関数・式と曲線を総まとめ!数I〜IIIで習う公式一覧

関数・式と曲線に関するさまざまな知識をまとめていきます。

数I〜IIIにまたがる関数系の総復習にご活用ください。

詳細記事へのリンクを載せていますので、個々の公式や問題の解き方はそちらをぜひ参考にしてくださいね!

 

関数の基本知識

関数に関する基礎的な記事をまとめました。

関数の意味・用語

関数の意味や用語について解説しています。

関数とは?意味や用語(切片・変化の割合・傾き)を簡単に解説

 

象限

関数のグラフを書くには、象限を理解しておきましょう。

象限とは?数学・グラフにおける意味をわかりやすく解説!

 

平行移動

平行移動のやり方は、どんな関数でも同じです。

グラフの平行移動とは?二次関数などの公式と作図を解説!

 

いろいろな関数

高校で習う代表的な関数には、次のものがあります。

以降、それぞれに関する記事をまとめていきます。

 

多項式関数(n 次関数)

多項式で表された関数で、多項式の次数 \(n\) に応じて「\(n\) 次関数」と呼ばれます。

一次関数

一次関数とは?式の求め方や一次関数の利用問題の解き方

また、以下の記事では一次関数のグラフを書くコツを説明しています。

一次関数のグラフの書き方を超わかりやすく解説!

 

二次関数

二次関数とは?公式や、最大値・最小値、決定の問題の解き方

また、以下の記事では二次関数のグラフを書くコツを説明しています。

二次関数のグラフの書き方と、頂点・軸・切片の求め方

 

三次関数

三次関数とは?グラフの書き方、極値や接線の求め方(微分)

 

増減表

三次以上の多項式関数、その他の複雑な関数のグラフを書く際は、増減表を利用します。

増減表の書き方を解説!符号の調べ方や 2 回微分の意味

 

分数関数(有理関数)

分母、分子がそれぞれ多項式からなる関数を分数関数(または有理関数)といいます。

分数関数とは?グラフの書き方、分数不等式、微分積分を解説

 

無理関数

根号(\(\sqrt{ }\))の中に変数を含む関数を無理関数といいます。

無理関数とは?グラフの書き方・不等式・微分積分を解説!

 

指数関数

指数関数については、以下の記事にまとめています。

指数関数とは?グラフや公式、微分積分をわかりやすく解説

 

対数関数

対数関数については、以下の記事にまとめています。

対数関数とは?グラフや公式、微分積分をわかりやすく解説

 

三角関数

三角関数については、以下の記事にまとめています。

三角比・三角関数を総まとめ!定義・定理・公式一覧

また、以下の記事では三角関数のグラフを書くコツを説明しています。

三角関数のグラフの書き方を徹底解説!平行移動や周期の問題も

 

絶対値付き関数

絶対値で挟まれた部分は常に \(0\) 以上の値となるので、絶対値の中身の符号が切り替わる点でグラフが折り返されます。

グラフを書くときには、まず絶対値を外します。

\(y = |x|\) の絶対値を外すと、

\(\left\{\begin{array}{l}y = x (x \geq 0)\\y = −x (x < 0)\end{array}\right.\)

となります。

\(x < 0\) の範囲では、 \(y = −x\) のグラフとなっていますね。

つまり、 \(x < 0\) の範囲では、 \(y = x\) のグラフを \(x\) 軸で対称移動することになります。

同じように、絶対値のついた関数のグラフを書く際は、必ずまず場合分けしてから絶対値を外し、グラフを書きましょう。

 

ガウス記号付き関数

ガウス記号とは、実数 \(x\) に対し、\(x\) を越えない最大の整数(\(x\) 以下の最大の整数)を表す記号のことで、\(\color{red}{[x]}\) と記述します。

