関数とは?意味や用語(切片・変化の割合・傾き)を簡単に解説

この記事では、「関数」の定義や用語の意味(切片・変化の割合・傾きなど)をわかりやすく紹介していきます。

グラフも用いながら簡単に解説していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

関数とは?【定義】

関数とは、ある変数 \(x\)、\(y\) について、\(\bf{x}\) の値を定めるとそれに対する \(\bf{y}\) の値がただ \(\bf{1}\) つに定まるとき、その対応を示す式のことです。

このとき、「\(y\) は \(x\) の関数である」と表現します。

\(y\) が \(x\) の関数であるとき、適当な文字を使って「\(y = f(x)\)」などと表すことができ、この関数を単に「\(f(x)\)」と呼ぶこともできます。

補足

関数を表すのに「\(f\)」という文字を使うことが多いのは、関数を示す英単語「function」の頭文字であるためです。

複数の関数を扱うときは、\(f(x)\) を起点にアルファベット順で \(f(x)\), \(g(x)\), \(h(x)\) などと表すのが一般的です。

きちんと定義してあげれば、\(a(x)\), \(b(x)\), \(q(x)\) など別の文字で表現してもOKですが、まずは慣習に従うのが無難です。

 

関数のイメージ

関数 \(y = f(x)\) は、材料を入れると決まった手順で調理してくれる魔法の箱のようなものです。

関数の中の \(x\) に材料(数値)を入れると、完成品 \(y\) が得られます。

\(x\) に材料を入れることを「代入」といい、\(x\) に \(1\) を代入することを「\(f(1)\)」と表します。

 

関数とグラフ

関数は、\(x\) を横軸、\(y\) を縦軸にとった座標平面上のグラフとして表すことができます。

では実際に、\(f(x) = 2x + 3\) のグラフを使って関数の意味をより詳しく見ていきましょう。

 

たとえば、\(x = 1\) のとき、

\(f(x) = 2x + 3\) の式に \(x = 1\) を代入すると、

\(\begin{align} f(1) &= 2 \cdot 1 + 3 \\ &= 5 \end{align}\)

となり、\(f(x)\) の値がただ \(1\) つに定まります。

 

\(x = 2\) のときにおいても、

\(f(x) = 2x + 3\) の式に \(x = 2\) を代入すると、

\(\begin{align} f(2) &= 2 \cdot 2 + 3 \\ &= 7 \end{align}\)

となり、 \(f(x)\) の値がただ \(1\) つに定まりますね。

このように、\(\bf{x}\) にどのような値を入れても \(\bf{f(x)}\) の値がただ \(\bf{1}\) つに定まるので、「\(f(x) = 2x + 3\) は \(x\) の関数である」ということができるのです。

 

「変数」と「定数」の意味

「変数」と「定数」の違いを説明します。

  • 変数
    値が決まっておらず、いろいろな値をとれる数
  • 定数
    値が決まっている数

例えば、\(x\) の関数 \(y = 2x^2 + 1\) では、\(x\) と \(y\) が変数で、\(2\), \(1\) が定数です。

 

「切片」「変化の割合」「傾き」の意味

中学で習う「切片」や「変化の割合」、「傾き」の意味をおさらいしましょう。

切片

座標平面上のグラフと、座標軸との交点
その中でも、\(x\) 軸との交点を「\(x\) 切片」、\(y\) 軸との交点を「\(y\) 切片」という。

\(y\) 切片のことを「切片」と省略して呼ぶことも多いです。

 

  • 変化の割合
    あるグラフ上において、\(x\) の増加量に対する \(y\) の増加量の割合

  • 傾き
    グラフ上のある点における接線の傾きのこと。

傾きは関数の種類ごとに求め方が異なりますが、変化の割合はどの関数でも以下の公式で求められます。

変化の割合の公式

ある関数において、\(x\) の値が \(\alpha\) だけ増加すると \(y\) の値が \(\beta\) だけ増加するとき、変化の割合 \(a\) は

\begin{align}\color{red}{a = \displaystyle \frac{y \ \text{の増加量}}{x \ \text{の増加量}} \ \ \ \ = \displaystyle \frac{\beta}{\alpha}}\end{align}

変化の割合は、一次関数や定数関数などの直線のグラフにおいてのみ、傾きに等しくなります

直線では傾きがどこまでも一定であるためですね。

 

「変域」の意味

「変域」について説明します。

変域

\(x\) や \(y\) のような変数がとる値の範囲

グラフでは横軸方向の範囲を「\(x\) の変域」、縦軸方向の範囲を「\(y\) の変域」といいます。

 

「軸」と「頂点」の意味

二次関数で出てくる「軸」「頂点」の意味を説明します。


  • 放物線の対称軸
    \(y\) 座標が一定なので、軸の方程式は \(x\) の値で表される。
  • 頂点
    放物線の軸と放物線の交点

これらは、放物線(二次関数など)固有の概念ですね。

 

放物線 \(y = (x − 1)^2\) のグラフを例に見てみましょう。

この場合、軸の方程式は \(x = 1\)、頂点の座標は \((1, 0)\) ですね。

 

以上で、関数の基礎知識についての解説は終わりです!

高校で習うさまざまな種類の関数については、以下の記事にまとめています。そちらもぜひ確認してみてくださいね!

関数・式と曲線を総まとめ!数I〜数IIIの各種公式【重要記事一覧】

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