この記事では、「無限級数」、「無限等比級数」の公式・収束条件についてわかりやすく解説していきます。
タイプ別の求め方や図形問題なども説明していきますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね。
目次
無限級数とは？【公式】
無限級数とは、無限に続く数列の和（= 数列の和の極限）のことです。
無限数列 \(\{a_n\}\) において、
\begin{align}\color{red}{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n + \cdots}\end{align}
を無限級数という。
無限級数は無限に続く足し算なので、直接求めることが難しいです。
そこで、「まず有限の \(n\) 個の和（= 部分和）を求め、その極限を求める」という考え方をします。
無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\) において、初項から第 \(n\) 項までの和
\begin{align}\color{red}{\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n}\end{align}
を部分和という。
また、部分和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k\) が \(n \to \infty\) においてある値 \(S\) に収束するとき、無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\) は \(S\) に収束する。
\begin{align}\color{red}{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n a_k = S}\end{align}
一方、部分和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k\) が \(n \to \infty\) において発散するとき、無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\) は発散する。
部分和 \(\displaystyle \sum_{k=1}^n a_k\) は「\(\color{red}{S_n}\)」と表記されることも多いです。
シグマ \(\sum\) や極限 \(\lim\) の記号がたくさん出てきて混乱しやすいですが、それぞれの要素の違いを明確に理解しておきましょう。
無限級数の収束・発散条件
無限級数の収束・発散と、数列の極限との関係を整理しましょう。
- 無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\) が収束する \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0\)
- 数列 \(\{a_n\}\) が \(0\) に収束しない \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\) は発散する
（命題 1 の対偶）
一方、命題 1, 2 の逆は成立しない。
無限級数がある値に収束するには、元の数列自体が \(0\) に収束する必要があることを意味しています。
\(0\) 以外の数を無限に足し続ければその和は一定値になり得ないので、当然ですね。
一般に、命題とその対偶の真偽は一致しますが、逆や裏の真偽と一致するとは限りません。
命題とは？数学用語（対偶、逆、裏、真偽）の意味や証明問題
命題「無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\) が収束する \(\Rightarrow\) \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0\)」を示す。
無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\) が収束するとき、第 \(n\) 項までの和を \(S_n\) とおくと
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n = \lim_{n\to\infty} S_n = S\)
\(n \geq 2\) のとき
\(a_n = S_n − S_{n−1}\) であるから、
\(\begin{align} \lim_{n\to\infty} a_n &= \lim_{n\to\infty} (S_n − S_{n−1}) \\ &= \lim_{n\to\infty} S_n − \lim_{n\to\infty} S_{n−1} \\ &= S − S \\ &= 0 \end{align}\)
（証明終わり）
無限級数同士の和
無限級数同士の和も、それぞれの無限級数が収束するならば同じく収束し、その値を求めることができます。
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\), \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n\) が収束する無限級数で、\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n = S\), \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty b_n = T\) のとき、
無限級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (ka_n + lb_n)\) (\(k\), \(l\) は定数) は収束し、
\begin{align}\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (ka_n + lb_n) = kS + lT\end{align}
無限等比級数とは？【公式】
無限級数のうち、無限等比数列からなるものを「無限等比級数」といいます。
初項 \(a\)、公比 \(r\) の無限等比数列 \(\{ar^{n −1}\}\) からなる和
\(\color{red}{\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ar^{n −1} }\) \(\color{red}{= a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n−1} + \cdots}\)
を無限等比級数という。
等比数列には和を求める公式があるので、無限等比級数はほかの無限級数とは違う求め方をすると認識しておきましょう。
無限級数の中でも、やたら無限等比級数の問題が多いと感じるかもしれません。
