等比数列とは?一般項や等比数列の和の公式、シグマの計算問題

この記事では、「等比数列」の一般項や和の公式についてわかりやすく解説していきます。

シグマの計算や問題の解き方についても解説していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね!

 

等比数列とは?

等比数列とは、はじめの数にある一定の数をかけ続けていく数列のことです。

隣り合う項の比が一定だから、「等比数列」と呼ぶのですね。

 

例えば、

\(1, 2, 4, 8, 16, \cdots\)

という数列は、「はじめの数 \(1\) に一定の数 \(2\) をかけ続けていく等比数列」です。

このとき、はじめの数のことを「初項」、かけ続ける一定の数を「公比」といいます。

したがって、この数列は「初項 \(1\)、公比 \(2\) の等比数列」と表現できます。

 

等比数列の一般項【公式】

等比数列の一般項は次のように表されます。

等比数列の一般項

初項 \(a\)、公比 \(r\) の等比数列 \(\{a_n\}\) の一般項 \(a_n\) は

\begin{align}\color{red}{a_n = a \cdot r^{n − 1}}\end{align}

一般項

規則性をもつ数列の任意の項を一般化した式(第 \(n\) 項の値)。

 

一般項の覚え方

等比数列の一般項の公式を覚えるには、一般項の成り立ちを理解するのが一番です。

初項 \(a\)、公比 \(r\) の等比数列 \(\{a_n\}\) は以下のように表せます。

初項に公比をかけていくので、\((\text{項数} − 1)\) 個分の公比が各項にかかっていることになります。

よって、第 \(n\) 項 \(a_n\) は、初項 \(a_1\) に公比 \(r\) を \((n − 1)\) 回かけたものとなるので、「\(\color{red}{a_n = a \cdot r^{n − 1}}\)」となります。

 

公式を覚えるのが苦手な人は、毎回このように一般項を自分で導く訓練を積みましょう。

そうすれば、自然と一般項を覚えられるようになりますよ!

 

一般項の求め方

それでは、一般項を求める例題を解いていきましょう。

例題

公比が \(3\)、第 \(4\) 項が \(108\) である等比数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。

 

公比がわかっているので、初項 \(a\) を求めるだけですね。

一般項の公式「\(a_n = a \cdot r^{n − 1}\)」にわかっている値を当てはめていきます。

今回は \(r = 3\), \(a_4 = 108\) がわかっていますね。

解答

 

初項を \(a\) とおくと、\(a_n = a \cdot r^{n − 1}\) より

\(\begin{align} a_4 &= a \cdot 3^{4 − 1} \\ &= a \cdot 3^3 \\ &= 27a \end{align}\)

 

\(a_4 = 108\) であるから、

\(27a = 108\)

\(a = 4\)

 

よって、求める一般項は \(a_n = 4 \cdot 3^{n − 1}\)

 

答え: \(\color{red}{a_n = 4 \cdot 3^{n − 1}}\)

このように、答えが求まりました!

 

等比数列の和【公式】

規則性をもつ数列であれば、ある項からある項までの和も一般化して表現できます。

等比数列の和の公式は次の通りです。

等比数列の和

初項 \(a\)、公比 \(r\) の等比数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和を \(S_n\) とすると、

  • \(r \neq 1\) のとき
    \begin{align}\color{red}{S_n} \ &\color{red}{= \frac{a(1 − r^n)}{1 − r}} \\ &\color{red}{= \frac{a(r^n − 1)}{r − 1}} \end{align}
  • \(r = 1\) のとき
    \begin{align}\color{red}{S_n = na}\end{align}

 

数列の和は、\(\sum\) (シグマ) 記号を使って表現することもあります。

等比数列の和(シグマ記号)

\(r \neq 1\) のとき

\begin{align} \color{red}{S_n} \ &\color{red}{= \sum_{k = 1}^n ar^{k − 1}} \\ &\color{red}{= \frac{a(1 − r^n)}{1 − r}} \\ &\color{red}{= \frac{a(r^n − 1)}{r − 1}}\end{align}

シグマの中身の部分が等比数列の一般項になっていれば、等比数列の和の公式に当てはめるようにしましょう。

補足

「シグマ」については、以下の記事を参考にしてください。

シグマ Σ とは?記号の意味や和の公式、証明や計算問題

 

