近似値・近似式とは？公式や求め方、テイラー展開・マクローリン展開も！

\(\text{(誤差)} = \text{(近似値)} − \text{(真の値)}\)

ある正の数 \(a\), \(b\) について、\(a\) が \(b\) よりも非常に小さいことを記号「\(\ll\)」を用いて

\begin{align}\color{red}{a \ll b}\end{align}

と表す。

また、左辺と右辺がほぼ等しいことは記号「\(\simeq\)」（または \(\approx\)）を用いて表す。

（例）\(x\) を無視する近似

\begin{align}\color{red}{1 + x^2 \simeq 1 \,\,　(|x| \ll 1)}\end{align}

記号「≒」(ニアリーイコール) は、切りの悪い数値を丸めるとき（四捨五入などの概算）に使用されます。

\(\pi \ (= 3.141592653\cdots) ≒ 3.14\)

海外では「≐」の方が一般的とされています。

また、概算の方法については以下の記事で説明しています。

概数（がい数）とは？意味や計算問題（四捨五入など）の復習！

以降示す公式は、すべて \(f(x)\) が \(x = a\) 付近で微分可能であることが前提です。

\(x \simeq a\) のとき、

\begin{align}\color{red}{f(x) \simeq f(a) + f’(a)(x − a)}\end{align}

特に、\(x\) が十分小さいとき（\(|x| \simeq 0\) のとき）、

\begin{align}\color{red}{f(x) \simeq f(0) + f’(0)x}\end{align}

関数 \(y = f(x)\) の微分係数 \(f’(a)\) は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) − f(a)}{h} = f’(a)}\end{align}

\(|h|\) が十分小さいとき（\(|h| \simeq 0\) のとき）

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{f(a + h) − f(a)}{h} \simeq f’(a)}\end{align}

すなわち

\begin{align}\color{red}{f(a + h) \simeq f(a) + f’(a)h}　\text{…①}\end{align}

\(x \simeq a\) のとき、

\(\displaystyle f(x) \) \(\displaystyle \simeq f(a) + \frac{f’(a)}{1!} (x − a) + \frac{f’’(a)}{2!} (x − a)^2 \) \(\displaystyle +\, \frac{f’’’(a)}{3!} (x − a)^3 + \cdots \) \(\displaystyle+\, \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x − a)^n\)

特に、\(x\) が十分小さいとき (\(|x| \simeq 0\) のとき)、

\(\displaystyle f(x) \) \(\displaystyle \simeq f(0) \, + \frac{f’(0)}{1!} x + \frac{f’’(0)}{2!} x^2 \) \(\displaystyle +\, \frac{f’’’(0)}{3!} x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\)

\(f^{(n)}(x)\) は \(f(x)\) を \(n\) 回微分したもの（第 \(n\) 次導関数）です。

\(x = a\) のとき、関数 \(f(x)\) が無限回微分可能であれば（※）、

\(f(x) \)

\(\displaystyle = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x − a)^n \)

\(\displaystyle = f(a) + \frac{f’(a)}{1!} (x − a) + \frac{f’’(a)}{2!} (x − a)^2 \) \(\displaystyle +\, \frac{f’’’(a)}{3!} (x − a)^3 + \cdots \) \(\displaystyle +\, \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x − a)^n + \cdots \)

\(x = 0\) のとき、関数 \(f(x)\) が無限回微分可能であれば（※）、

\(f(x)\)

\(\displaystyle = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \)

\(\displaystyle = f(0) + \frac{f’(0)}{1!} x + \frac{f’’(0)}{2!} x^2 \) \(\displaystyle +\, \frac{f’’’(0)}{3!} x^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n + \cdots \)

※ テイラー展開・マクローリン展開は無限級数なので、等式が成り立つには満たされるべき収束条件があります。

厳密な説明はかなり難しくなってしまうので省略しますが、テイラー展開・マクローリン展開できない関数もあると理解しておきましょう。

なお、「無限級数」については以下の記事で詳しく説明しています。

無限級数、無限等比級数とは？和の公式や求め方、図形問題

\(|x| \ll 1\) のとき、

• \(\displaystyle \sqrt{1 + x} \simeq 1 + \frac{x}{2}\)
• \((1 + x)^n \simeq 1 + nx\)
• \(\sin x \simeq x\)
• \(\cos x \simeq 1\)
• \(\tan x \simeq x\)
• \(e^x \simeq 1 + x\)
• \(\log(1 + x) \simeq x\)

なお、いずれもマクローリン展開。

• \(\displaystyle (1 + x)^n \)
  \(\displaystyle = 1 + nx + \frac{n(n − 1)}{2!} x^2 \,+ \) \(\displaystyle \frac{n(n − 1)(n − 2)}{3!} x^3 + \cdots\)
• \(\displaystyle \sin x \)
  \(\displaystyle = x − \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} − \cdots\)
  \(\displaystyle = x − \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} − \cdots\)
• \(\displaystyle \cos x \)
  \(\displaystyle = 1 − \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} − \cdots\)
  \(\displaystyle = 1 − \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} − \cdots\)
• \(\displaystyle \tan x \)
  \(\displaystyle = x − \frac{1}{3} x^3 + \frac{2}{15} x^5 − \cdots\)
• \(\displaystyle e^x \)
  \(\displaystyle = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots\)
  \(\displaystyle = 1 + x + \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{6} x^3 + \cdots\)
• \(\displaystyle \log(1 + x) \)
  \(\displaystyle = x − \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} x^3 − \cdots\) \((−1 < x \leq 1)\)

\(|x|\) が十分に小さいとき、\(f(x) = \sqrt[4]{1 + x}\) の近似式を作り、\(\sqrt[4]{80}\) の近似値を小数第 \(3\) 位を四捨五入して求めよ。

\(\sin 59^\circ\) の近似値を \(\pi = 3.142\), \(\sqrt{3} = 1.732\) として小数第 \(3\) 位まで求めよ。