高校の範囲で習う数列の和は、次の \(4\) つに限られます。
- 等差数列の和
- 等比数列の和
- 階差数列の和
- \(\bf{\sum}\) 公式で求められるもの
このうち、1 と 4 の極限は必ず \(\pm\infty\) に発散するので、出題者的には「つまらない」問題になります。
よって、必然的に 2, 3 の無限級数の問題が多くなるのです。
無限等比級数の収束・発散条件
無限等比級数が収束するかどうかは、初項 \(a\) と公比 \(r\) によって決まります。
無限等比級数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ar^{n −1} = a + ar + ar^2 + \cdots\) は、
- \(a \neq 0\) のとき
\(|r| < 1\) ならば収束し、その和は \(\color{red}{\displaystyle \frac{a}{1 − r}}\)
\(|r| \geq 1\) ならば発散する - \(a = 0\) のとき
収束し、その和は \(0\)
初項 \(a\) が \(0\) の場合は \(0 + 0 + 0 + \cdots\) というあまりにもシンプルな無限等比級数になるので、ほとんど考えなくてよいでしょう。
重要なのは、公比の絶対値が \(1\) より小さいかどうかで、収束・発散が判断できることです。
ちなみに、\(a \neq 0\), \(|r| < 1\) のときの和 \(\displaystyle \frac{a}{1 − r}\) は以下のように求められます。
\(a \neq 0\), \(|r| < 1\) のとき、
数列 \(\{ar^{n − 1}\}\) は初項 \(a\)、公比 \(r\) の等比数列であるから、第 \(n\) 項までの部分和は
\(\displaystyle \frac{a(1 − r^n)}{1 − r}\)
\(|r| < 1\) のとき、\(n \to \infty\) ならば \(r^n \to 0\) であるから
\(\begin{align} \sum_{n=1}^\infty ar^{n −1} &= \lim_{n\to\infty} \frac{a(1 − r^n)}{1 − r} \\ &= \frac{a(1 − 0)}{1 − r} \\ &= \frac{a}{1 − r} \end{align}\)
無限級数・無限等比級数の求め方【例題】
それでは、無限級数の求め方をさまざまな例題を通して説明していきます。
無限級数の問題は、次の流れで解き方を決めます。
【タイプ①】数列 \(\{a_n\}\) が \(0\) に収束しない
まずは第 \(n\) 項 \(a_n\) の形をチェックしましょう。
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n\) が \(0\) 以外となる場合、その無限級数は発散するのでしたね。
次の無限級数の収束、発散について調べ、収束すればその和を求めよ。
(1) \(\displaystyle 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{5} + \frac{4}{7} + \cdots\)
(2) \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{(−1)^{n+1}(2n − 1)}{n}\)
(1)
第 \(n\) 項は、\(\displaystyle a_n = \frac{n}{2n − 1}\)
\(\begin{align} \lim_{n\to\infty} a_n &= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2 − \frac{1}{n}} \\ &= \frac{1}{2} \\ &\neq 0 \end{align}\)
数列 \(\{a_n\}\) は \(0\) に収束しないので、無限級数は発散する。
答え： 発散する
(2)
\(\displaystyle a_n = \frac{(−1)^{n+1}(2n − 1)}{n}\) とおく。
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{2n − 1}{n} = 2\)
一方、\((−1)^{n+1}\) は交互に \(1\), \(−1\) となるので
数列 \(\{a_n\}\) は振動し、\(0\) に収束しない。
よって、無限級数は発散する。
答え： 発散する
【タイプ②】数列 \(\{a_n\}\) が等比数列
数列 \(\{a_n\}\) が等比数列 \(ar^{n−1}\) の形をしていれば、無限等比級数の収束条件を考えます。
公比 \(r\) を確認し、\(|r| \geq 1\) ならば発散、\(|r| < 1\) ならば収束することがわかりますね。
収束する場合は、公式 \(\displaystyle \frac{a}{1 − r}\) で和を求めましょう。
次の無限級数の収束、発散について調べ、収束すればその和を求めよ。
(1) \(\sqrt{3} + 3 + 3\sqrt{3} + \cdots\)
(2) \(\displaystyle 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{9} − \cdots\)
(1)
初項 \(\sqrt{3}\)、公比 \(r = \sqrt{3}\) の無限等比級数で \(|r| \geq 1\) であるから、発散する。
答え： 発散する
(2)
初項 \(1\)、公比 \(\displaystyle r = −\frac{1}{3}\) の無限等比級数で \(|r| < 1\) であるから、収束する。
\(\begin{align}\displaystyle 1 − \frac{1}{3} + \frac{1}{9} − \cdots &= \sum_{n=1}^\infty \left( −\frac{1}{3} \right)^{n − 1} \\&= \frac{1}{1 − \left( −\frac{1}{3} \right)} \\ &= \frac{3}{4}\end{align}\)
答え： \(\color{red}{\displaystyle \frac{3}{4}}\) に収束する
また、\(2\) つの無限等比級数が隠れている問題もよくあります。
その場合、それぞれの公比と和を求めてから求めたい無限級数を求めましょう。
次の無限級数の収束、発散について調べ、収束すればその和を求めよ。
\(\displaystyle (1 − 2) + \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{1}{2^2} − \frac{2}{3^2} \right) + \cdots\)
