平均値の定理とは?証明問題や極限の問題における使い方

この記事では、「平均値の定理」についてわかりやすく解説します。

証明問題や極限の問題での使い方などを説明していきますので、ぜひマスターしてくださいね!

 

平均値の定理とは?

平均値の定理は、曲線の傾きの平均と、曲線上の \(\bf{1}\) 点における傾きに関して成り立つ定理です。

平均値の定理

開区間 \((a, b)\) で微分可能かつ \(x = a, b\) で連続な関数 \(f(x)\) に対し、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{f(b) − f(a)}{b − a} = f’(c)}\end{align}

\begin{align}\color{red}{a < c < b}\end{align}

を満たす実数 \(c\) が存在する。

 

この定理は、曲線の傾きが区間の両端を結んだ平均の傾き必ずどこかで等しくなる(平行になる)ことを示しています。

 

平均値の定理が成り立つ理由

この定理が成り立つ理由を、背理法で考えてみましょう。

定理が成り立たないと仮定します。

微分係数 \(f’(x)\) は \((a, b)\) において連続に変化しますから、定理が成り立たないことは曲線の傾きが直線の傾きより常に大きいまたは小さいことを意味します。

そうするといつまでたっても \((a, f(a))\) を出発した点が \((b, f(b))\) にたどり着けません。

よって、仮定が矛盾していることから、平均値の定理が成り立つとわかります。

 

補足

平均値の定理を厳密に示すには、次の \(2\) つの定理を証明した上で示す必要があります。

  • 最大値・最小値の定理
    閉区間で連続な関数は、その閉区間で最大値および最小値をもつ。
  • ロルの定理
    関数 \(f(x)\) が閉区間 \([a,b]\) で連続、開区間 \((a,b)\) で微分可能で、\(f(a) = f(b)\) ならば、
    \begin{align}f’(c) = 0, \ a < c < b\end{align}
    を満たす実数 \(c\) が存在する。

 

また、平均値の定理はロルの定理の適用条件を広げてあげたものと捉えるとわかりやすいですね。

 

平均値の定理の使い方【例題】

ここでは、平均値の定理の使い方を説明します。

定理自体はシンプルな平均値の定理ですが、どのような問題で使えるのかを見抜くには訓練が必要です。

典型的なパターンを学んで、「平均値の定理を使えば解ける」問題に気づけるようになりましょう。

【使い方①】不等式の証明

平均値の定理を使う問題としてよくあるのが不等式の証明です。

証明する不等式の中に「\(f(b) − f(a)\)」や「\(b − a\)」のような形が登場するときは、平均値の定理を疑います。

例題で定理の使い方を確認しましょう。

例題

\(b > a > 1\) のとき、

\(\log b − \log a < b − a\)

を示せ。

 

\(f(x) = \log x\) とみると、平均値の定理が使えそうです。

式変形して、傾きの形 \(\displaystyle \frac{f(b) − f(a)}{b − a}\) を作ってみましょう。

証明

 

\(b − a > 0\) より、両辺を \(b − a\) で割ることができて、

\(\displaystyle \frac{\log b − \log a}{b − a} < 1\)

 

\(\displaystyle (\log x)’ = \frac{1}{x}\) であるから、平均値の定理より

\(\displaystyle \frac{\log b − \log a}{b − a} = \frac{1}{c}\)

\(b > c > a > 1\)

を満たす実数 \(c\) が存在する。

 

ここで、\(\displaystyle \frac{1}{x}\) は \(x > 0\) で単調減少するので

\(\displaystyle \frac{1}{c} < \frac{1}{a} < 1\)

したがって、\(\displaystyle \frac{\log b − \log a}{b − a} = \frac{1}{c} < 1\)

すなわち

\(\color{red}{\displaystyle \frac{\log b − \log a}{b − a} < 1}\)

 

(証明終わり)

となり、不等式が示せました。

「平均値の定理が使える」と気づくこと、そして \(a < c < b\) を踏まえて \(f’(c)\) の範囲を評価することがポイントです。

 

【使い方②】漸化式と極限

極限の問題でも、平均値の定理を使える場合があります。

平均値の定理

\(\displaystyle \frac{f(b) − f(a)}{b − a} = f’(c)\)、\(a < c < b\)

において \(\color{red}{b = n + 1}\), \(\color{red}{a = n}\) とすると、

\begin{align}\displaystyle \frac{f(n + 1) − f(n)}{(n + 1) − n} = f’(c_n)\end{align}

すなわち

\(\color{red}{f(n + 1) − f(n) = f’(c_n)}\)\(\color{red}{n < c_n < n + 1}\)

となり、漸化式の形が得られます。

 

このことを利用すると、「\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (A_{n + 1} − A_n)\) を求めよ」といった問題で、一般項 \(A_n\) が微分可能な関数であれば平均値の定理を使用できます。

実際に例題で使い方を確認しましょう。

例題

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{e^{n + 1}} − \frac{n − 1}{e^n} \right)\) を求めよ。

ただし \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0\) を用いてよい。

 

\(\displaystyle \frac{n}{e^{n + 1}} − \frac{n − 1}{e^n}  = \frac{\frac{n}{e^{n + 1}} − \frac{n − 1}{e^n}}{(n + 1) − n}\)

