漸化式とは?基本型の解き方と特性方程式などによる変形方法

この記事では、「漸化式」とは何かをわかりやすく解説していきます。

基本型(等差型・等比型・階差型)の解き方や特性方程式による変形など、豊富な例題で一般項の求め方を説明しますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

漸化式とは?

漸化式とは、数列の規則性隣り合う項同士の関係で示した式です。

パッと見複雑な数列でも、「漸化式」と「初項」さえわかれば一般項が求められます。

 

例えば、次のような漸化式が成り立つとします。

\(a_{n + 1} = a_n + 1\) …(*)

(ただし、 \(a_1 = 1\) )

(*) は、「\(a_n\) に \(1\) を足すと \(a_{n + 1}\) になる」ことを示していますね。

もっと一般化すれば、「前の項に \(1\) を足すと次の項になる」ということです。

(*) の式に \(n = 1, 2, 3, \cdots\) と順に代入していくと、

\(a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2\)

\(a_3 = a_2 + 1 = 2 + 1 = 3\)

\(a_4 = a_3 + 1 = 3 + 1 = 4\)

となり、各項の値がただ \(1\) 通りに定まります。

このように漸化式を繰り返し使うことで、数列 \(\{a_n\}\) のすべての項が求められます。

 

漸化式にはいろいろなパターンがあるので、それぞれの解き方について学習していきましょう。

 

漸化式の基本 3 型

まずは基本的な \(3\) パターンの漸化式、「等差数列型」「等比数列型」「階差数列型」について解説していきます。

 

等差数列型の漸化式

等差数列型の漸化式は、以下のように書けます。

等差数列型の漸化式

公差 \(d\) の等差数列 \(\{a_n\}\) の漸化式は

\begin{align}\color{red}{a_{n + 1} = a_n + d}\end{align}

差が一定の数列だから、前の項に \(d\) を足せば次の項になるということですね。

 

「初項 \(a_1\)」と「公差 \(d\)」がわかれば、あとは一般項の公式に当てはめるだけです。

等差数列

隣り合う項の差が一定である数列。

初項 \(a_1\), 公差 \(d\) の等差数列 \(\{a_n\}\) の一般項は

\begin{align}a_n = a_1 + d(n − 1)\end{align}

等差数列とは?和の公式や一般項の覚え方、計算問題

 

等比数列型の漸化式

等比数列型の漸化式は、以下のように書けます。

等比数列型の漸化式

公比 \(r\) の等比数列 \(\{a_n\}\) の漸化式は

\begin{align}\color{red}{a_{n + 1} = ra_n}\end{align}

前の項に \(r\) をかければ次の項になるということですね。

 

「初項 \(a_1\)」と「公比 \(r\)」がわかれば、あとは一般項の公式に当てはめるだけです。

等比数列

隣り合う項の比が一定である数列。

初項 \(a_1\), 公比 \(r\) の等比数列 \(\{a_n\}\) の一般項は

\begin{align}a_n = a_1 r^{n − 1}\end{align}

等比数列とは?一般項や等比数列の和の公式、シグマの計算問題

 

階差数列型の漸化式

階差数列をもつ数列の漸化式は、以下のように書けます。

階差数列型の漸化式

階差数列 \(b_n = f(n)\) をもつ \(\{a_n\}\) の漸化式は

\begin{align}\color{red}{a_{n + 1} = a_n + f(n)}\end{align}

第 \(n\) 項と第 \(n + 1\) 項の差が \(f(n)\) (\(n\) の式)の場合、一般項が \(f(n)\) の階差数列をもつ数列だと考えればよいのですね。

 

「初項 \(a_1\)」と「階差数列の一般項 \(b_n = f(n)\)」がわかれば、あとは一般項の公式に当てはめるだけです。

階差数列

ある数列の各項の差からなる数列。

元の数列を \(\{a_n\}\)、その階差数列を \(\{b_n\}\) とおくと

\begin{align}b_n = a_{n + 1} − a_n\end{align}

 

