階差数列をわかりやすく解説!一般項の公式や求め方

この記事では、「階差数列」についてどこよりもわかりやすく解説していきます。

階差数列の和を用いてもとの数列の一般項を求める公式やその求め方、階差型の漸化式の解き方なども説明していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね!

 

階差数列とは?

階差数列とは、ある数列の隣り合う \(2\) つの項の差を項とする数列です。

数列 \(\{a_n\}\) の階差数列を \(\{b_n\}\) とすると、以下のように表せます。

 

以下の例のように、もとの数列 \(\{a_n\}\) の規則性がわかりにくい場合でも、階差数列をとると規則性が見えてくることがあります。

 

階差数列と一般項の公式

階差数列をもつ数列の一般項は次の公式で求められます。

階差数列をもつ数列の一般項

数列 \(\{a_n\}\) の階差数列を \(\{b_n\}\) とすると、

\(n \geq 2\) のとき、\(\begin{align}\color{red}{a_n = a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} b_k}\end{align}\)

「数列 \(\{a_n\}\) の規則性はよくわからないけれど、階差数列 \(\{b_n\}\) は等差数列または等比数列になっている!」という場合に、この公式で数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求められます。

 

階差数列と一般項の公式の証明

この公式は、小学生でも理解できるくらい簡単に証明できます。

数列 \(\{a_n\}\) の階差数列 \(\{b_n\}\) は、以下のように表すことができましたね。

このとき、\(a_n\) は赤字の項をすべて足せば求められます。

つまり、「\(a_1 + (b_1 \ \text{から} \ b_{n − 1} \ \text{までの和})\)」です。

これを式で表すと、

\(n \geq 2\) のとき、

\(\begin{align} a_n &= a_1 + b_1 + b_2 + \cdots + b_{n − 1} \\ &= \color{red}{a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} b_k} \end{align}\)

となります。

シグマの和の範囲を \(1\) ~ \(n\) と間違えてしまう人も多いので、公式の成り立ちをよく理解しておきましょう!(正しくは \(1\) ~ \((n − 1)\))

 

【参考】和の公式(シグマ計算)

一般項の公式 \(\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} b_k\) において、階差数列の和の部分 \(\displaystyle \sum_{k = 1}^{n − 1} b_k\) は、\(b_k\) のかたちに応じて以下の公式で求められます。

和(シグマ \(\bf{\sum}\))の計算

  • \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n a = an\)
  • \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n k = \frac{1}{2} n(n + 1)\)
  • \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n k^2 = \frac{1}{6} n(n + 1)(2n + 1)\)
  • \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n k^3 = \left\{ \frac{1}{2} n(n + 1) \right\}^2\)
  • \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n ar^{k − 1} = \frac{a(1 − r^n)}{1 − r} = \frac{a(r^n − 1)}{r − 1}\) \((r \neq 1)\)

階差数列ではシグマ計算を多用するので、公式を忘れている場合は復習しておきましょう。

 

例題「階差数列をもつ数列の一般項の求め方」

次の例題を通して、階差数列をもつ数列の一般項の求め方を説明します。

例題

次の数列の一般項を求めよ。

\(\{a_n\} = 6, 11, 18, 27, 38, \cdots\)

 

\(\{a_n\}\) は、各項の差も比も一定でなく、規則がよくわかりません。

このような場合に、階差数列を調べてみましょう。

STEP.1
階差数列を調べる

もとの数列の各項の差をとって、階差数列を調べてみます。

もとの数列とその階差数列に名前をつけておくとスムーズです。

数列 \(\{a_n\}\) の階差数列を \(\{b_n\}\) とすると、

\(\{b_n\} = 5, 7, 9, 11, \cdots\)

階差数列 \(\{b_n\}\) は、公差が \(2\) で一定です。

つまり、この階差数列は等差数列であることがわかりますね。

 

