この記事では、「曲線の長さ」を求める積分公式についてわかりやすく解説していきます。
公式の証明や問題の解き方なども説明していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね！
目次
曲線の長さの積分公式
曲線の長さは積分を利用して求められ、曲線の表示形式（媒介変数表示・陽関数表示・極座標表示）に応じて公式があります。
- 媒介変数表示
曲線 \(x = f(t)\), \(y = g(t)\) \((\alpha \leq t \leq \beta)\) の長さ \(L\) は
\begin{align} L &= \int_\alpha^\beta \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \ dt \\ &= \int_\alpha^\beta \sqrt{ \{f’(t)\}^2 + \{g’(t)\}^2} \ dt \end{align} - 陽関数表示
曲線 \(y = f(x)\) \((a \leq t \leq b)\) の長さ \(L\) は
\begin{align} L &= \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \ dx \\ &= \int_a^b \sqrt{1 + \{f’(x)\}^2} \ dx \end{align} - 極座標表示
曲線 \(r = f(\theta)\) \((\alpha \leq \theta \leq \beta)\) の長さ \(L\) は
\begin{align}\color{red}{\displaystyle L = \int_\alpha^\beta \sqrt{\left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 + r^2} \, d\theta}\end{align}
表示形式が異なるだけで、どれも本質的には同じ公式です。
なお、極座標表示の公式は高校では習わないので覚えなくて大丈夫です。
曲線の長さの積分公式の証明
ここでは、曲線の長さの公式が成り立つことを簡易的に証明していきます。
証明① 媒介変数表示の曲線の長さ
まずは、媒介変数表示の曲線の長さの公式を証明します。
曲線 \(x = f(t)\), \(y = g(t)\) \((\alpha \leq t \leq \beta)\) の長さ \(L\) は
\begin{align} L &= \int_\alpha^\beta \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 } \ dt \\ &= \int_\alpha^\beta \sqrt{ \{f’(t)\}^2 + \{g’(t)\}^2} \ dt \end{align}
とっつきにくいように見える公式ですが、「三平方の定理で斜辺の長さを求める」とイメージすると簡単です。
曲線 \(x = f(t), \, y = g(t) \, (\alpha \leq t \leq \beta)\) の長さを考える。
\(t\) が \(\Delta t\) 増えたときの \(x\) の増分を \(\Delta x\)、\(y\) の増分を \(\Delta y\)、曲線の長さの増分を \(\Delta s\) とする。
\(\Delta t\) が十分に小さいとき、\(\Delta s\) は他の \(2\) 辺が \(\Delta x\), \(\Delta y\) である直角三角形の斜辺と近似できるので、三平方の定理より
\(\Delta s ≒ \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)
\(\Delta t\) と \(\Delta s\) は同符号であるから、両辺を \(\Delta t\) で割ると
\(\displaystyle \frac{\Delta s}{\Delta t} ≒ \sqrt{ \left( \frac{\Delta x}{\Delta t} \right)^2 + \left( \frac{\Delta y}{\Delta t} \right)^2}\)
\(\Delta t \to 0\) のとき、両辺の差は \(0\) に近づくから
\(\displaystyle \frac{ds}{dt} = \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2}\)
これを \(t = \alpha\) から \(t = \beta\) まで積分したときの曲線の長さ \(L\) は
\(\color{red}{\displaystyle L = \int_\alpha^\beta \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \ dt}\)
（証明終わり）
証明② 陽関数表示の曲線の長さ
陽関数表示の曲線の長さの公式も、同様の考え方で導けます。
曲線 \(y = f(x)\) \((a \leq t \leq b)\) の長さ \(L\) は
\begin{align} L &= \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \ dx \\ &= \int_a^b \sqrt{1 + \{f’(x)\}^2} \ dx \end{align}
曲線 \(y = f(x)\, (a \leq t \leq b)\) の長さを考える。
\(x\) が \(\Delta x\) 増えたときの \(y\) の増分を \(\Delta y\)、曲線の長さの増分を \(\Delta s\) とする。
\(\Delta x\) が十分に小さいとき、\(\Delta s\) は他の \(2\) 辺が \(\Delta x\), \(\Delta y\) である直角三角形の斜辺と近似できるので、三平方の定理より
