ドモアブルの定理とは?意味や証明、問題の解き方

この記事では、「ドモアブルの定理」についてわかりやすく解説します。

証明や問題での使い方も説明しますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

ドモアブルの定理とは?

ドモアブルの定理は、複素数のべき乗に関する以下の定理です。

ドモアブルの定理

任意の実数 \(\theta\)、任意の整数 \(n\) に対し、

\begin{align}\color{red}{(\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta}\end{align}

が成り立つ。

(ただし \(i\) は虚数単位)

つまり、複素数の \(n\) 乗が三角関数の \(n\) 倍角を使って表せます

このとき、\(n\) が負の整数でも構いません。

 

ドモアブルの定理の図形的意味

よりイメージしやすいように、定理の図形的な意味を見ていきましょう。

絶対値 \(1\)、偏角 \(\theta\) の複素数 \(z\) について、\(z^2\), \(z^3\), \(z^4\) を計算すると

\(z = \cos \theta + i\sin \theta\) において、

ドモアブルの定理より

\(z^2 = \cos 2\theta + i\sin 2\theta\)

\(z^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta\)

\(z^4 = \cos 4\theta + i\sin 4\theta\)

これらを複素平面上に図示すると以下のようになります。

つまり、単位円上の複素数(絶対値 \(1\) の複素数)を \(n\) 乗すると偏角が \(n\) 倍になる、というのがドモアブルの定理です。

絶対値を \(0\) 以上の実数 \(r\) に拡張してあげれば、

\(\begin{align} z^n &= \{r(\cos \theta + i\sin \theta)\}^n \\ &= r^n(\cos \theta + i\sin \theta)^n \\ &= r^n (\cos n\theta + i\sin n\theta) \end{align}\)

と書けることになります。

したがって、「複素数の \(\bf{n}\) 乗は、絶対値を \(\bf{n}\) 乗し、偏角を \(\bf{n}\) 倍すればよい」ということですね。

 

ドモアブルの定理の利点

ドモアブルの定理が役に立つシーンを \(2\) つ紹介します。

【利点①】面倒な複素数のべき乗の展開を避けられる

これまで、複素数のべき乗 \((a + bi)^n\) は二項定理などを使って展開しなければならず、面倒でした。

ドモアブルの定理は、その計算の手間をほぼゼロにしてくれます。

例えば、\((1 + i)^4\) を二項定理で展開し、整理すると

\((1 + i)^4\)

\(= {}_4\mathrm{C}_0 \cdot 1^4 + {}_4\mathrm{C}_1 \cdot 1^3 \cdot i + {}_4\mathrm{C}_2 \cdot 1^2 \cdot i^2 \) \( + \,{}_4\mathrm{C}_3 \cdot 1 \cdot i^3 + {}_4\mathrm{C}_4 \cdot i^4\)

\(= 1 + 4i − 6 − 4i + 1\)

\(= −4\)

となる一方、複素数を極形式に直してドモアブルの定理を使うと、

\(\begin{align} (1 + i)^4 &= \left\{ \sqrt{2} \left( \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} \right) \right\}^4 \\ &= 4(\cos \pi + i\sin \pi) \\ &= −4 \end{align}\)

と、はるかに楽に計算できます。

 

二項定理による展開では、

  • \(n\) が大きいと展開自体が面倒
  • \(i\) をかける回数に応じて符号が変わるため、計算ミスしやすい

といった難点がありますが、ドモアブルの定理ならば面倒な展開も \(i\) の処理も不要です。

絶対値のべき乗はあるものの、正の実数のべき乗なのでそれほど難しくありません。

極形式に直すところさえクリアすれば、ドモアブルの定理を使う方が圧倒的に簡単で、計算ミスもしにくいです。

補足

「複素数の極形式への変換」については、以下の記事で説明しています。

複素数平面を総まとめ!性質や各種公式【重要記事一覧】

 

【利点②】三角関数の n 倍角の公式を簡単に導ける

ドモアブルの定理「\((\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\)」の両辺の実部、虚部を比較すると \(n\) 倍角の公式が導けます。

