変形グラフと周期」

練習問題①

関数 \(\displaystyle y = \tan \left( 2\theta + \frac{\pi}{4} \right)\) のグラフを書け。また、その周期を求めよ。

 

ベースは \(y = \tan \theta\) のグラフですね。

情報を整理して、グラフに落とし込みましょう。

解答

 

\(\begin{align} y &= \tan \left( 2\theta + \frac{\pi}{4} \right) \\ &= \tan 2\left( \theta + \frac{\pi}{8} \right) \end{align}\)

 

\(\displaystyle 2\left( \theta + \frac{\pi}{8} \right) = 0\) のとき \(\displaystyle \theta = −\frac{\pi}{8}\) より、

点 \(\displaystyle \left( −\frac{\pi}{8}, 0 \right)\) を通る。

 

\(y = \tan \theta\) の周期が \(\pi\) であるから、 \(\displaystyle y = \tan 2 \left( \theta + \frac{\pi}{8} \right)\) の周期は \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)。

 

よって、グラフは次の通り。

 

答え:

周期は \(\color{red}{\displaystyle \frac{\pi}{2}}\)

 

練習問題②「sin の変形グラフと周期」

練習問題②

関数 \(\displaystyle y = \frac{1}{3} \sin \left( \frac{\theta}{3} + \frac{\pi}{6} \right) − 1\) のグラフを書け。また、その周期を求めよ。

 

ベースが \(y = \sin \theta\) のグラフです。

縦方向の平行移動もあるので注意しましょう!

解答

 

\(\begin{align} y &= \frac{1}{3} \sin \left( \frac{\theta}{3} + \frac{\pi}{6} \right) − 1 \\ &= \frac{1}{3} \sin \frac{1}{3} \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) − 1 \end{align}\)

 

\(y\) のとりうる範囲は

\(\displaystyle −\frac{4}{3} \leq y \leq −\frac{2}{3}\)

(中央は \(y = −1\))

 

\(\displaystyle \frac{1}{3} \left( \theta + \frac{\pi}{2} \right) = 0\) のとき \(\displaystyle \theta = −\frac{\pi}{2}\) より、

点 \(\displaystyle \left( −\frac{\pi}{2}, −1 \right)\) を通る。

 

\(y = \sin \theta\) の周期が \(2\pi\) であるから、\(\displaystyle y = \frac{1}{3} \sin \left( \frac{\theta}{3} + \frac{\pi}{6} \right) − 1\) の周期は \(6\pi\)。

よって、グラフは次の通り。

 

答え:

周期は \(\color{red}{6\pi}\)

いかがでしたか?

 

要点を押さえれば、変形されたグラフもきちんと書けることが実感できたかと思います。

まずは基本のグラフを手早く書く練習から始めてくださいね!

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