図形と漸化式を徹底攻略!コツを押さえて応用問題を制そう

この記事では、「図形と漸化式」をわかりやすく解説していきます。

問題を解くコツをていねいに解説していきますので、ぜひこの記事を通して応用問題も解けるようになりましょう!

 

図形と漸化式の問題パターン

図形と漸化式の問題では、注目している図形の数を \(n = 1, 2, 3, \cdots\) と増やしたとき、それに伴って変化するものの個数や値を求めます

よくある問題のパターンと、注目する要素について説明していきます。

【パターン①】重ねた図形と領域の個数

同じ形の図形を \(1\) 個、\(2\) 個、\(3\) 個…と重ね、平面が分けられる領域を求めさせる問題です。

このような問題では、図形を \(1\) 個増やしたときに新たに増えた「交点の数 線分(または半直線)の数 領域の数」で考えます。

補足

線分とは両端が決まっている線、半直線とは一方の端が決まっている線です。

\(2\) つの点を結ぶ線は「線分」、\(1\) つの点から伸びる線は「半直線」ととらえます。

 

直線を例に考えましょう。

平面上に直線を \(1\) 本引くと、領域が \(1\) つ増えます。

この性質は、直線がどんどん増えても変わりません。

すでにあった直線との交点が追加した直線を分割し、分割された線 \(1\) 本当たり \(1\) つの領域を増やすのです。

 

この性質は円など別の図形になっても同じです。

「図形の個数 → 領域の数」と直接結びつけず、図形を \(1\) 個増やしたときに新たに増えた「交点の数 → 線分(または半直線)の数 → 領域の数」と順を追って考えるようにしましょう。

 

【パターン②】接する図形と辺の長さ・面積

同じ形の図形を \(1\) つ前の図形と接するように並べ、辺の長さ(半径)・面積などを求めさせる問題です。

ズバリ、三角形・四角形などの場合は「相似比」に、円の場合は「中心間の距離と三平方の定理」に注目しましょう。

そうすると、辺の比や半径の比から漸化式を立てやすくなります。

書き込むべき情報が多くなるので、なるべく大きく見やすい図を書くのもポイントです!

 

図形と漸化式を解くコツ

図形と漸化式の問題の山場は、「変化の規則性を読み取り、漸化式を作る」ところです。

この工程は、解答を書き始める前に、問題用紙の余白でやっておくのが大切です。

解答の筋道が立たない状態でいきなり解答を書くのは絶対にNGですよ!

 

解答を書く前に、以下の \(2\) つを行っておきましょう。

Tips
  1. 実際に図を書く(\(1, 2, 3\) 番目あたりまで)
  2. \(n, n + 1\) 番目の関係を漸化式で表す

 

例題「直線が分ける領域の個数」

例題で実際に確認しましょう。

例題

平面上にどの \(3\) 本の直線も \(1\) 点を共有しない、\(n\) 本の直線がある。

どの \(2\) 本の直線も平行でないとき、平面が \(n\) 本の直線によって分けられる領域の個数 \(a_n\) を \(n\) で表せ。

 

増える図形と領域の問題ですね。

まずは、問題の状況をつかむために \(1, 2, 3\) 番目あたりまで図を書いてみましょう。

これで、問題の状況と規則性がなんとなくわかりますね。

 

それでは次に、\(n, n + 1\) 番目の関係を漸化式で表しましょう。

直線が \(n\) 本あるところに次の \(1\) 本を増やすと、

  • 交点が \(n\) 個増加
  • 新たな線が \(n + 1\) 本増加
  • 領域が \(n + 1\) つ増加

します。

つまり、\(a_n\) 個あった領域が、\(n + 1\) 番目には \(n + 1\) 個増えて \(a_{n+1}\) 個になることから、

漸化式 \(a_{n+1} = a_n + n + 1\)

が立てられます。

 

ここまで筋道が立ったら、実際に解答を書き始めましょう。

解答

 

直線が \(1\) 本のとき、その直線は平面を \(2\) つに分けるから

\(a_1 = 2\)

 

\(n\) 本の直線で平面が \(a_n\) 個の領域に分けられているとき、\(n + 1\) 本目の直線を引くと、その直線はほかの \(n\) 本の直線で \(n + 1\) 個の線分(または半直線)に分けられ、領域は \(n + 1\) 個増加する。