また、初項 \(a_1\)、階差数列が \(\{b_n\}\) である数列 \(\{a_n\}\) の一般項は

\begin{align}a_n = \left\{\begin{array}{l} \displaystyle a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} b_k \quad (n \geq 2) \\ a_1 \quad (n = 1) \end{array}\right.\end{align}

 

階差数列とは?和の公式や一般項の求め方、漸化式の解き方

 

例題「漸化式から一般項を求める」

それでは、実際に漸化式から一般項を求めてみましょう。

漸化式の形から、どのパターンの数列かを見極めるのがポイントです。

例題①

例題①

\(a_1 = 1\), \(a_{n + 1} = a_n + 2\) によって定められる数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。

 

漸化式から、前の項と次の項の差が \(2\) で一定なのがわかります。

よって、「等差数列型」ですね。

解答

 

初項 \(1\)、公差 \(2\) の等差数列であるから、

一般項は

\(\begin{align} a_n &= 1 + (n − 1)2 \\ &= 2n − 1 \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{a_n = 2n − 1}\)

 

例題②

例題②

\(a_1 = 2\), \(a_{n + 1} = 3a_n\) によって定められる数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。

 

漸化式から、前の項に \(3\) をかけると次の項になることがわかります。

よって、「等比数列型」ですね。

解答

 

初項 \(2\)、公比 \(3\) の等比数列であるから、

一般項は

\(a_n = 2 \cdot 3^{n − 1}\)

 

答え: \(\color{red}{a_n = 2 \cdot 3^{n − 1}}\)

 

例題③

例題③

\(a_1 = 2\), \(a_{n + 1} = a_n − 3n + 1\) によって定められる数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。

 

第 \(n\) 項と第 \(n + 1\) 項の差が \(n\) の式になっているので、「階差数列型」ですね。

解答

 

\(a_{n + 1} − a_n = −3n + 1\)

より、\(\{a_n\}\) は一般項が \(−3n + 1\) の階差数列をもつ。

 

よって、\(n \geq 2\) のとき、

\(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (−3k + 1) \\ &= 2 + (−3) \cdot \frac{(n − 1)n}{2} + 1 \cdot (n − 1) \\ &= 2 − \frac{3}{2} n^2 + \frac{3}{2} n + n − 1 \\ &= −\frac{3}{2} n^2 + \frac{5}{2} n + 1 \end{align}\)

 

\(\displaystyle a_1 = −\frac{3}{2} + \frac{5}{2} + 1 = 2\) より、

\(n = 1\) のときも成り立つ。

 

よって、一般項は \(\displaystyle a_n = −\frac{3}{2} n^2 + \frac{5}{2} n + 1\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle a_n = −\frac{3}{2} n^2 + \frac{5}{2} n + 1}\)

補足

階差数列型の問題では、以下の点に注意しましょう。

  • \(n = 1\) のときと \(n \geq 2\) のときで場合分け
    → 求めた一般項が \(n = 1\) でも成り立つか調べる
  • \(\sum\) の計算範囲は \(1\) から \(n − 1\) まで

また、「\(\sum\) の和の計算」を忘れていた人は以下の記事で復習しましょう。

シグマ Σ とは?記号の意味や和の公式、証明や計算問題

 

以上が漸化式の基本 \(3\) 型でした。

Tips

漸化式が…

  • 前の項に何かを足しただけ
    等差数列型定数を足しただけ)
    階差数列型\(n\) の式を足しただけ)
  • 前の項に定数をかけただけ
    等比数列型

これらのパターンの漸化式を見たら、即座に数列の種類を判断できるようにしましょう!