\(\displaystyle \Delta s ≒ \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2}\)
\(\Delta x\) と \(\Delta s\) は同符号であるから、両辺を \(\Delta x\) で割ると
\(\begin{align} \frac{\Delta s}{\Delta x} &≒ \sqrt{ \left( \frac{\Delta x}{\Delta x} \right)^2 + \left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2} \\ &= \sqrt{1 + \left( \frac{\Delta y}{\Delta x} \right)^2} \end{align}\)
\(\Delta x \to 0\) のとき、両辺の差は \(0\) に近づくから
\(\displaystyle \frac{ds}{dx} = \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2}\)
これを \(x = a\) から \(x = b\) まで積分したときの曲線の長さ \(L\) は
\(\color{red}{\displaystyle L = \int_a^b \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \ dx}\)
（証明終わり）
「陽関数表示」とは、\(y = f(x)\) のように、一方の変数を決めるともう一方も決まるように関数を表すことです。
陰関数とは？陽関数との違い、微分公式やグラフの書き方
証明③ 極座標表示の曲線の長さ
極座標表示の公式は、媒介変数表示の公式を変形すると導けます。
曲線 \(r = f(\theta)\) \((\alpha \leq \theta \leq \beta)\) の長さ \(L\) は
\begin{align}\displaystyle L = \int_\alpha^\beta \sqrt{\left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 + r^2} \, d\theta\end{align}
式変形では、積の微分公式を使用します。
積の微分
\begin{align}(f(x)g(x))’ = f’(x)g(x) + f(x)g’(x)\end{align}
（見切れる場合は横へスクロール）
媒介変数表示の公式において、
角度 \(\theta\) \((\alpha \leq \theta \leq \beta)\) を媒介変数とし、原点からの距離を \(r\) とおくと
\(\left\{\begin{array}{l} x = r \cos \theta = f(\theta) \cos \theta \\ y = r \sin \theta = f(\theta) \sin \theta\end{array}\right.\)
より
\(\begin{align}\displaystyle \frac{dx}{d\theta} &= \frac{df(\theta)}{d\theta}\cos \theta − f(\theta)\sin \theta \\&= \frac{dr}{d\theta}\cos \theta − r\sin \theta\end{align}\)
\(\begin{align}\displaystyle \frac{dy}{d\theta} &= \frac{df(\theta)}{d\theta}\sin \theta + f(\theta)\cos \theta \\&= \frac{dr}{d\theta}\sin \theta + r\cos \theta\end{align}\)
（積の微分）
よって、
\(\begin{align}\displaystyle L &= \int_\alpha^\beta \sqrt{ \left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2 + \left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} \ d\theta \\&= \int_\alpha^\beta \sqrt{ \left( \frac{dr}{d\theta}\cos \theta − r\sin \theta \right)^2 + \left( \frac{dr}{d\theta}\sin \theta + r\cos \theta \right)^2} \ d\theta \\&= \int_\alpha^\beta \sqrt{ \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} \ d\theta \\&= \int_\alpha^\beta \sqrt{\left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 + r^2} \ d\theta\end{align}\)
したがって、曲線 \(r = f(\theta)\, (\alpha \leq \theta \leq \beta)\) の長さ \(L\) は
\(\color{red}{\displaystyle L = \int_\alpha^\beta \sqrt{\left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 + r^2} \, d\theta}\)
（証明終わり）
「極座標表示」とは、原点からの距離 \(r\) と角度 \(\theta\) で平面上の点を表すことです。
極座標表示された曲線を「極方程式」と呼びます。
