複素数平面を総まとめ！数IIIで習う性質・公式一覧

複素数 \(z = x + yi\)  について、

• 実軸に関して対称移動した点
  → \(\color{red}{\overline{z} = x − yi}\)
• 虚軸に関して対称移動した点
  → \(\color{red}{−\overline{z} = −x + yi}\)
• 原点に関して対称移動した点
  → \(\color{red}{−z = −x − yi}\)

\(z\), \(w\) を複素数とすると、以下が成り立つ。

1. 共役複素数の和と差
   \(z + \overline{z}\) は実数
   \(z − \overline{z}\) は純虚数または \(0\)
2. 実数、純虚数の共役
   \(z\) が実数 \(\iff\) \(z = \overline{z}\)
   \(z\) が純虚数 \(\iff\) \(z = −\overline{z}\) かつ \(z \neq 0\)
3. 和・差・積・商の共役
   \(\overline{z + w} = \overline{z} + \overline{w}\)
   \(\overline{z − w} = \overline{z} − \overline{w}\)
   \(\overline{zw} = \overline{z} \cdot \overline{w}\)
   \(\displaystyle \overline{\left( \frac{z}{w} \right)} = \frac{\overline{z}}{\overline{w}}\) (\(w \neq 0\))
4. 共役の共役
   \(\overline{\overline{z}} = z\)

\(z = x + yi\) のとき、\(z\) に対応する点 \((x, y)\) と原点 \(\mathrm{O}\) との距離は

\begin{align}\color{red}{|z| = |x + yi| = \sqrt{x^2 + y^2}}\end{align}

複素数 \(z = a + bi\), \(w = c + di\) に対応する点 \((a, b)\), \((c, d)\) の距離は

\begin{align}\color{red}{|w − z| = \sqrt{(c − a)^2 + (d − b)^2}}\end{align}

\(z\), \(w\) を複素数とすると、以下が成り立つ。

1. \(\color{red}{|z| = 0 \iff z = 0}\)
2. \(|z| = |−z| = |\overline{z}|\) より
   \(\color{red}{z\overline{z} = |z|^2}\)

3. \(\color{red}{|zw| = |z||w|}\)
4. \(\color{red}{\displaystyle \left| \frac{z}{w} \right| = \frac{|z|}{|w|}}\) (\(w \neq 0\))

複素数 \(z = x + yi\) について、偏角を \(\theta\) とすると、

\(x = |z|\cos\theta\), \(y = |z|\sin\theta\) より、\(z\) を極形式で表すと

\begin{align}\color{red}{z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta)}\end{align}

極形式は、「極座標」や「極方程式」の考え方がベースになっています。

よくわからないという人は以下の記事で学習しておきましょう！

極座標とは？直交座標との表示変換、距離や面積の公式

極方程式とは？グラフの書き方や面積・曲線の長さの公式

\(z_1 = x_1 + y_1i\), \(z_2 = x_2 + y_2i\) とする。

• 加法
  \(w = z_1 + z_2\) とすると
  \(\color{red}{w = (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2)i}\)
• 減法
  \(w = z_1 − z_2\) とすると
  \(\color{red}{w = (x_1 − x_2) + (y_1 − y_2)i}\)

\(z_1 = |z_1|(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)\), \(z_2 = |z_2|(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)\) とすると、積 \(z_1z_2\) は

（見切れる場合は横へスクロール）

\(z_1 = |z_1|(\cos \theta_1 + i\sin \theta_1)\), \(z_2 = |z_2|(\cos \theta_2 + i\sin \theta_2)\) とすると、商 \(\displaystyle \frac{z_1}{z_2}\) は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|}{|z_2|} (\cos(\theta_1 − \theta_2) + i\sin(\theta_1 − \theta_2))}\end{align}

後ほど解説するドモアブルの定理を利用すると、乗法と除法でやっていることは基本的に同じと考えることができます。

\(\displaystyle \frac{1}{z} = z^{−1} = \frac{1}{r} (\cos(−\theta) + i\sin(−\theta))\)

より、

\begin{align} \frac{z_1}{z_2} &= z_1 \cdot \frac{1}{z_2} \\ &= \frac{|z_1|}{|z_2|} (\cos(\theta_1 − \theta_2) + i\sin(\theta_1 − \theta_2)) \end{align}

• 複素数 \(z\) に \(w = r(\cos \theta + i\sin \theta)\) をかける
  \(z\) は原点からの距離が \(r\) 倍、偏角が原点中心に \(+\theta\) 回転した点に移動
• 複素数 \(z\) を \(w = r(\cos \theta + i\sin \theta)\) で割る
  \(z\) は原点からの距離が \(\displaystyle \frac{1}{r}\) 倍、偏角が原点中心に \(−\theta\) 回転した点に移動

複素数 \(z = |z|(\cos \theta_z + i\sin \theta_z)\) を複素数平面上で原点を中心に \(\theta\) 回転させた複素数 \(z’\) は

\begin{align}z’ &= z\color{red}{(\cos \theta + i\sin \theta)} \\ &= |z| \{\cos(\theta_z \color{red}{+ \theta}) + i\sin(\theta_z \color{red}{+ \theta})\}\end{align}

複素数 \(z\) を複素数平面上で点 \(\alpha\) を中心に \(\theta\) 回転させた複素数 \(z’\) は

\begin{align}z’ = (z \color{red}{− \alpha})\color{red}{(\cos \theta + i\sin \theta) + \alpha}\end{align}

任意の実数 \(\theta\)、任意の整数 \(n\) に対し

\begin{align}\color{red}{(\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta}\end{align}

が成り立つ。

（ただし \(i\) は虚数単位）

\(1\) の \(n\) 乗根は、次の \(n\) 個の複素数 \(z_k\) \((k = 0, 1, \cdots, n−1)\) である。

\begin{align}\color{red}{\displaystyle z_k = \cos\frac{2k\pi}{n} + i\sin\frac{2k\pi}{n}}\end{align}

任意の偏角 \(\theta\) について、

\begin{align}\color{red}{e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta}\end{align}

\(z = 1 + \sqrt{3}i\) のとき、以下の複素数を極形式で表し、複素数平面上に図示せよ。

(1) \(z\)　(2) \(\overline{z}\)　(3) \(\displaystyle \frac{1}{z}\)

(1) \(z = 1 − i\) を原点中心に \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) 回転させた点が表す複素数を求めよ。

(2) \(z = 1 − i\) を \(1\) が表す点を中心に \(\displaystyle \frac{\pi}{2}\) 回転させた点が表す複素数を求めよ。

\(z^3 = 2 + 2i\) の解を極形式で表し、複素数平面上に図示せよ。