 

基本型以外の漸化式の解き方

ここでは、上記 \(3\) 型に当てはまらない漸化式の解き方を簡単に説明してきます。

より複雑な漸化式では、うまく式変形して、基本 \(3\) 型に当てはまるような新たな数列を考えることで、一般項を求めます。

このとき、漸化式の式変形のやり方は大きく \(2\) 通りあります。

  • 特性方程式を解く
  • 両辺に同じ演算をする
    (かける、わる、逆数をとる、対数をとる、など)

それぞれの式変形の意味ややり方について説明していきます。

 

【解き方①】特性方程式を解く

特性方程式とは、漸化式の左辺と右辺に、同じかたちで \(1\) 項ずらしただけのかたまりが出てくるように変形するための道具です。

 

例えば、等差数列と等比数列が組み合わさった次の漸化式を考えます。

\(a_{n + 1} = pa_n + q\)

(\(p\) は \(0, 1\) 以外の定数、\(q\) は \(0\) 以外の定数)

数列 \(\{a_n\}\) は、前の項に \(p\) をかけた上に、 \(q\) を足すことでやっと次の項が得られます。

このような数列は、漸化式から直接一般項を求めることができません。

そこで、漸化式の変形を考えます。

右辺の \(q\) を \(a_{n + 1}\) と \(a_n\) に同じ数だけ分け与えれば、両辺に同じかたちで \(1\) 項ずれただけのかたまりが現れます。

そうすると、新たに得られた数列 \(\{a_n − \alpha\}\) は、公比が \(p\) の等比数列であると簡単にわかりますね。

これがゴールです。

 

このような式変形を行うために、両辺に分け与える数を求める方程式を「特性方程式」と呼びます。

特性方程式を元の漸化式から引くだけで、目指している式変形があっという間にできますね!

例で紹介した \(a_{n + 1} = pa_n + q\) 型の漸化式は、特性方程式を利用すると解ける代表的なパターンです。

なお、特性方程式を使うと必ず「等比数列型」の漸化式に帰着します

例題

\(a_1 = 3\), \(a_{n + 1} = 2a_n + 1\) によって定められる数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。

 

\(a_{n + 1} = pa_n + q\) 型の漸化式ですね。
特性方程式を利用して、式変形してみましょう。

解答

 

\(a_{n + 1} = 2a_n + 1\) …①

\(\alpha = 2\alpha + 1\) …② ←特性方程式

 

① − ②より、

\(a_{n + 1} − \alpha = 2(a_n − \alpha)\)

 

②を解くと、 \(\alpha = −1\) であるから、

\(a_{n + 1} + 1 = 2(a_n + 1)\)

 

ここで、数列 \(\{a_n + 1\}\) は初項 \(a_1 + 1 = 4\)、公比 \(2\) の等比数列であるから、

\(\begin{align} a_n + 1 &= 4 \cdot 2^{n − 1} \\ &= 2^{n + 1} \end{align}\)

 

よって、

\(a_n = 2^{n + 1} − 1\)

 

答え: \(\color{red}{a_n = 2^{n + 1} − 1}\)

補足

特性方程式は式変形の道具に過ぎないため、答案にわざわざ書かなくても大丈夫です(もちろん、書いても大丈夫です)。

問題用紙のすみっこで特性方程式を解いて、式変形の結果だけ答案に書くのもアリですね。

(例)

\(a_{n + 1} = 2a_n + 1\) を変形して

\(a_{n + 1} + 1 = 2(a_n + 1)\)

…(以下略)

 

【解き方②】両辺に同じ演算をする

一見規則性の見えない漸化式であっても、両辺に同じ演算をするとパターンが見えてくるものがあります。

例えば、次の漸化式を考えます。

\(\displaystyle a_{n + 1} = \frac{pa_n}{qa_n + r}\)

(\(p, q, r\) は \(0\) 以外の定数)

右辺が分数になっていて、一見規則性がありません。

ここで、右辺の分子が \(1\) 項だけであることに注目します。

両辺の逆数をとれば、右辺が \(2\) 項に分離でき、パターンが見えてきます。

\(\displaystyle a_{n + 1} = \frac{pa_n}{qa_n + r}\) の両辺の逆数をとると、

\(\begin{align} \frac{1}{a_{n + 1}} &= \frac{qa_n + r}{pa_n} \\ &= \frac{q}{p} + \frac{r}{p}\cdot \frac{1}{a_n} \\ &= \frac{r}{p}\cdot \frac{1}{a_n} + \frac{q}{p}\end{align}\)