例えば \(n = 3\) とし、三倍角の公式を導いてみましょう。

\(n = 3\) のとき、

\((\cos \theta + i\sin \theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta\) …①

これが \(\theta\) に関する恒等式になるので、両辺の実部と虚部は等しいです。

左辺を展開し、右辺と比較します。

\((\cos \theta + i\sin \theta)^3\)

\(= \cos^3 \theta + 3i\cos^2 \theta \sin \theta \) \( − \,3\cos \theta \sin^2 \theta − i\sin^3 \theta\)

\(= \cos^3 \theta − 3\cos \theta \sin^2 \theta \) \( + \,i(3\cos^2 \theta \sin \theta − \sin^3 \theta)\)

 

①の右辺と比較すると

\(\cos^3 \theta − 3\cos \theta \sin^2 \theta = \cos 3\theta\) …②

\(3\cos^2 \theta \sin \theta − \sin^3 \theta = \sin 3\theta\) …③

 

②を整理すると

\(\cos 3\theta\)

\(= \cos^3 \theta − 3\cos \theta \sin^2 \theta\)

\(= \cos^3 \theta − 3\cos \theta (1 − \cos^2 \theta)\)

\(= \cos^3 \theta − 3\cos \theta + 3\cos^3 \theta\)

\(= 4\cos^3 \theta − 3\cos \theta\)

 

③を整理すると

\(\sin 3\theta\)

\(= 3\cos^2 \theta \sin \theta − \sin^3 \theta\)

\(= 3(1 − \sin^2 \theta)\sin \theta − \sin^3 \theta\)

\(= 3\sin \theta − 4\sin^3 \theta\)

 

よって

\(\color{red}{\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta − 3\cos \theta}\)

\(\color{red}{\sin 3\theta = 3\sin \theta − 4\sin^3 \theta}\)

となり、\(\sin\) と \(\cos\) の三倍角の公式が導けました。

倍角の公式は数が多いので、公式の暗記に自信がない、ど忘れしやすいという人はこの方法も知っておくと便利ですね。

 

ドモアブルの定理の証明

ここでは、数学的帰納法を使ってドモアブルの定理を示します。

証明

 

\((\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\) …① を数学的帰納法で示す。

 

(i) \(n\) が自然数の場合 \((n > 0)\)

\(n = 1\) のとき

 \((\text{左辺}) = \cos \theta + i\sin \theta = (\text{右辺})\) 

となり、①は成り立つ。

 

\(n = k\) \((k \geq 1)\) のとき、①が成り立つと仮定すると、

\((\cos \theta + i\sin \theta)^k = \cos k\theta + i\sin k\theta\) …②

 

\(n = k + 1\) のときを考えると、

\((\cos \theta + i\sin \theta)^{k + 1}\)

\(= (\cos \theta + i\sin \theta)^k \cdot (\cos \theta + i\sin \theta)\)

\(= (\cos k\theta + i\sin k\theta)(\cos \theta + i\sin \theta)\) (②を利用)

\(= \cos k\theta\cos\theta − \sin k\theta\sin \theta \) \( + \,i(\sin k\theta\cos \theta + \cos k\theta \sin \theta)\)

\(= \cos (k + 1)\theta + i\sin (k + 1)\theta\) (加法定理を利用)

となり、すべての自然数について①は成り立つ。

 

(ii) \(n\) が \(0\) 以下の整数の場合 \((n \leq 0)\)

\(n = 0\) のとき

 \((\text{左辺}) = (\text{右辺}) = 1\)

となり、①は成り立つ。

 

\(n \leq −1\) のとき

\(m = −n\) とおくと、\(m\) は自然数であるから①が成り立ち、

\((\cos \theta + i\sin \theta)^n\)

\(= \{(\cos \theta + i\sin \theta)^{−1}\}^m\)

\(= \{\cos(−\theta) + i\sin(−\theta)\}^m\)

