極座標とは？直交座標との表示変換、距離や面積の公式

極 \(\mathrm{O}\)、始線 \(\mathrm{OX}\) に対し、動径 \(\mathrm{OP} = r\)、\(\mathrm{OX}\) と \(\mathrm{OP}\) がなす角を \(\theta\) とすると、

点 \(\mathrm{P}\) の極座標は \(\color{red}{(r, \theta)}\) と表される。

点 \(\mathrm{P}\) の直交座標を \((x, y)\)、極座標を \((r, \theta)\) とすると、

1. \(\color{red}{x = r\cos\theta, }\) \(\color{red}{y = r\sin\theta}\)
2. \(\color{red}{r = \sqrt{x^2 + y^2}}\)
   \(\color{red}{\displaystyle \cos\theta = \frac{x}{r}, }\) \(\color{red}{\displaystyle \sin\theta = \frac{y}{r}}\)　\(\color{red}{(r \neq 0)}\)

• 原点との距離 \(r\)
  → 「三平方の定理」で求める
  　 \begin{align}\color{red}{r = \sqrt{x^2 + y^2}}\end{align}
• 偏角 \(\theta\)
  → 「三角比（単位円）」をイメージ
  　 \begin{align}\color{red}{\displaystyle \cos\theta = \frac{x}{r}, \displaystyle \sin\theta = \frac{y}{r}}\end{align}

「三平方の定理」、「三角比と単位円」については、以下の記事で説明しています。

三平方の定理とは？証明や計算問題、角度と辺の比の一覧

三角関数表（1°ごとの三角比の表）と有名角の三角比の求め方！

次の直交座標で表される点の極座標 \((r, \theta) \) \((0 \leq \theta \leq 2\pi)\) を求めよ。

(1) \((1, \sqrt{3})\)

(2) \((−3, \sqrt{3})\)

次の極座標で表される点の直交座標 \((x, y)\) を求めよ。

(1) \(\displaystyle \left( 2, \frac{3}{4} \pi \right)\)

(2) \(\displaystyle \left( 4, −\frac{10}{3} \pi \right)\)

極座標と直交座標の変換は、「複素数平面」でもとてもよく出てくるので慣れておきましょう！

複素数平面を総まとめ！数IIIで習う性質・公式一覧

\(\mathrm{O}\) を極とする \(2\) 点 \(\mathrm{A}(r_1, \theta_1)\), \(\mathrm{B}(r_2, \theta_2)\) があるとき、

\begin{align}\color{red}{\mathrm{AB} = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 − 2r_1r_2\cos(\theta_2 − \theta_1)}}\end{align}

\(\theta_2\), \(\theta_1\) の大小関係がわからないため、正確には \(\angle \mathrm{AOB} = |\theta_2 − \theta_1|\) ですが

\(\cos(\theta_2 − \theta_1) = \cos(\theta_1 − \theta_2)\)

の関係から、絶対値は必要ありません。

\(\mathrm{O}\) を極とする \(2\) 点 \(\mathrm{A}(r_1, \theta_1)\), \(\mathrm{B}(r_2, \theta_2)\) があるとき、\(\triangle \mathrm{OAB}\) の面積 \(S\) は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle S = \frac{1}{2} r_1 r_2 |\sin(\theta_2 − \theta_1)|}\end{align}

\(\sin(\theta_2 − \theta_1) = −\sin(\theta_1 − \theta_2)\) より、絶対値を忘れないようにしましょう。