STEP.2
階差数列の一般項を求める

階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項を求めます。

今回の場合、\(\{b_n\}\) は等差数列の公式 \(b_n = a + (n − 1)d\) から求められますね。

\(\{b_n\} = 5, 7, 9, 11, \cdots\)

\(\{b_n\}\) は、初項 \(5\)、公差 \(2\) の等差数列であるから、一般項は

\(\begin{align} b_n &= 5 + 2(n − 1) \\ &= 2n + 3 \end{align}\)

 

STEP.3
もとの数列の一般項を求める

階差数列の一般項がわかれば、あとは公式 \(\displaystyle a_n = a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} b_k\) \((n \geq 2)\) を使って数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めるだけです。

Tips

このとき、条件「\(n \geq 2\)」を見落とさないようにしてください。

この条件があるのは、初項 \(a_1\) には階差数列が関係ないので、この公式で求めた一般項が初項 \(a_1\) にも当てはまるとは限らないためです。

よって、一般項を求めたあとに \(n = 1\) を代入して、与えられた初項と一致するかを必ず確認します。

\(n \geq 2\) のとき、

\(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} b_k \\ &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2k + 3) \\ &= 6 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n + 3(n − 1) \\ &= 6 + n^2 − n + 3n − 3 \\ &= n^2 + 2n + 3 \end{align}\)

 

\(n = 1\) のとき、\(1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = 6 = a_1\)

よって、\(a_n = n^2 + 2n + 3\) は \(n = 1\) のときも成り立つ。

 

答え: \(\color{red}{a_n = n^2 + 2n + 3}\)

このように、\(\{a_n\}\) の一般項が求められました!

 

完了

 

階差数列を含む漸化式の解き方

階差数列をもつ数列の漸化式は「階差型」と呼ばれ、\(a_{n + 1} = a_n + f(n)\) (\(f(n)\) は \(n\) の多項式)のかたちをとります。

階差型の漸化式

漸化式 \(\color{red}{a_{n + 1} = a_n + f(n)}\) で示される数列 \(\{a_n\}\) は、

初項 \(a_1\) で、階差数列 \(b_n = f(n)\) をもつ数列である。

\(a_n\) を移項すると、

\(a_{n + 1} − a_n = f(n)\)

となり、\(f(n)\) は数列 \(\{a_n\}\) の階差数列であると見ることができますね。

階差型とわかれば、あとは階差数列の公式を利用して一般項を求められます。

 

例題「階差型の漸化式の解き方」

次の例題を通して、階差型の漸化式の解き方を説明します。

例題

次の数式で定義される数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。

\(a_1 = 1\), \(a_{n + 1} = a_n + 2^n − 2n\)

 

\(a_{n + 1} − a_n = 2^n − 2n = b_n\) とみると、階差型の漸化式ですね。

階差型であることさえわかれば、あとはお決まりのやり方でもとの数列の一般項を求めることができます。

解答

 

\(a_{n + 1} − a_n = 2^n − 2n\) より、

数列 \(\{a_n\}\) は一般項 \(b_n = 2^n − 2n\) の階差数列をもつ。

 

\(n \geq 2\) のとき

\(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2^k − 2k) \\ &= 1 + \frac{2(2^{n − 1} − 1)}{2 − 1} − 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n \\ &= 1 + 2^n − 2 − n^2 + n \\ &= 2^n − n^2 + n − 1 \end{align}\)

 

\(n = 1\) のとき、\(2^1 − 1^2 + 1 − 1 = 1 = a_1\) 

 

よって、\(a_n = 2^n − n^2 + n − 1\) は \(n = 1\) のときも成り立つ。

 

答え: \(\color{red}{a_n = 2^n − n^2 + n − 1}\)

合わせて読みたい

階差型を含む、基本的な漸化式の解き方についてより詳しく説明しています。

漸化式とは?基本型や特性方程式をわかりやすく解説!

