階差数列とは?和の公式や一般項の求め方、漸化式の解き方

この記事では、「階差数列」の意味や公式(階差数列の和を使った一般項の求め方)についてわかりやすく解説していきます。

漸化式の解き方なども説明していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね!

 

階差数列とは?

階差数列とは、ある数列の隣り合う \(\bf{2}\) つの項の差を項とする数列です。

数列 \(\{a_n\}\) の階差数列を \(\{b_n\}\) とすると、以下のように表せます。

 

以下の例のように、数列 \(\{a_n\}\) の規則性がわかりにくい場合でも、階差数列をとると規則性が見えてくることがあります。

 

階差数列と一般項の公式

それでは、階差数列をもつ数列の一般項の公式について解説していきます。

階差数列をもつ数列の一般項

数列 \(\{a_n\}\) の階差数列を \(\{b_n\}\) とすると、

\(n \geq 2\) のとき

\begin{align}\color{red}{a_n = a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} b_k}\end{align}

「数列 \(\{a_n\}\) の規則性はよくわからないけれど、階差数列 \(\{b_n\}\) は等差数列または等比数列になっている!」という場合に、この公式で数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求められます。

 

一般項の公式の証明

この公式は、小学生でも理解できるくらい簡単に証明できます。

数列 \(\{a_n\}\) の階差数列 \(\{b_n\}\) は、以下のように表すことができましたね。

このとき、\(a_n\) は赤字の項をすべて足せば求められます。

つまり、「\(a_1 + (b_1 \ \text{から} \ b_{n − 1} \ \text{までの和})\)」です。

これを式で表すと、

\(\begin{align} a_n &= a_1 + b_1 + b_2 + \cdots + b_{n − 1} \\ &= \color{red}{a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} b_k} \end{align}\)

となります。

シグマの和の範囲を \(1\) ~ \(n\) と間違えてしまう人も多いので、公式の成り立ちをよく理解しておきましょう!(正しくは \(1\) ~ \((n − 1)\))

 

【参考】和の公式(シグマ計算)

階差数列ではシグマ計算を多用するので、公式を忘れている場合は復習しておきましょう。

和(シグマ \(\bf{\sum}\))の計算

  • \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n a = an\)
  • \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n k = \frac{1}{2} n(n + 1)\)
  • \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n k^2 = \frac{1}{6} n(n + 1)(2n + 1)\)
  • \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n k^3 = \left\{ \frac{1}{2} n(n + 1) \right\}^2\)
  • \(\displaystyle \sum_{k = 1}^n ar^{k − 1} = \frac{a(1 − r^n)}{1 − r} = \frac{a(r^n − 1)}{r − 1}\) \((r \neq 1)\)
シグマ Σ とは?記号の意味や和の公式、証明や計算問題

 

一般項の求め方【例題】

それでは、階差数列をもつ数列の一般項を求める例題を解いていきましょう。

例題

次の数列の一般項を求めよ。

\(\{a_n\} = 6, 11, 18, 27, 38, \cdots\)

 

\(\{a_n\}\) は、各項の差も比も一定でなく、規則がよくわかりません。

このような場合に、階差数列を調べてみましょう。

STEP.1
階差数列を調べる

元の数列の各項の差をとって、階差数列を調べてみます。

それぞれの数列に名前をつけておくとスムーズです。

数列 \(\{a_n\}\) の階差数列を \(\{b_n\}\) とすると、

\(\{b_n\} = 5, 7, 9, 11, \cdots\)

階差数列 \(\{b_n\}\) は、公差が \(2\) で一定です。

つまり、この階差数列は等差数列であることがわかりますね。

 

STEP.2
階差数列の一般項を求める

階差数列 \(\{b_n\}\) の一般項を求めます。

今回の場合、\(\{b_n\}\) は等差数列の公式から求められますね。

\(\{b_n\}\) は、初項 \(5\)、公差 \(2\) の等差数列であるから、一般項は

\(\begin{align} b_n &= 5 + 2(n − 1) \\ &= 2n + 3 \end{align}\)

 

STEP.3
元の数列の一般項を求める

階差数列の一般項がわかれば、あとは階差数列の公式を使って数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めるだけです。

補足

階差数列の公式に、条件「\(n \geq 2\)」があることに注意しましょう。

初項 \(a_1\) の値には階差数列が関係ないので、この公式で求めた一般項が初項 \(a_1\) にも当てはまるとは限りません。

よって、一般項を求めたあとに \(n = 1\) を代入して、与えられた初項と一致するかを確認するのがルールです。

\(n \geq 2\) のとき、

\(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2k + 3) \\ &= 6 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n + 3(n − 1) \\ &= 6 + n^2 − n + 3n − 3 \\ &= n^2 + 2n + 3 \end{align}\)

 

\(1^2 + 2 \cdot 1 + 3 = 6 = a_1\) より、

これは \(n = 1\) のときも成り立つので

\(a_n = n^2 + 2n + 3\)

 

答え: \(\color{red}{a_n = n^2 + 2n + 3}\)

このように、\(\{a_n\}\) の一般項が求められました!