等比数列の和の覚え方

等比数列の和の公式を覚えるのにも、やはり公式の成り立ちを理解するのが一番です。

和の公式の導き方について、簡単に説明していきます。

 

初項 \(a\)、公比 \(r\) の等比数列 \(\{a_n\}\) の初項から第 \(n\) 項までの和は、以下のように表せます。

\(S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n − 1}\) …(*)

ここで、(*) に \(r\) をかけた式を (*) から引くと、以下のように中間の項がすべて消えます。

 

よって、\(r \neq 1\) のとき、

両辺が \((1 − r)\) で割れて

\(\begin{align} S_n &= \color{red}{\frac{a(1 − r^n)}{1 − r}} \\ &= \color{red}{\frac{a(r^n − 1)}{r − 1}} \end{align}\)

 

一方、\(r = 1\) のときはどの項も初項 \(a\) と同じ値なので、(*) は

\(\begin{align} S_n &= a + a + a + \cdots + a \\ &= \color{red}{na} \end{align}\)

このように、和の公式が導かれます。

 

等比数列の和の求め方

それでは、例題を通して和の公式の使い方を学びましょう。

例題

初項が \(5\)、公比が \(2\) の等比数列の、初項から第 \(5\) 項の和を求めよ。

 

和の公式に \(a = 5\), \(r = 2\), \(n = 5\) を当てはめます。

解答

 

\(\begin{align} S_5 &= \frac{a(r^n − 1)}{r − 1} \\ &= \frac{5(2^5 − 1)}{2 − 1} \\ &= 5(32 − 1) \\ &= 155\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{155}\)

Tips

公比が \(1\) よりも大きい場合は「\(\displaystyle S_n = \frac{a(r^n − 1)}{r − 1}\)」(\(r\) が前にくる式)を、\(1\) よりも小さい場合は「\(\displaystyle S_n = \frac{a(1 − r^n)}{1 − r}\)」(\(r\) が後ろにくる式)を使うとスムーズです。(分母・分子ともに正の数になるため

 

等比数列の性質

次に、等比数列の重要な性質を \(2\) つ紹介します。

 

【性質①】公比が一定

\(1\) つ目は、等比数列の定義そのものですが、どの \(2\) 項間の比も等しいという性質です。

性質① 2 項間の比

等比数列 \(\{a_n\}\) の公比が \(r\) のとき、すべての自然数 \(n\) について次の関係が成り立つ。

\begin{align} \color{red}{a_{n + 1} = ra_n} \end{align}

すなわち

\begin{align} \color{red}{\frac{a_{n + 1}}{a_n} = r }\end{align}

 

【性質②】等比中項

\(2\) つ目は、等比数列の任意の \(3\) 項間にみられる性質、等比中項です。

性質② 等比中項

\(3\) つの数 \(a, b, c\) が等比数列を成すとき、以下の等式が成り立つ。

\begin{align} \color{red}{\frac{a}{b} = \frac{b}{c}}\end{align}

すなわち、

\begin{align}\color{red}{b^2 = ac}\end{align}

このとき、\(b\) を「\(a\) と \(c\) の等比中項」といいます。

 

等比中項は、等比数列の定義から導けます。

数列 \(a, b, c\) の公比を \(r\) とおくと、

\(\displaystyle r = \frac{b}{a} = \frac{c}{b}\)

\(\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{c}{b}\) に \(ab\) をかけて

\(\color{red}{b^2 = ac}\)

 

等比数列の計算問題

それでは、等比数列の仕上げに計算問題を解いていきましょう。

計算問題①「一般項を求める」

計算問題①

第 \(2\) 項が \(4\)、第 \(4\) 項が \(1\) となる等比数列 \(\{a_n\}\) の一般項を求めよ。

 

一般項の公式に当てはめ、初項と公比を求めます。

この数列を満たす一般項が \(1\) つだけとは限らないことに注意しましょう。

解答

 

数列 \(\{a_n\}\) の初項を \(a\)、公比を \(r\) とおく。

\(a_2 = ar\)

\(a_2 = 4\) より、

\(ar = 4\) …①

 

\(a_4 = ar^3\)

\(a_4 = 1\) より、

\(ar^3 = 1\)