よって

\(a_{n+1} = a_n + n + 1\)

 

\(a_{n+1} − a_n = n + 1\) より、

数列 \(a_n\) は、一般項 \(n + 1\) の階差数列をもつので

\(n \geq 2\) のとき

\(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n−1} (k + 1) \\ &= 2 + \frac{1}{2} (n − 1)n + (n − 1) \\ &= \frac{4 + n^2 − n + 2n − 2}{2} \\ &= \frac{n^2 + n + 2}{2} \end{align}\)

 

\(\displaystyle \frac{1^2 + 1 + 2}{2} = 2 = a_1\) より、

これは \(n = 1\) のときも成り立つ。

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle a_n = \frac{n^2 + n + 2}{2}}\)

このように、変化の規則性を読み取って漸化式を作ることができれば、図形と漸化式の問題は \(8\) 割方突破できたも同然です。

その後の漸化式を解くのに不安を覚える方は、先に漸化式の解き方をマスターしておきましょう!

漸化式とは?基本型の解き方と特性方程式などによる変形方法 漸化式全パターンの解き方まとめ!難しい問題を攻略しよう

 

図形と漸化式の練習問題

それでは、図形と漸化式の練習問題に挑戦しましょう。

練習問題①「2 辺に接する円の漸化式」

練習問題①

\(\angle \mathrm{XPY} \ (= 60^\circ)\) の \(2\) 辺 \(\mathrm{PX}\), \(\mathrm{PY}\) に接する半径 \(1\) の円を \(\mathrm{O_1}\) とする。

次に、\(2\) 辺 \(\mathrm{PX}\), \(\mathrm{PY}\) および円 \(\mathrm{O_1}\) に接する円のうち半径の小さい方の円を \(\mathrm{O_2}\) とする。

以下同様に円 \(\mathrm{O_3}, \mathrm{O_4}, \cdots\) を順に作る。

このとき、円 \(\mathrm{O_n}\) の半径 \(r_n\) を求めよ。

また、円 \(\mathrm{O_n}\) の面積を \(S_n\) とするとき、\(S_1 + S_2 + \cdots + S_n\) を求めよ。

 

まずは余白で作図して問題のイメージを把握しましょう。

図形を接するように配置する問題では、\(n\) 番目、\(n + 1\) 番目の関係をそのまま図示して確認することができますね。

解答

 

図の \(\triangle \mathrm{O_nO_{n+1}H}\) について、

\(\mathrm{O_nO_{n+1}}  = r_n + r_{n+1}\) …①

\(\mathrm{O_nH} = r_n − r_{n+1}\) …②

\(\angle \mathrm{O_nO_{n+1}H} = 30^\circ\) より

\(\mathrm{O_nO_{n+1}} = 2\mathrm{O_nH}\) …③

 

①、②、③より

\(r_n + r_{n+1} = 2(r_n − r_{n+1})\)

整理して

\(\displaystyle r_{n+1} = \frac{1}{3} r_n\)

また、\(r_1 = 1\)

 

よって数列 \(\{r_n\}\) は初項 \(1\)、公比 \(\displaystyle \frac{1}{3}\) の等比数列であるから

\(\displaystyle r_n = \left( \frac{1}{3} \right)^{n−1}\)

 

また、

\(\displaystyle S_n = \pi r_n^2 = \pi \left( \frac{1}{9} \right)^{n−1}\)

であるから

\(S_1 + S_2 + \cdots + S_n\)

\(\displaystyle = \pi \frac{1 − \left( \frac{1}{9} \right)^n}{1 − \frac{1}{9}}\)

\(\displaystyle = \frac{9\pi}{8} \left\{ 1 − \left( \frac{1}{9} \right)^n \right\}\)

 

答え:

\(\color{red}{\displaystyle r_n = \left( \frac{1}{3} \right)^{n−1}}\)

\(\color{red}{\displaystyle S_1 + S_2 + \cdots + S_n = \frac{9\pi}{8} \left\{ 1 − \left( \frac{1}{9} \right)^n \right\}}\)

 

