ロピタルの定理とは?証明や問題での使い方をわかりやすく解説!

この記事では、「ロピタルの定理」の意味や使い方をわかりやすく解説していきます。

定理の証明や使えない条件も解説しますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね!

 

ロピタルの定理とは?

ロピタルの定理とは、不定形となる極限を微分を利用して求める、以下のような定理です。

ロピタルの定理

関数 \(f(x), g(x)\) が \(x = a\) を含む区間 \(I\) で連続で、区間 \(I\) のうち \(x \neq a\) で微分可能かつ \(g’(x) \neq 0\) のとき、\(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\) が不定形であるとする。

このとき、\(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}\) の極限値 \(l\) が存在するならば

\begin{align}\color{red}{ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)} = l}\end{align}

が成り立つ。

不定形の極限

全体がどのような極限値に向かうかが直接定められない以下のようなタイプの極限。

  • \(\displaystyle \frac{0}{0}\)
  • \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\)
  • \(0 \cdot \infty\)
  • \(\infty − \infty\)

(\(\infty\) は正負どちらもあり)

関数同士の商(または積)からなる式の極限が不定形になってしまうけれど、分母・分子を微分したものの極限値は定められる、という場合に、なんと元の式もその極限値をとると示した定理です。

ただし、この定理を使える条件は限られているので、使うときは注意が必要です。
ロピタルの定理の使い方で詳しく解説)

 

補足

非常に便利な定理ですが、実際の試験の答案には使えないと考えてください。

なぜならこの定理の完全な証明は、高校の範囲では不可能だからです。

極限計算の検算方法として覚えておきましょう。

 

ロピタルの定理の証明

ここでは、ロピタルの定理を簡易的に証明していきます。

厳密な証明ではないので、こういう雰囲気で成り立つんだなあ、くらいに捉えてくださいね。

なお、証明の過程で「平均値の定理」と「はさみうちの原理」を利用します。

平均値の定理

関数 \(f(x)\) が閉区間 \([a, b]\) で連続、開区間 \((a, b)\) で微分可能ならば、

\(\displaystyle \frac{f(b) − f(a)}{b − a} = f’(c)\), \(a < c < b\)

を満たす実数 \(c\) が存在する。

平均値の定理とは?証明問題や極限の問題における使い方

 

はさみうちの原理

関数 \(f(x), g(x), h(x)\) について、

\(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\) かつ \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = l\) ならば

\(\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = l\)

が成り立つ。

はさみうちの原理とは?極限の問題での使い方を徹底解説!

 

【証明①】\(\displaystyle \frac{0}{0}\) の不定形

まずは、\(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\) が \(\displaystyle \frac{0}{0}\) の不定形である場合の証明です。

ロピタルの定理の証明①

関数 \(f(x), g(x)\) が \(x = a\) を含む区間 \(I\) で連続で、区間 \(I\) のうち \(x \neq a\) で微分可能かつ \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = 0\), \(\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = 0\), \(g’(x) \neq 0\) のとき、

\begin{align}\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}\end{align}

 

\(x\) が \(a\) に右側から近づく場合と左側から近づく場合の \(2\) 通りが考えられますが、どちらも同じ流れで示すことができます。

証明

 

(i) 右側極限 \((a < x)\) の場合

関数 \(f(x), g(x)\) は閉区間 \([a, x]\) で連続、開区間 \((a, x)\) で微分可能であるから、

平均値の定理より

\(\displaystyle \frac{f(x) − f(a)}{x − a} = f’(c)\) …①

\(\displaystyle \frac{g(x) − g(a)}{x − a} = g’(d)\)  …②

を満たす \(c, d\) \((a < c < x, a < d < x)\) が存在する。

 

上記区間において \(g’(x) \neq 0\) であるから、①の左辺・右辺を②の左辺・右辺で割ることができ、

\(\displaystyle \frac{f(x) − f(a)}{g(x) − g(a)} = \frac{f’(c)}{g’(d)}\) …③

 

ここで、\(\displaystyle \lim_{x \to a+0} f(x) = \lim_{x \to a+0} g(x) = 0\) より

\(f(a) = g(a) = 0\) である。

よって、③において \(x \to a + 0\) の極限を考えると、はさみうちの原理から \(c, d \to a\) であるので、

\(\displaystyle \lim_{x \to a+0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a+0} \frac{f’(x)}{g’(x)}\)

が成り立つ。

 

 

(ii)  左側極限 \((x < a)\) の場合

関数 \(f(x), g(x)\) は閉区間 \([x, a]\) で連続、開区間 \((x, a)\) で微分可能であるから、

(i) と同様に

\(\displaystyle \lim_{x \to a−0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a−0} \frac{f’(x)}{g’(x)}\)

を示すことができる。

 

よって、

\(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}\) …(*)

が成り立つ。

 

(証明終わり)

