極限・微分積分を総まとめ!各種定理・公式【重要記事一覧】

極限や微分積分に関するさまざまな記事をまとめていきます。

気になる問題や解き方があれば、ぜひ詳細記事を参考にしてくださいね!

 

極限

極限とは、注目している対象(数列や関数)がある値(極限値)に限りなく近づくことです。

極限とは?公式一覧や極限計算のポイントをわかりやすく解説!

極限の問題では、不定形の解消がポイントになります。

不定形の極限の解消法!極限値の求め方を徹底解説

 

極限の重要定理

極限の問題のほか、微分積分の問題でもよく利用する重要な定理です。

はさみうちの原理

ある式の極限が直接求められないとき、式が満たす不等式を使って極限を求める方法です。

はさみうちの原理とは?極限の問題での使い方を徹底解説!

 

平均値の定理

不等式の証明や漸化式の極限で利用できる定理です。

平均値の定理とは?証明問題や極限の問題における使い方

 

ロピタルの定理

不定形の極限を微分を利用して求める定理です。

ロピタルの定理とは?証明や問題での使い方をわかりやすく解説!

 

無限級数

無限に続く数列の和のことを「無限級数」といいます。

無限級数、無限等比級数とは?和の公式や求め方、図形問題

 

微分積分

微分と積分の関係を説明しています。

微分積分とは?高校で習う公式一覧、基本定理や記号の意味も!

 

微分の定義(導関数と微分係数)

微分の定義を解説しています。

導関数と微分係数の違いとは?それぞれの定義・公式・求め方

 

微分の計算公式

微分の計算公式をまとめています。

微分とは?公式一覧や微分のやり方、計算問題を簡単に解説!

また、種々の微分公式が成り立つ理由は以下の記事で示しています。

微分公式の証明一覧!

 

微分方程式

ある関数とその導関数を含む方程式を「微分方程式」といいます。

微分方程式とは?解き方(変数分離など)や一般解・特殊解の意味

 

積分の定義、計算公式

積分の定義や公式を解説しています。

積分とは?公式や積分計算のやり方、積分定数の意味

 

不定積分

不定積分の意味や計算方法を説明しています。

不定積分とは?公式や計算問題の解き方(分数を含む場合など)

 

定積分

定積分の意味や計算方法を説明しています。

定積分とは?公式や面積の計算、絶対値を含む問題の解き方

 

積分の計算テクニック

積分にはいくつかの重要な計算テクニックが存在します。

置換積分法

そのままでは積分するのが難しい関数を、変数を置き換えることで積分するテクニックです。

置換積分法とは?公式やパターンを見抜くコツ(三角関数・ルートなど)

 

部分積分法

種類の異なる関数の積で表される関数を積分するための計算テクニックです。

部分積分法とは?公式や証明、使い方のコツ(logの問題あり)

 

区分求積法

定積分による面積計算を、無数の長方形の足し算(和の極限)として行うテクニックです。

区分求積法とは?logの問題や証明などをわかりやすく説明!

 

偶関数・奇関数の定積分

関数の偶奇に着目すると、定積分の計算が簡略化できます。

偶関数・奇関数とは?意味や見分け方、積分での使い方

 

微分積分のグラフへの応用(計量・求積)

微分積分は、グラフの情報を得るのに必要不可欠です。

接線・法線の方程式【微分】

曲線上 \(y = f(x)\) 上のある点 \((a, f(a))\) における微分係数 \(f'(a)\) は、その点における曲線の接線の傾きを表します。

接線の方程式の求め方は、以下の記事で説明しています。

接線、接線の方程式とは?公式や微分による傾きの求め方

接線の傾きがわかれば、法線(接線に直交する直線)の方程式も求められます。

法線、法線ベクトルとは?方程式、2 直線のなす角の求め方

 

関数の増減と極大・極小【微分】

ある関数の導関数を調べることで、その関数の増減や極値を求められます。

詳しくは、以下の記事で説明しています。

増減表とは?書き方や符号の調べ方、2 回微分する意味

 

面積・体積【積分】

\(2\) つの曲線(または直線)で挟まれた部分の面積は、定積分によって求められます。

また、面積を積分すると体積を求めることができます。

積分計算による体積の求め方!断面積の積分や回転体の体積

 

曲線の長さ【積分】

曲線の長さも、定積分によって求められます。

曲線の長さの求め方!積分公式や証明、問題の解き方

 

【発展】テイラー展開・マクローリン展開

関数の近似には、導関数(微分)や極限の考え方を利用します。

また、ある関数の \(1\) 点の導関数の値から計算した項の無限和(無限級数)でその関数を表すことを「テイラー展開」といいます。

近似値・近似式とは?公式や求め方、テイラー展開・マクローリン展開も!

 

以上が極限や微分積分の記事一覧でした!

極限・微分積分の分野では暗記すべき公式が多く、また高い計算力が求められます。

\(1\) つ \(1\) つの知識への理解を深めつつ、たくさんの問題を解いて、ぜひマスターしてくださいね!

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