練習問題②「2 辺に下ろした垂線の漸化式」

練習問題②

直線 \(y = ax\) \((a > 0)\) を \(\ell\) とする。

\(\ell\) 上の点 \(\mathrm{A_1}(1, a)\) から \(x\) 軸に垂線 \(\mathrm{A_1B_1}\) を下ろし、\(\mathrm{B_1}\) から \(\ell\) に垂線 \(\mathrm{B_1A_2}\) を下ろす。さらに点 \(\mathrm{A_2}\) から \(x\) 軸に垂線 \(\mathrm{A_2B_2}\) を下ろす。以下同様に線分 \(\mathrm{A_3B_3}\), \(\mathrm{A_4B_4}\), \(\cdots\) を引き、線分 \(\mathrm{A_nB_n}\) の長さを \(l_n\) とおく。

(1) \(l_n\) を \(n, a\) で表せ。

(2) \(l_1 + l_2 + l_3 + \cdots + l_n\) を \(n, a\) で表せ。

 

直角三角形と相似比に注目しましょう。

また、\(1\) 番目の情報を先に整理しておくとスムーズです。

解答

 

(1)

\(l_1 = \mathrm{A_1B_1} = a\)

また、\(\angle \mathrm{A_1OB_1} = \theta\) とおくと

\(\displaystyle \cos\theta = \frac{\mathrm{OB_1}}{\mathrm{OA_1}} = \frac{1}{\sqrt{a^2 + 1}}\) …①

 

図において、

\(\angle \mathrm{A_nB_nO} = \angle \mathrm{A_nA_{n+1}B_n} = 90^\circ\)

\(\angle \mathrm{OA_nB_n} = \angle \mathrm{B_nA_nA_{n+1}}\) (共通)

\(2\) つの角がそれぞれ等しいので

\(\triangle \mathrm{A_nOB_n}\) ∽ \(\triangle \mathrm{A_nB_nA_{n+1}}\)

\(\angle \mathrm{A_nB_nA_{n+1}} = \angle \mathrm{A_nOB_n} = \theta\) より

\(\begin{align} \mathrm{B_nA_{n+1}} &= \mathrm{A_nB_n} \cos\theta \\ &= l_n \cos\theta \end{align}\)

 

また、

\(\angle \mathrm{B_{n+1}A_{n+1}B_n} = \angle \mathrm{A_nB_nA_{n+1}} = \theta\) であるから

\(\begin{align} l_{n+1} &= \mathrm{B_nA_{n+1}} \cos\theta \\ &= l_n \cos\theta \cdot \cos\theta \\ &= l_n \cos^2\theta \end{align}\)

 

したがって、①より

\(\displaystyle l_{n+1} = \frac{1}{a^2 + 1} l_n\)

 

よって数列 \(\{l_n\}\) は初項 \(a\)、公比 \(\displaystyle \frac{1}{a^2 + 1}\) の等比数列であるから

\(\begin{align} l_n &= a \left( \frac{1}{a^2 + 1} \right)^{n−1} \\ &= \frac{a}{(a^2 + 1)^{n−1}} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle l_n = \frac{a}{(a^2 + 1)^{n−1}}}\)

 

 

(2)

\(a > 0\) より \(\displaystyle \frac{1}{a^2 + 1} \neq 1\)

よって

\(l_1 + l_2 + l_3 + \cdots + l_n\)

\(\displaystyle = a \frac{1 − \left( \frac{1}{a^2 + 1} \right)^n}{1 − \frac{1}{a^2 + 1}}\)

\(\displaystyle = \frac{a^2 + 1}{a} \cdot \frac{(a^2 + 1)^n − 1}{(a^2 + 1)^n}\)

\(\displaystyle = \frac{(a^2 + 1)^n − 1}{a(a^2 + 1)^{n−1}}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{(a^2 + 1)^n − 1}{a(a^2 + 1)^{n−1}}}\)

以上で問題も終わりです。

 

図形がからむと複雑だからできれば避けたい…と思いがちですが、コツをつかめば難しいものではありません。

漸化式の基本と、図形問題のコツをつかんで、ぜひマスターしてくださいね!

補足

ほかの数列や漸化式について調べたい方は、以下のまとめ記事から探してみてくださいね!

数列を総まとめ!一般項・和・漸化式などの【重要記事一覧】

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です