これで \(\displaystyle \frac{0}{0}\) の不定形のときのロピタルの定理が導けました。

 

【証明②】\(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\) の不定形

続いて、\(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\) の不定形の証明です。

分母・分子の関数の逆数をとると \(\displaystyle \frac{0}{0}\) の不定形で示した等式 (*) を利用できます。

なお、証明では符号は省略しますが、\(+\infty, −\infty\) のどちらでも同様に示せます。

ロピタルの定理の証明②

関数 \(f(x), g(x)\) が \(x = a\) を含む区間 \(I\) で連続で、区間 \(I\) のうち \(x \neq a\) で微分可能かつ \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \infty\), \(\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \infty\), \(g’(x) \neq 0\) のとき、

\begin{align}\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}\end{align}

 

証明

 

\(\displaystyle f(x) = \frac{1}{F(x)}\), \(\displaystyle g(x) = \frac{1}{G(x)}\) とおくと、

\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = \infty\) のとき \(\displaystyle \lim_{x \to a} F(x) = \lim_{x \to a} G(x) = 0\) であるから

(*) より

\(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{F(x)}{G(x)} = \lim_{x \to a} \frac{F’(x)}{G’(x)}\) …①

 

ここで、

\(\displaystyle f’(x) = \left\{ \frac{1}{F(x)} \right\}’ = −\frac{F’(x)}{F(x)^2}\)

\(\displaystyle g’(x) = \left\{ \frac{1}{G(x)} \right\}’ = −\frac{G’(x)}{G(x)^2}\)

であるから、

 

\(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}\)

\(\displaystyle = \lim_{x \to a} \frac{−\frac{F’(x)}{F(x)^2}}{−\frac{G’(x)}{G(x)^2}}\)

\(\displaystyle = \lim_{x \to a} \frac{F’(x)}{G’(x)} \cdot \left\{ \frac{G(x)}{F(x)} \right\}^2\)

①より

\(\displaystyle = \lim_{x \to a} \frac{F(x)}{G(x)} \cdot \left\{ \frac{G(x)}{F(x)} \right\}^2\)

\(\displaystyle = \lim_{x \to a} \frac{G(x)}{F(x)}\)

\(\displaystyle = \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\)

 

よって、\(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}\) が成り立つ。

 

(証明終わり)

これで、\(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\) のときのロピタルの定理も導けました。

 

ロピタルの定理の使い方

それでは、ロピタルの定理の使い方を学んでいきましょう。

まず、定理を使える条件を再確認します。

ロピタルの定理が使える条件
  1. 関数 \(f(x), g(x)\) が \(x = a\) を含む区間 \(I\) において連続で、区間 \(I\) の \(x = a\) 以外で微分可能である
  2. \(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\) が不定形である
  3. 区間 \(I\) の \(x = a\) 以外で \(g’(x) \neq 0\) となる
  4. \(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}\) が存在する
補足

条件に出てくる区間 \(I\) は自分で好きに設定できるので、あまり意識する必要はありません。つまり、\(x = a\) 周辺のことを考えればよいというだけです。

これら \(4\) つがすべて満たされることを確認してはじめて、ロピタルの定理を使うことができます。

ほとんどの極限の問題で条件 1 は満たされるので、それほど注意はいりません。

条件 2 は、ロピタルの定理を使いたいと考えるきっかけなのでこれも心配ないでしょう。

注意深く確認すべきなのは、条件 3, 4 です。

問題によっては、\(g’(x)\) または \(\displaystyle \frac{f’(x)}{g’(x)}\) が発散(特に振動)してしまい、条件 3, 4 が満たされない場合があります。

補足

条件 3 がいまいちイメージしにくいかもしれませんね。

例えば、\(g’(x)\) が \(x = a\) 周辺で \(0\) になってしまう例として以下が挙げられます。

(例)\(\displaystyle g’(x) = \sin \left( \frac{1}{x} \right)\), \(a = 0\)

\(x\) が \(0\) に近づくと \(\displaystyle \left| \frac{1}{x} \right|\) は爆発的に増加し、\(g’(x)\) は激しく振動します(周期が \(0\) に収束していく)。

\(\sin\) の関数である \(g’(x)\) は \(−1 \leq g’(x) \leq 1\) の間を行き来する周期関数ですから、区間 \(I\) をどれだけせまくとっても、\(I\) 内に \(g’(x) = 0\) となる点が必ず含まれてしまいます。

三角関数など、振動する関数が出てくる場合は特に注意しましょう

 

例題①「定理が使えない例」

以上を踏まえ、例題を解いてみましょう。

例題①

以下の極限がロピタルの定理を用いて求められるか確認し、極限値を求めよ。

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \sin x}{x + \cos x}\)

 

ここでは、条件 2, 3, 4 をていねいに確認してみましょう。

(1)

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x + \sin x) = +\infty\), \(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (x + \cos x) = +\infty\)

条件 2 クリア

 