 

完了

 

階差数列を含む漸化式の解き方

階差数列をもつ数列の漸化式を「階差型」と呼びます。

階差型の漸化式

漸化式 \(\color{red}{a_{n + 1} = a_n + f(n)}\)(\(f(n)\) は \(n\) の多項式)で示される数列 \(\{a_n\}\) は、

初項 \(a_1\) で、階差数列 \(b_n = f(n)\) をもつ数列である。

\(a_n\) を移項すると、

\(a_{n + 1} − a_n = f(n)\)

となり、\(f(n)\) は数列 \(\{a_n\}\) の階差数列であると見ることができますね。

階差型とわかれば、あとは階差数列の公式を利用して一般項を求められます。

 

補足

「漸化式の解き方」については、以下の記事でより詳しく説明しています。

漸化式とは?基本型の解き方と特性方程式などによる変形方法

 

階差数列の計算問題

それでは、階差数列の計算問題を解いていきましょう。

計算問題①「規則がわかりにくい数列の一般項を求める」

計算問題①

次の数列の一般項を求めよ。

\(\{a_n\} = 1, 2, 9, 22, 41, \cdots\)

 

等差数列でも等比数列でもないようですね。

こんなときは、階差数列を調べてみましょう。

解答

 

数列 \(\{a_n\}\) の階差数列を \(\{b_n\}\) とすると、

\(\{b_n\} = 1, 7, 13, 19, \cdots\)

初項 \(1\)、公差 \(6\) の等差数列なので、

\(\begin{align} b_n &= 1 + 6(n − 1) \\ &= 6n − 5 \end{align}\)

 

よって、\(n \geq 2\) のとき

\(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (6k − 5) \\ &= 1 + 6 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n − 5(n − 1) \\ &= 1 + 3n^2 − 3n − 5n + 5 \\ &= 3n^2 − 8n + 6 \end{align}\)

 

\(3 \cdot 1^2 − 8 \cdot 1 + 6 = 1 = a_1\) より、

これは \(n = 1\) のときも成り立つので

\(a_n = 3n^2 − 8n + 6\)

 

答え: \(\color{red}{a_n = 3n^2 − 8n + 6}\)

 

計算問題②「階差を 2 回とる」

計算問題②

次の数列の一般項を求めよ。

\(\{a_n\} = 1, 2, 4, 9, 19, 36, \cdots\)

 

\(\{a_n\}\) の階差数列を調べてみると、\(1, 2, 5, 10, 17, \cdots\) となり、等差でも等比でもないようです。

そこで、さらなる階差数列(第二階差数列)を求めてみましょう。

規則性のある数列が見えるまで、階差を何回かとるのもテクニックの \(1\) つです。

解答

 

数列 \(\{a_n\}\) の階差数列を \(\{b_n\}\) とすると、

\(\{b_n\} = 1, 2, 5, 10, 17, \cdots\)

 

さらに、数列 \(\{b_n\}\) の階差数列を \(\{c_n\}\) とすると、

\(\{c_n\} = 1, 3, 5, 7, \cdots\)

 

\(\{c_n\}\) は初項 \(1\)、公差 \(2\) の等差数列であるから

\(\begin{align} c_n &= 1 + 2(n − 1) \\ &= 2n − 1 \end{align}\)

 

\(n \geq 2\) のとき

\(\begin{align} b_n &= b_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2k − 1) \\ &= 1 + 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n − (n − 1) \\ &= 1 + n^2 − n − n + 1 \\ &= n^2 − 2n + 2 \end{align}\)

 

\(1^2 − 2 \cdot 1 + 2 = 1 = b_1\) より、\(n = 1\) のときも成り立つ。

よって

\(b_n = n^2 − 2n + 2\)

 

\(n \geq 2\) のとき

\(a_n\)

\(= \displaystyle a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (k^2 − 2k + 2)\)

\(= 1 + \displaystyle \frac{1}{6} (n − 1)n(2n − 1) \) \( − \, 2 \cdot \displaystyle \frac{1}{2} (n − 1)n +  2(n − 1)\)

\(= 1 + \displaystyle \frac{1}{6} (2n^3 − 3n^2 + n) \) \( − \, n^2 + n + 2n − 2\)

\(= \displaystyle \frac{2n^3 − 9n^2 + 19n − 6}{6}\)

 

 

ここで、

\(\displaystyle \frac{2 \cdot 1^3 − 9 \cdot 1^2 + 19 \cdot 1 − 6}{6} = 1 = a_1 \)

より、\(n = 1\) のときも成り立つ。

 

よって

\(\displaystyle a_n =  \frac{2n^3 − 9n^2 + 19n − 6}{6}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle a_n = \frac{2n^3 − 9n^2 + 19n − 6}{6}}\)

 

計算問題③「階差型の漸化式を解く」

計算問題③

次の数式で定義される数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。

\(a_1 = 1\), \(a_{n + 1} = a_n + 2^n − 2n\)

 

\(a_{n + 1} − a_n = 2^n − 2n = b_n\) とみると、階差型の漸化式ですね。

解答

 

\(a_{n + 1} − a_n = 2^n − 2n\) より、

数列 \(\{a_n\}\) は一般項 \(b_n = 2^n − 2n\) の階差数列をもつ。

 

\(n \geq 2\) のとき

\(\begin{align} a_n &= a_1 + \sum_{k = 1}^{n − 1} (2^k − 2k) \\ &= 1 + \frac{2(2^{n − 1} − 1)}{2 − 1} − 2 \cdot \frac{1}{2} (n − 1)n \\ &= 1 + 2^n − 2 − n^2 + n \\ &= 2^n − n^2 + n − 1 \end{align}\)

 

\(2^1 − 1^2 + 1 − 1 = 1 = a_1\) より、

\(n = 1\) のときも成り立つので

\(a_n = 2^n − n^2 + n − 1\)

 

答え: \(\color{red}{a_n = 2^n − n^2 + n − 1}\)

以上で階差数列の解説は終わりです。

階差数列はやみくもに公式を覚えるより、構造を理解するようにしましょう!

補足

「等差数列」「等比数列」など、ほかの数列について調べたい方は以下のまとめ記事から探してみてくださいね!

数列を総まとめ!一般項・和・漸化式などの【重要記事一覧】

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です