極座標とは？直交座標との表示変換、距離や面積の公式
極方程式とは？グラフの書き方や面積・曲線の長さの公式
曲線の長さの求め方
次の例題を通して、曲線の長さの求め方を説明します。
次の曲線の長さを求めよ。
\(\left\{\begin{array}{l}x = a\cos^3 t\\y = a\sin^3 t\end{array}\right.\)
\((a > 0, 0 \leq t \leq 2\pi)\)
曲線の長さを求める問題では、必ずしもグラフを書く必要はありません。
導関数を求めて、曲線の長さの公式に当てはめるだけです。
まずは導関数を求めます。
媒介変数表示の場合は、\(\displaystyle \frac{dx}{dt}\), \(\displaystyle \frac{dy}{dt}\) を求めるのでしたね。
\(\left\{\begin{array}{l}x = a\cos^3 t\\y = a\sin^3 t\end{array}\right.\) より、
\(\displaystyle \frac{dx}{dt} = 3a\cos^2t (−\sin t)\)
\(\displaystyle \frac{dy}{dt} = 3a\sin^2t (\cos t)\)
定積分の計算に入る前に、式を積分しやすい形に変形しておくとスムーズです。
\(\displaystyle \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2}\)
\(= \sqrt{9a^2\cos^4t\sin^2t + 9a^2\sin^4t\cos^2t}\)
\(= \sqrt{9a^2\cos^2t\sin^2t (\cos^2t + \sin^2t)}\)
\(= \sqrt{9a^2\cos^2t\sin^2t}\)
\(= |3a \cos t \sin t|\)
\(\displaystyle = \left| \frac{3}{2} a \sin 2t \right|\)
\(a > 0\) より \(\displaystyle \frac{3}{2} a|\sin 2t|\)
準備ができたら、定積分します。
絶対値がついているので、積分する面積をイメージしながら慎重に絶対値を外しましょう。
求める曲線の長さは
\(\displaystyle \int_0^{2\pi} \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \ dt\)
\(\displaystyle = \frac{3}{2} a \int_0^{2\pi} |\sin 2t| \ dt\)
\(\displaystyle = \frac{3}{2} a \cdot 4 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t \ dt\)
\(\displaystyle = 6a \left[−\frac{1}{2} \cos 2t \right]_0^{\frac{\pi}{2}}\)
\(= −3a[\cos 2t]_0^{\frac{\pi}{2}}\)
\(= −3a(− 1 − 1)\)
\(= \color{red}{6a}\)
答えは \(\color{red}{6a}\) と求められましたね！
ちなみに、問題の曲線はアステロイドと呼ばれる曲線で、次のような形をしています。
アステロイドなどの特殊な曲線については、以下の記事でまとめています。
有名曲線のグラフ・式一覧（カージオイド・サイクロイドなど）
曲線の長さの計算問題
最後に、曲線の長さを求める計算問題に挑戦しましょう。
積分計算を間違えないように、慎重に進めてくださいね。
計算問題①「陽関数の曲線の長さを求める」
次の曲線の長さを求めよ。
\(y = \log(x + \sqrt{x^2 − 1})\) \((\sqrt{2} \leq x \leq 4)\)
公式と照らし合わせながら、丁寧に答えを求めていきましょう。
合成関数を積分するときは、微分して元に戻るか確認するといいですね。
\(\begin{align}\displaystyle \frac{dy}{dx} &= \frac{1}{x + \sqrt{x^2 − 1}} \cdot \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 − 1}} \right)\\&= \frac{1}{x + \sqrt{x^2 − 1}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 − 1}}{\sqrt{x^2 − 1}}\\&= \frac{1}{\sqrt{x^2 − 1}}\end{align}\)
より、
\(\begin{align}\displaystyle \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} &= \sqrt{1 + \left( \frac{1}{\sqrt{x^2 − 1}} \right)^2}\\&= \sqrt{1 + \frac{1}{x^2 − 1}}\\&= \sqrt{\frac{x^2}{x^2 − 1}}\\&= \frac{x}{\sqrt{x^2 − 1}}\end{align}\)
（\(x > 0\) より）
よって、求める曲線の長さは
\(\displaystyle \int_{\sqrt{2}}^4 \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \ dx\)
\(\displaystyle = \int_{\sqrt{2}}^4 \frac{x}{\sqrt{x^2 − 1}} \ dx\)
\(\displaystyle = \left[\sqrt{x^2 − 1}\right]_{\sqrt{2}}^4\)
\(= \sqrt{15} − 1\)