 

階差数列の計算問題

階差数列の計算問題に挑戦しましょう。

計算問題①「規則がわかりにくい数列の一般項」

計算問題①

次の数列の一般項を求めよ。

\(\{a_n\} = 1, 2, 9, 22, 41, \cdots\)

 

\(\{a_n\}\) は等差数列でも等比数列でもないようですね。

こんなときは、階差数列を調べてみましょう。

解答

 

数列 \(\{a_n\}\) の階差数列を \(\{b_n\}\) とすると、

\(\{b_n\} = 1, 7, 13, 19, \cdots\)

初項 \(1\)、公差 \(6\) の等差数列なので、

\(\begin{align} b_n &= 1 + 6(n − 1) \\ &= 6n − 5 \end{align}\)

 

よって、\(n \geq 2\) のとき

\(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (6k − 5) \\ &= 1 + 6 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n − 5(n − 1) \\ &= 1 + 3n^2 − 3n − 5n + 5 \\ &= 3n^2 − 8n + 6 \end{align}\)

 

\(n = 1\) のとき、\(3 \cdot 1^2 − 8 \cdot 1 + 6 = 1 = a_1\)

 

よって、\(a_n = 3n^2 − 8n + 6\) は \(n = 1\) のときも成り立つ。

 

答え: \(\color{red}{a_n = 3n^2 − 8n + 6}\)

 

計算問題②「階差を 2 回とる問題」

計算問題②

次の数列の一般項を求めよ。

\(\{a_n\} = 1, 2, 4, 9, 19, 36, \cdots\)

 

\(\{a_n\}\) の階差数列を調べてみると、\(1, 2, 5, 10, 17, \cdots\) となり、等差でも等比でもないようです。

そこで、さらなる階差数列(第二階差数列)を求めてみましょう。

規則性のある数列が見えるまで、階差を何回かとるのもテクニックの \(1\) つです。

解答

 

数列 \(\{a_n\}\) の階差数列を \(\{b_n\}\) とすると、

\(\{b_n\} = 1, 2, 5, 10, 17, \cdots\)

 

さらに、数列 \(\{b_n\}\) の階差数列を \(\{c_n\}\) とすると、

\(\{c_n\} = 1, 3, 5, 7, \cdots\)

 

\(\{c_n\}\) は初項 \(1\)、公差 \(2\) の等差数列であるから

\(\begin{align} c_n &= 1 + 2(n − 1) \\ &= 2n − 1 \end{align}\)

 

\(n \geq 2\) のとき

\(\begin{align} b_n &= b_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2k − 1) \\ &= 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n − (n − 1) \\ &= 1 + n^2 − n − n + 1 \\ &= n^2 − 2n + 2 \end{align}\)

 

\(1^2 − 2 \cdot 1 + 2 = 1 = b_1\) より、\(n = 1\) のときも成り立つ。

よって

\(b_n = n^2 − 2n + 2\)

 

\(n \geq 2\) のとき

\(a_n\)

\(= \displaystyle a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (k^2 − 2k + 2)\)

\(= 1 + \displaystyle \frac{1}{6} (n − 1)n(2n − 1) \) \( − \, 2 \cdot \displaystyle \frac{1}{2} (n − 1)n +  2(n − 1)\)

\(= 1 + \displaystyle \frac{1}{6} (2n^3 − 3n^2 + n) \) \( − \, n^2 + n + 2n − 2\)

\(= \displaystyle \frac{2n^3 − 9n^2 + 19n − 6}{6}\)

 

 

ここで、

\(\displaystyle \frac{2 \cdot 1^3 − 9 \cdot 1^2 + 19 \cdot 1 − 6}{6} = 1 = a_1 \)

より、\(n = 1\) のときも成り立つ。

 

よって

\(\displaystyle a_n =  \frac{2n^3 − 9n^2 + 19n − 6}{6}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle a_n = \frac{2n^3 − 9n^2 + 19n − 6}{6}}\)

以上で階差数列の解説は終わりです。

階差数列はやみくもに公式を覚えるのではなく、構造を理解するようにしましょう!

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