\(= \cos(−m\theta) + i\sin(−m\theta)\)

\(= \cos n\theta + i\sin n\theta\)

 

以上より、すべての整数について ①(ドモアブルの定理)は成り立つ。

 

(証明終わり)

 

また、高校では習いませんが、オイラーの公式「\(e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta\)」を使うとより簡単にドモアブルの定理を証明できます。

\(e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta\) の両辺を \(n\) 乗して

\(e^{in\theta} = (\cos \theta + i\sin \theta)^n\) …(*)

 

(*) の左辺はオイラーの公式の左辺で \(\theta\) を \(n\theta\) に置き換えたものに等しいから、

\(e^{in\theta} = \cos n\theta + i\sin n\theta\)

よって

\((\cos \theta + i\sin \theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\)

補足

「オイラーの公式」については、以下の記事で詳しく説明しています。

高校数学の範囲でも役立つ知識なので、気になる方はぜひチェックしてくださいね!

オイラーの公式とは?証明やオイラーの等式との関係

 

ドモアブルの定理の計算問題

最後に、ドモアブルの定理を使う問題に挑戦しましょう。

計算問題①「複素数のべき乗を計算する」

計算問題①

次の値を求めよ。

(1) \(\displaystyle \left( \cos \frac{\pi}{10} + i\sin \frac{\pi}{10} \right)^5\)

(2) \((1 + \sqrt{3} i)^{− 6}\)

 

どちらもドモアブルの定理を使えば楽に計算できます。

(2) では、まず()内を極形式で表しましょう。

解答

 

(1)

\(\displaystyle \left( \cos \frac{\pi}{10} + i\sin \frac{\pi}{10} \right)^5\)

\(\displaystyle = \cos \frac{5\pi}{10} + i\sin \frac{5\pi}{10}\)

\(\displaystyle = \cos \frac{\pi}{2} + i\sin \frac{\pi}{2}\)

\(= i\)

 

答え: \(\color{red}{i}\)

 

 

(2)

\(|1 + \sqrt{3}i| = 2\) より

\(1 + \sqrt{3}i\)

\(\displaystyle = 2 \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right)\)

\(\displaystyle = 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} \right)\)

 

よって

\((1 + \sqrt{3}i)^{−6}\)

\(\displaystyle = \left\{ 2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3} \right) \right\}^{−6}\)

\(=2^{−6} \{\cos (−2\pi) + i\sin (−2\pi)\}\)

\(= 2^{− 6}(1 + 0)\)

\(\displaystyle = \frac{1}{64}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{64}}\)

 

計算問題②「\(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1\) を求める」

計算問題②

\(\displaystyle z = \cos \frac{2}{5}\pi + i\sin \frac{2}{5}\pi\) のとき、\(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1\) の値を求めよ。

 

求める式にそのまま \(z\) を代入してもうまくいきません。

式を変形してから代入する必要がありそうです。

Tips

「\(n\) 乗の差の因数分解の公式」を利用します。

\begin{align}\color{red}{a^n − b^n = (a − b)(a^{n−1} + a^{n−2}b + \cdots + ab^{n−2} + b^{n−1})}\end{align}

(見切れる場合は横へスクロール)

複素数分野では意外とよく使うので、これを機に覚えておきましょう!

解答

 

\(z \neq 1\) より

\(\displaystyle z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = \frac{z^5 −1}{z − 1}\)

 

ここで、ドモアブルの定理より

\(\begin{align}\displaystyle z^5 &= \left(\cos \frac{2}{5}\pi + i\sin \frac{2}{5}\pi\right)^5\\&= \cos 2\pi + i\sin 2\pi \\&= 1\end{align}\)

 

よって

\(z^5 − 1 = 0\)

\(\displaystyle \frac{z^5 −1}{z − 1} = 0\)

したがって、

\(z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0\)

 

答え: \(\color{red}{0}\)

以上で今回の記事は終わりです。

 

ドモアブルの定理をマスターして、複素数分野を得意に変えましょう!

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