よって、ガウス記号付きの関数は整数点だけの不連続なグラフです。

グラフを書く時には、まず、ガウス記号を外します。

ガウス記号の外し方

実数 \(x\) について、\(n \leq x < n + 1\) のとき

\begin{align}\color{red}{[x] = n}\end{align}

(\(n\) は整数)

例えば、\(y = [x]\) のグラフにおいて、\(−3 \leq x \leq 3\) の範囲の場合分けを考えてみましょう。

\(−3 \leq x < −2\) のとき、\([x] = −3\)

\(−2 \leq x < −1\) のとき、\([x] = −2\)

\(−1 \leq x < 0\) のとき、\([x] = −1\)

\(0 \leq x < 1\) のとき、\([x] = 0\)

\(1 \leq x < 2\) のとき、\([x] = 1\)

\(2 \leq x < 3\) のとき、\([x] = 2\)

\(x = 3\) のとき、\([x] = 3\)

このように場合分けしてガウス記号を外せますね。

あとは、この結果を忠実にグラフに表していきます。

ルールは、その値を含む点は黒丸、含まない点は白丸で書くことです。

すると、\(y = [x]\) で中身 \(x\) が整数かつ、ガウス記号を無視した \(y = x\) 上に黒丸が存在します。

よって、\(y = x\) を点線で書き、含む点は黒丸で書きましょう。

このようにして \(y = [x]\) のグラフが完成します。

 

逆関数

変数同士の対応関係を逆にした関数です。

逆関数とは?逆関数の求め方や微分積分をわかりやすく解説

 

合成関数

ある関数に別の関数を組み込んだ(合成した)関数です。

合成関数とは?意味や公式、微分積分をわかりやすく解説

 

曲線の表し方

高校では、さまざまな関数の種類とそのグラフを学習していきます。

一方で、関数としては表せないけれど、平面上に図示できる曲線がたくさん存在します。

まずは、曲線の表し方を整理しましょう。

陽関数と陰関数

陽関数と陰関数は関数の種類というよりは、表示方法の違いのようなものです。

陽関数と陰関数
  • 陽関数
    ある \(x\) に対して \(y\) の値がただ \(1\) つに定まり、\(y = f(x)\) という形で表せる関数
  • 陰関数
    \(2\) 変数 \(x\), \(y\) について、 \(F(x, y) = 0\) という形で表せる関係
陰関数とは?陽関数との違い、微分公式やグラフの書き方

 

媒介変数表示

ある変数同士(\(x, y\) など)の関係を別の変数を用いて表す方法です。

媒介変数表示とは?グラフや計算(微分積分・ベクトル)

 

極座標・極方程式

\(x\) 軸、\(y\) 軸の位置で平面上の点を表す「直交座標」に対して、原点からの距離 \(r\) と角度 \(\theta\) で平面上の点の位置を表したものを「極座標」と言います。

極座標とは?直交座標との表示変換、距離や面積の公式

 

極座標を用いて表した方程式は、「極方程式」と呼ばれます。

定点からの距離や角度で定義される曲線(円・二次曲線など)を表すのに適しています。

極方程式とは?グラフの書き方や面積・曲線の長さの公式

 

いろいろな曲線

数IIIで習う平面上の曲線についてまとめていきます。

二次曲線

放物線、楕円、双曲線をまとめて「二次曲線(または円錐曲線)」といいます(放物線は除き、個別記事あり)。

楕円とは?方程式やグラフ、焦点・接線・面積の求め方 円の方程式の公式や求め方をわかりやすく解説!円の接線も 双曲線とは?方程式やグラフ、焦点・漸近線・接線の求め方

 

その他の有名曲線

カージオイド、サイクロイドなど、数IIIの式と曲線の問題でも登場する有名な曲線の形や式についてまとめています。

有名曲線のグラフ・式一覧(カージオイド・サイクロイドなど)

 

以上が関数・式と曲線の記事一覧でした!

 

高校数学の基本とも言える分野で、覚えるべき内容も多いです。

関連記事を確認しながら、ぜひマスターしてくださいね!

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