\(ar \cdot r^2 = 1\) …②

 

①を②に代入して、

\(4 \cdot r^2 = 1\)

\(\displaystyle r^2 = \frac{1}{4}\)

\(\displaystyle r = \pm \frac{1}{2}\) …③

 

(i) \(\displaystyle r = \frac{1}{2}\) のとき

③を①に代入して、

\(\displaystyle \frac{a}{2} = 4\)

\(a = 8\)

よって、\(\{a_n\}\) の一般項は、

\(\begin{align} a_n &= 8 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n − 1} \\ &= 2^3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n − 1} \\ &= \left( \frac{1}{2} \right)^{n − 4} \end{align}\)

 

(ii) \(\displaystyle r = −\frac{1}{2}\) のとき、

③を①に代入して、

\(\displaystyle −\frac{a}{2} = 4\)

\(a = −8\)

よって、\(\{a_n\}\) の一般項は、

\(\begin{align} a_n &= −8 \cdot \left( −\frac{1}{2} \right)^{n − 1} \\ &= (−2)^3 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{n − 1} \\ &= \left( −\frac{1}{2} \right)^{n − 4} \end{align}\)

 

よって、\(\{a_n\}\) の一般項は

\(\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right)^{n − 4}\) または \(\displaystyle \left( −\frac{1}{2} \right)^{n − 4}\)

 

答え:

\(\color{red}{\displaystyle a_n = \left( \frac{1}{2} \right)^{n − 4}}\) または \(\color{red}{\displaystyle a_n = \left( −\frac{1}{2} \right)^{n − 4}}\)

 

計算問題②「等比数列をなす数を求める」

計算問題②

数列 \(a, b, 2, c, 18\) は各項が正の等比数列である。このとき、\(a, b, c\) の値を求めよ。

 

この問題は、等比中項を使用して解いていきます。

まず \(c\) の値がわかりそうですね。

解答

 

\(c\) は \(2, 18\) の等比中項なので、

\(c^2 = 2 \cdot 18 = 36\)

\(c\) は正の値なので、

\(c = 6\)

 

また、公比を \(r\) とすると、等比数列の性質より

\(\displaystyle r = \frac{c}{2} = \frac{6}{2} = 3\)

 

したがって、

\(3b = 2\)

\(\displaystyle b = \frac{2}{3}\)

 

\(3a = b\)

\(\displaystyle a = \frac{b}{3} = \frac{\frac{2}{3}}{3} = \frac{2}{9}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle a = \frac{2}{9}, \displaystyle b = \frac{2}{3}, c = 6}\)

 

計算問題③「等比数列の和を求める」

計算問題③

第 \(3\) 項が \(12\)、第 \(4\) 項が \(−24\) となる等比数列 \(\{a_n\}\) の第 \(5\) 項から第 \(10\) 項までの和を求めよ。

 

(\(a_5\) から \(a_{10}\) までの和) = (初項を \(a_5\) としたときの第 \(6\) 項までの和) とみなすことで、和の公式が適用できます。

解答

 

\(\{a_n\}\) の公比を \(r\) とすると、等比数列の性質より、

\(a_4 = ra_3\)

\(\displaystyle r = \frac{a_4}{a_3} = −\frac{24}{12} = −2\)

 

また、

\(\begin{align} a_5 &= ra_4 \\ &= (−2) \cdot (−24) \\ &= 48 \end{align}\)

 

ここで、\(\{a_n\}\) の第 \(5\) 項から第 \(10\) 項までの和 \(S\) は、初項 \(a_5 = 48\), 公比 \(−2\) の等比数列の初項から第 \(6\) 項までの和と等しいので、

\(\begin{align} S &= \frac{48\{1 − (−2)^6\}}{1 − (−2)} \\ &= \frac{48(1 − 64)}{3} \\ &= 16 \cdot (−63) \\ &= −1008 \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{−1008}\)

以上で等比数列の解説は終わりです。

 

等比数列は、性質を理解することが重要です。

練習を重ねて必ず理解できるようになりましょう!

補足

「等差数列」「階差数列」など、ほかの数列について調べたい方は以下のまとめ記事から探してみてくださいね!

数列を総まとめ!一般項・和・漸化式などの【重要記事一覧】

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