第 \(n\) 項は \(\displaystyle \left\{\frac{1}{2^{n−1}} − 2 \left( −\frac{1}{3} \right)^{n−1}\right\}\) であるから、
\(\displaystyle (1 − 2) + \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{1}{2^2} − \frac{2}{3^2} \right) + \cdots\)
\(\displaystyle = \sum_{n=1}^\infty \left\{ \frac{1}{2^{n−1}} − 2 \left( −\frac{1}{3} \right)^{n−1} \right\}\)
\(\displaystyle = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n−1}} − \sum_{n=1}^\infty 2 \left( −\frac{1}{3} \right)^{n−1}\)
ここで、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n−1}}\) は初項 \(1\)、公比 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) の無限等比級数、
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty 2 \left( −\frac{1}{3} \right)^{n−1}\) は初項 \(2\)、公比 \(\displaystyle −\frac{1}{3}\) の無限等比級数
で、ともに公比の絶対値が \(1\) より小さいので、どちらも収束する。
よって、与えられた無限級数は収束し、その和は
\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n−1}} − \sum_{n=1}^\infty 2 \left( −\frac{1}{3} \right)^{n−1}\)
\(\displaystyle = \frac{1}{1 − \frac{1}{2}} − \frac{2}{1 − \left( −\frac{1}{3} \right)}\)
\(\displaystyle = 2 − \frac{3}{2}\)
\(\displaystyle = \frac{1}{2}\)
答え： \(\displaystyle \color{red}{\frac{1}{2}}\) に収束する
【タイプ③】数列 \(\{a_n\}\) が分母の大きい分数式
\(a_n\) が分数式で、分母が分子より圧倒的に大きければ、数列 \(\{a_n\}\) が \(0\) に収束すると予想できますね。
このとき、分母が積の形（または因数分解できる形）になっていれば、部分分数分解を試みましょう。
そうすると、うまく中間項が相殺されて簡単に部分和が求められます。
また、分母が無理式のものは有理化すると部分分数分解のように中間項が相殺できます。
次の無限級数の収束、発散について調べ、収束すればその和を求めよ。
(1) \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{9n^2 − 3n − 2}\)
(2) \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{5}} + \cdots\)
(1)
第 \(n\) 項を \(a_n\) とおくと、
\(\begin{align} a_n &= \frac{1}{9n^2 − 3n − 2} \\ &= \frac{1}{(3n − 2)(3n + 1)} \\ &= \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n − 2} − \frac{1}{3n + 1} \right) \end{align}\)
であるから、
初項から第 \(n\) 項までの部分和 \(S_n\) は
\(S_n\)
\(\displaystyle = \sum_{k=1}^n a_k\)
\(\displaystyle = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1} − \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} − \frac{1}{7} \right) + \cdots \) \(\displaystyle +\, \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n − 2} − \frac{1}{3n + 1} \right)\)
\(\displaystyle = \frac{1}{3} \left( 1 − \frac{1}{3n + 1} \right)\)
よって \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n = \frac{1}{3}\)
したがって、この無限級数は収束し、その和は \(\displaystyle \frac{1}{3}\) である。
答え： \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{3}}\) に収束する
(2)
第 \(n\) 項を \(a_n\) とおくと、
\(\begin{align} a_n &= \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 2}} \\ &= \frac{\sqrt{n + 2} − \sqrt{n}}{(\sqrt{n + 2} + \sqrt{n})(\sqrt{n + 2} − \sqrt{n})} \\ &= \frac{\sqrt{n + 2} − \sqrt{n}}{(n + 2) − n} \\ &= \frac{1}{2} (\sqrt{n + 2} − \sqrt{n}) \end{align}\)
第 \(n\) 項までの和を \(S_n\) とおくと
\(S_n\)
\(\displaystyle = \frac{1}{2} \{(\sqrt{3} − \sqrt{1}) + (\sqrt{4} − \sqrt{2}) + \cdots \) \(\displaystyle +\, (\sqrt{n + 1} − \sqrt{n − 1}) + (\sqrt{n + 2} − \sqrt{n})\}\)
\(\displaystyle = \frac{1}{2} (\sqrt{n + 1} + \sqrt{n + 2} − 1 − \sqrt{2}) \)
よって \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n = \infty\)