\((x + \cos x)’ = 1 − \sin x\)

よって、 \(\displaystyle x = \frac{\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) は整数) において \((x + \cos x)’ = 0\)

条件 3 NG

 

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{(x + \sin x)’}{(x + \cos x)’}\)

\(\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \cos x}{1 − \sin x}\)(\(x \to \infty\) で振動)

条件 4 NG

よって、例題①ではロピタルの定理を使えません。

 

しかし、実は極限自体は式変形によって求められます。

\(\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x + \sin x}{x + \cos x}\)

\(\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 + \frac{\cos x}{x}}\) (分母・分子を \(x\) で割る)

\(= \color{red}{1}\)

Tips

一般的に、ロピタルの定理が使えないから打つ手なしということはありません。

その場合は、式変形やはさみうちの原理などを利用すれば極限が求められるはずです。

 

例題②「定理が使える例」

次の問題はどうでしょうか。

例題②

以下の極限がロピタルの定理を用いて求められるか確認し、極限値を求めよ。

\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x − 1}{\log x}\)

 

同様に、条件 2, 3, 4 を確認しましょう。

(2)

\(\displaystyle \lim_{x \to 1} (x − 1) = 0\), \(\displaystyle \lim_{x \to 1} \log x = 0\)

条件 2 クリア

 

\(\displaystyle (\log x)’ = \frac{1}{x} \neq 0\)

条件 3 クリア

 

\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{(x − 1)’}{(\log x)’} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{x}} = 1\)

条件 4 クリア

 

したがって、ロピタルの定理より

\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{x − 1}{\log x}\)

\(\displaystyle = \lim_{x \to 1} \frac{(x − 1)’}{(\log x)’}\)

\(= \color{red}{1}\)

この問題ではロピタルの定理を使うことができましたね。

 

ロピタルの定理の練習問題

ロピタルの定理を使って、練習問題に挑戦しましょう。

練習問題①「定理を 2 回使う」

練習問題①

(1) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}\) を求めよ。

(2) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x}\) を求めよ。

(3) \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0\) (\(n = 1, 2, \cdots\)) を数学的帰納法を使って示せ。

 

(1) ははさみうちの原理でも求められますが、ここではロピタルの定理を使ってみましょう。

また、ロピタルの定理は条件さえ満たされていれば複数回用いることもできます。

\(\displaystyle \frac{x}{e^x}\) の極限が \(\displaystyle \frac{x^n}{e^x}\) の極限に拡張できることがわかる問題です。

解答

 

(1)

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} x = \infty\), \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} e^x = \infty\)

 

\((e^x)’ = e^x \neq 0\)

 

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{(x)’}{(e^x)’} =  \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0\)

 

したがって、ロピタルの定理より

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0}\)

 

 

(2)

ロピタルの定理より

\(\begin{align}\lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} &= \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{e^x} \\&= \lim_{x \to \infty} \frac{2}{e^x} \\&= 0\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{e^x} = 0}\)

 

 

(3) 証明

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^n}{e^x} = 0\) (\(n = 1, 2, \cdots\)) …(*) を示す。

 

\(n = 1\) のとき、(1) より \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = 0\) が成り立つ。

 

\(n = k\) (\(k\) は自然数) のとき、\(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^k}{e^x} = 0\) が成り立つと仮定する。

\(n = k + 1\) のとき、

ロピタルの定理より

\(\begin{align} \lim_{x \to \infty} \frac{x^{k + 1}}{e^x} &= \lim_{x \to \infty} \frac{(k + 1)x^k}{e^x} \\&= 0\end{align}\)

より、\(n = k + 1\) のときも (*) が成り立つ。

以上より、すべての \(n\) について (*) は成り立つ。

(証明終わり)

 

練習問題②「log と sin の分数」

練習問題②

次の極限値を求め、求めた値が正しいことをロピタルの定理を使った検算によって確かめよ。なお、 \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x − 1} = 1\) を証明せず用いてよい。

\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin(x − 1)}{\log x}\)

 

実際の入試において、ロピタルの定理は検算や答えの予想だけに用いるようにしましょう。

それに即した問題です。

極限そのものは、うまく式変形すると与えられた等式を利用して求められます。

解答

 

\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin(x − 1)}{\log x}\)

\(\displaystyle = \lim_{x \to 1} \frac{\sin(x − 1)}{x − 1} \cdot \frac{x − 1}{\log x}\)

\(= 1\)

(\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x − 1} = 1\) を利用)

 

また、ロピタルの定理より

\(\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sin(x − 1)}{\log x}\)

\(\displaystyle = \lim_{x \to 1} \frac{\cos(x − 1)}{\frac{1}{x}}\)

\(= 1\)

 

答え: \(\color{red}{1}\)

以上で問題も終わりです。

高校数学の裏技、ロピタルの定理を使って極限の計算により自信をもてるようになりましょう!

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