と見ると、平均値の定理の形になっていますね。

\(\displaystyle f(x) = \frac{x − 1}{e^x}\) とみて、平均値の定理を利用しましょう。

解答

 

\(\displaystyle f(x) = \frac{x − 1}{e^x}\) とすると

\(\begin{align} f’(x) &= \{(x − 1)e^{−x}\}’ \\ &= (x − 1)’e^{−x} + (x − 1) (e^{−x})’ \\ &= \frac{2 − x}{e^x} \end{align}\)

 

平均値の定理より、

\(\displaystyle \frac{\frac{n}{e^{n + 1}} − \frac{n − 1}{e^n}}{(n + 1) − n} = \frac{2 − c_n}{e^{c_n}}\)

\(n < c_n < n + 1\)

を満たす \(c_n\) が存在する。

この \(c_n\) を使って極限を求められないか考えます。

(解答続き)

 

\(n < c_n\) より、\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n = \infty\)

さらに、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0\) から

\(\displaystyle \lim_{c_n \to \infty} \frac{2 − c_n}{e^{c_n}} = 0\)

 

したがって

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{e^{n + 1}} − \frac{n − 1}{e^n} \right)\)

\(\displaystyle = \lim_{c_n \to \infty} \frac{2 − c_n}{e^{c_n}}\)

\(= 0\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{e^{n + 1}} − \frac{n − 1}{e^n} \right) = 0}\)

極限の問題では、平均値の定理を使うこと自体に気づくのがやや難しいため、いろいろな問題に触れて経験を積むことをオススメします!

 

平均値の定理の練習問題

それでは、平均値の定理を使った練習問題に挑戦しましょう。

練習問題①「log を含む不等式を示す」

練習問題①

\(e < p < q\) のとき次の不等式を示せ。

\(\displaystyle \log(\log q) − \log(\log p) < \frac{q − p}{e}\)

 

なんとこれ、名古屋大の入試で出題された問題です。

難関大の問題も、今回学んだことをベースに考えればクリアできます。

「\(f(q) − f(p)\)」「\(q − p\)」に注目し、平均値の定理を使います。

証明

 

\(f(x) = \log(\log x)\) とすると

\(\begin{align} f’(x) &= \frac{1}{\log x} \cdot (\log x)’ \\ &= \frac{1}{x \log x} \end{align}\)

 

また、\(q − p > 0\) より

\(\displaystyle \log(\log q) − \log(\log p) < \frac{q − p}{e}\)

\(\displaystyle \iff \frac{\log(\log q) − \log(\log p)}{q − p} < \frac{1}{e}\)

 

ここで、平均値の定理より

\(\displaystyle \frac{\log(\log q) − \log(\log p)}{q − p} = \frac{1}{c\log c}\)

\(p < c < q\)

を満たす実数 \(c\) が存在する。

 

\(e < p < c\) と \(\log x\) の単調増加性より

\(\displaystyle \frac{1}{c} < \frac{1}{e}\)

\(\displaystyle \frac{1}{\log c} < \frac{1}{\log e} = 1\)

すなわち

\(\displaystyle \frac{1}{c\log c} < \frac{1}{e}\)

 

よって

\(\displaystyle \frac{\log(\log q) − \log(\log p)}{q − p} = \frac{1}{c\log c} < \frac{1}{e}\)

したがって、

\(\displaystyle \log(\log q) − \log(\log p) < \frac{q − p}{e}\)

は成り立つ。

 

(証明終わり)

 

練習問題②「漸化式の極限を求める」

練習問題②

\(\displaystyle a_n = \frac{(\log n)^2}{2}\) とする。

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n + 1} − a_n)\) を求めよ。

ただし \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0\) を用いてよい。

 

前問に続き、これも名古屋大の問題です。

平均値の定理が使えることにさえ気づけば、難関大の問題も解けてしまいますね。

解答

 

\(\displaystyle f(x) = \frac{(\log x)^2}{2}\) とすると

\(\begin{align} f’(x) &= \frac{2 \log x \cdot (\log x)’}{2} \\ &= \frac{\log x}{x} \end{align}\)

 

ここで、平均値の定理より

\(a_{n + 1} − a_n\)

\(\displaystyle = \frac{\frac{(\log (n + 1))^2}{2} + \frac{(\log n)^2}{2}}{(n + 1) − n}\)

\(= f’(c_n)\)

\(\displaystyle = \frac{\log c_n}{c_n}\)

\(n < c_n < n + 1\)

を満たす \(c_n\) が存在する。

 

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\log x}{x} = 0\) より、

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\log c_n}{c_n} = 0\)

 

よって

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n + 1} − a_n) = \lim_{n \to \infty} \frac{\log c_n}{c_n} = 0\)

 

答え: \(\color{red}{0}\)

以上で解説は終わりです。

 

平均値の定理は、使える問題に気づくことがポイントです。

いざというときに平均値の定理を使うことを見抜けるよう、練習を重ねておきましょう。

補足

「極限」に関するほかの公式や定理については、以下のまとめ記事から探してみてください!

極限・微分積分を総まとめ!各種定理・公式【重要記事一覧】

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