 

ここで、 \(\displaystyle b_n = \frac{1}{a_n}\) とおくと

 

\(\displaystyle b_{n + 1} = \frac{r}{p} b_n + \frac{q}{p}\) …(*)

\(\displaystyle \frac{r}{p}\) , \(\displaystyle \frac{q}{p}\) は定数なので、新たに得られた漸化式 (*) は、先ほど確認した \(a_{n + 1} = pa_n + q\) 型になっていますね。

したがって、あとは特性方程式を利用してさらに式変形すれば答えにたどり着けます。

今回の例(\(\displaystyle a_{n + 1} = \frac{pa_n}{qa_n + r}\) 型)は両辺の逆数をとることで解けますが、ほかの演算で解くパターンもあります(かける、わる、対数をとる、など)。

どのパターンでも、「どうすれば両辺に規則性が見出せるか?」という考え方を大切にしましょう。

例題

\(\displaystyle a_1 = \frac{1}{3}\), \(\displaystyle a_{n + 1} = \frac{3a_n}{a_n + 1}\)

によって定められる数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。

 

右辺が分数で、分子が \(a_n\) の項だけになっています。
両辺の逆数をとると、パターンが見えてきます。

解答

 

\(a_1 \neq 0\)、および漸化式の形から、\(a_n \neq 0\)

 

\(\displaystyle a_{n + 1} = \frac{3a_n}{a_n + 1}\) の両辺の逆数をとると、

\(\begin{align} \frac{1}{a_{n + 1}} &= \frac{a_n + 1}{3a_n} \\ &= \frac{1}{3} + \frac{1}{3a_n} \end{align}\)

 

\(\displaystyle b_n = \frac{1}{a_n}\) とおくと

\(\displaystyle b_{n + 1} = \frac{1}{3} b_n + \frac{1}{3}\)

\(\displaystyle b_1 = \frac{1}{a_1} = 3\)

 

特性方程式 \(\displaystyle \alpha = \frac{1}{3} \alpha + \frac{1}{3}\) を解くと、

\(\displaystyle \frac{2}{3} \alpha = \frac{1}{3}\)

\(\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}\)

 

よって、\(\displaystyle b_{n + 1} = \frac{1}{3} b_n + \frac{1}{3}\) は

\(\displaystyle b_{n + 1} − \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \left( b_n − \frac{1}{2} \right)\)

と変形できる。

 

ここで、数列 \(\displaystyle \left\{b_n − \frac{1}{2} \right\}\) は

初項 \(\displaystyle b_1 − \frac{1}{2} = \frac{5}{2}\)、公比 \(\displaystyle \frac{1}{3}\) の等比数列であるから、

\(\displaystyle b_n − \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^{n − 1}\)

 

よって

\(\begin{align} b_n &= \frac{5}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^{n − 1} + \frac{1}{2} \\ &= \frac{5}{2 \cdot 3^{n − 1}} + \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} \left( \frac{5}{3^{n − 1}} + 1 \right)  \end{align}\)

 

\(\displaystyle a_n = \frac{1}{b_n}\) であるから、

\(\displaystyle a_n = \frac{2}{\frac{5}{3^{n − 1}} + 1} = \frac{2 \cdot 3^{n − 1}}{5 + 3^{n − 1}}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle a_n = \frac{2 \cdot 3^{n − 1}}{5 + 3^{n − 1}}}\)

 

以上で今回の解説は終わりです。

今回解説しなかった応用パターンも網羅した記事がありますので、ぜひそちらもご覧ください!

漸化式全パターンの解き方まとめ!難しい問題を攻略しよう

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です