したがって、この無限級数は発散する。
答え： 発散する
【タイプ④】偶数項と奇数項で規則性が異なる
偶数項と奇数項で規則性が異なる場合、部分和を \(1\) 通りで表すことができません。
そこで、奇数番目までの部分和 \(\bf{S_{2n−1}}\) と偶数番目までの部分和 \(\bf{S_{2n}}\) を求め、 それらの極限が一致するかを調べましょう。
- \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_{2n−1} = \lim_{n\to\infty} S_{2n} = S\) ならば \(\color{red}{S}\) に収束
- \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_{2n−1} \neq \lim_{n\to\infty} S_{2n}\) ならば発散
次の無限級数の収束、発散について調べ、収束すればその和を求めよ。
\(\displaystyle 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{2} − \frac{1}{3} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + \frac{1}{4} − \cdots\)
第 \(n\) 項を \(a_n\)、第 \(n\) 項までの部分和を \(S_n\) とすると、
\(S_{2n−1}\)
\(\displaystyle = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{2} − \frac{1}{3} + \frac{1}{3} − \cdots − \frac{1}{n} + \frac{1}{n}\)
\(\displaystyle = 1 − \left( \frac{1}{2} − \frac{1}{2} \right) − \left( \frac{1}{3} − \frac{1}{3} \right) − \cdots \) \(\displaystyle − \left( \frac{1}{n} − \frac{1}{n} \right)\)
\(= 1 \)
\(\begin{align} S_{2n} &= S_{2n−1} + a_{2n} \\ &= 1 − \frac{1}{n + 1} \end{align}\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_{2n−1} = 1\)
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_{2n} = \lim_{n\to\infty} \left( 1 − \frac{1}{n + 1} \right) = 1\)
より、
\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n = 1\)
よって、この無限級数は収束し、その和は \(1\)
答え： \(\color{red}{1}\) に収束する
無限等比級数の図形問題
無限等比級数を利用する図形問題は、図形と漸化式の延長としてよく出題されます。
ここで \(1\) 問挑戦してみましょう！
「図形と漸化式」が苦手な人は、以下の記事で先に基礎を固めておきましょう！
図形と漸化式を徹底攻略！コツを押さえて応用問題を制そう
図形問題「無限に続く円の面積の総和」
\(\angle \mathrm{XPY} (= 60^\circ)\) の \(2\) 辺 \(\mathrm{PX}\), \(\mathrm{PY}\) に接する半径 \(1\) の円の中心を \(\mathrm{O}_1\) とする。
線分 \(\mathrm{PO}_1\) と円 \(\mathrm{O}_1\) との交点を中心とし、\(2\) 辺 \(\mathrm{PX}\), \(\mathrm{PY}\) に接する円を \(\mathrm{O}_2\) とする。
以下同じように円 \(\mathrm{O}_3\), \(\mathrm{O}_4\), \(\cdots\), \(\mathrm{O}_n\), \(\cdots\) を作る。
このとき、円 \(\mathrm{O}_1\), \(\mathrm{O}_2\), \(\cdots\) の面積の総和を求めよ。
繰り返しの操作では、第 \(n\) 項と第 \(n + 1\) 項の関係（漸化式）を調べるとよいですね。
数列 \(\{r_n\}\) の一般項がわかれば、面積 \(\{S_n\}\) の一般項も求められます。
あとは、面積の総和を無限等比級数として求められますね。
円 \(\mathrm{O}_n\) の半径を \(r_n\)、面積を \(S_n\) とする。
\(\displaystyle \angle \mathrm{XPO}_n = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\) であるから、
\(\mathrm{PO}_n = 2r_n\)、\(\mathrm{O}_n\mathrm{O}_{n+1} = \mathrm{PO}_n − \mathrm{PO}_{n+1}\)
より、
\(2r_n − 2r_{n+1} = r_n\)
すなわち
\(\displaystyle r_{n+1} = \frac{1}{2} r_n\)
また、\(r_1 = 1\)
\(\{r_n\}\) は初項 \(1\)、公比 \(\displaystyle \frac{1}{2}\) の等比数列であるから
\(\displaystyle r_n = \left( \frac{1}{2} \right)^{n−1}\)
したがって
\(\displaystyle S_n = \pi r_n^2 = \pi \left( \frac{1}{4} \right)^{n−1}\)
よって、円 \(\mathrm{O}_1\), \(\mathrm{O}_2\), \(\cdots\) の面積の総和 \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n\) は、
初項 \(\pi\)、公比 \(\displaystyle \frac{1}{4}\) の無限等比級数である。
\(\displaystyle \left| \frac{1}{4} \right| < 1\) より収束し、その和は
\(\displaystyle \frac{\pi}{1 − \frac{1}{4}} = \frac{4}{3} \pi\)
答え： \(\color{red}{\displaystyle \frac{4}{3} \pi}\)
以上で問題も終わりです。
無限級数の問題を解くには、まず収束・発散条件をしっかりと理解し、整理するのが大切です。
問題パターンはそれほど多くないので、慣れてくれば必ずマスターできるようになりますよ！