答え： \(\color{red}{\sqrt{15} − 1}\)
計算問題②「媒介変数表示の曲線の長さを求める」
次の曲線の長さを求めよ。
\(x = 2t − 1\), \(y = e^t + e^{−t}\) \((0 \leq t \leq 1)\)
そろそろ慣れてきましたか？
微分・積分、\(2\) 乗・平方根と間違えやすい演算が続くので気をつけましょう。
\(\left\{\begin{array}{l} \displaystyle \frac{dx}{dt} = 2\\ \displaystyle \frac{dy}{dt} = e^t − e^{−t}\end{array}\right.\) より、
\(\displaystyle \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2}\)
\(= \sqrt{2^2 + (e^t − e^{−t})^2}\)
\(= \sqrt{4 + e^{2t} − 2 + e^{−2t}}\)
\(= \sqrt{e^{2t} + 2 + e^{−2t}}\)
\(= \sqrt{(e^t + e^{−t})^2}\)
\(= e^t + e^{−t}\)
\((e^t > 0, e^{−t} > 0)\)
よって、求める曲線の長さは
\(\displaystyle \int_0^1 \sqrt{ \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \ dt\)
\(\displaystyle = \int_0^1 (e^t + e^{−t}) \ dt\)
\(\displaystyle = [e^t − e^{−t}]_0^1\)
\(\displaystyle = \left( e − \frac{1}{e} \right) − (1 − 1)\)
\(\displaystyle = e − \frac{1}{e}\)
答え： \(\color{red}{\displaystyle e − \frac{1}{e}}\)
計算問題③「極方程式の曲線の長さを求める」
次の極方程式で表される曲線の長さを求めよ。
\(r = 1 + \cos \theta\) \(\left(0 \leq \theta \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\right)\)
最後の \(1\) 問、頑張りましょう！
\(r = 1 + \cos \theta\) より
\(\displaystyle \frac{dr}{d\theta} = −\sin \theta\)
\(\displaystyle \sqrt{\left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 + r^2}\)
\(\displaystyle = \sqrt{(−\sin \theta)^2 + (1 + \cos \theta)^2}\)
\(\displaystyle = \sqrt{\sin^2 \theta + 1 + 2\cos \theta + \cos^2 \theta}\)
\(\displaystyle = \sqrt{(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) + 1 + 2\cos \theta}\)
\(\displaystyle = \sqrt{2(1 + \cos \theta)}\)
よって、求める曲線の長さは
\(\displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{\left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2 + r^2} \ d\theta\)
\(\displaystyle = \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{2(1 + \cos \theta)} \ d\theta\)
\(\displaystyle = \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{4 \cdot \frac{1 + \cos \theta}{2}} \ d\theta\)
\(\displaystyle = 2 \int_0^\frac{\pi}{2} \sqrt{\cos^2 \frac{\theta}{2}} \ d\theta\)
\(\displaystyle = 2 \int_0^\frac{\pi}{2} \left|\cos \frac{\theta}{2}\right| \ d\theta\)
\(\displaystyle = 2 \int_0^\frac{\pi}{2} \cos \frac{\theta}{2} \ d\theta\)
（\(0 \leq \displaystyle \frac{\theta}{2} \leq \displaystyle \frac{\pi}{4}\) より \(\displaystyle \cos \frac{\theta}{2} \geq 0\)）
\(\displaystyle = 2 \left[2 \sin \frac{\theta}{2} \right]_0^\frac{\pi}{2}\)
\(\displaystyle = 2 \left(2 \sin \frac{\theta}{4} − 2 \sin 0\right)\)
\(\displaystyle = 2(\sqrt{2} − 0)\)
\(\displaystyle = 2\sqrt{2}\)
答え： \(\color{red}{2\sqrt{2}}\)
以上で問題も終わりです！
何問か問題を解けば、曲線の長さの公式はすんなりと覚えられるはずです。
計算力が問われる問題が多いので、不安な部分はしっかり復習しておきましょう！