一次関数とは?グラフの書き方や一次関数の利用問題の解き方

この記事では、「一次関数」の定義やグラフの書き方、問題の解き方などをできるだけわかりやすく解説していきます。

また、変化の割合、傾き、切片などの用語の意味も紹介していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

一次関数とは?

一次関数とは、\(y\) が \(x\) の一次式で表せる関数のことです。

一般的に、「\(\color{red}{y = ax + b}\)(\(a\), \(b\) は任意の定数)」の形で表されます。

一次関数のグラフは必ず直線になります。

 

一次関数の「傾き」

傾きとは、文字通り「直線が(\(\bf{x}\) 軸を基準に)どれだけ傾いているか」を指します。

一次関数は直線なので傾きが一定で、必ず \(a\) の値になります。

\(a\) が正の場合は右肩上がりの直線、負の場合は右肩下がりの直線になります。

 

一次関数の「変化の割合」

変化の割合とは、「\(\bf{x}\) の変化量に対する \(\bf{y}\) の変化量の比」のことです。

変化の割合

ある関数において、\(x\) の値が \(\alpha\) だけ増加すると \(y\) の値が \(\beta\) だけ増加するとき、変化の割合は

\begin{align}\color{red}{(\text{変化の割合}) = \displaystyle \frac{(y\, \text{の変化量})\, \, \, \,}{(x\, \text{の変化量})\, \, \, \,} = \frac{\beta}{\alpha}}\end{align}

 

一次関数は傾きが一定な直線なので、変化の割合は傾き \(a\) に一致します

一次関数の変化の割合

一次関数 \(y = ax + b\) の変化の割合は、

\begin{align}\color{red}{(\text{変化の割合}) = (\text{傾き})  = a}\end{align}

 

一次関数の「切片(せっぺん)」

切片とは、「グラフと \(\bf{y}\) 軸との交点の \(\bf{y}\) 座標」です。

\(x\) 座標が \(0\) なので、切片(\(y\) 座標)は必ず \(b\) の値になります。

 

一次関数のグラフの書き方

ここでは、一次関数のグラフを書く方法を例題を通して説明していきます。

例題
\(y = x + 2\) のグラフを書け。

 

一次関数のグラフは、次の \(4\) ステップで簡単に書くことができます!

STEP.1
軸を用意する

まずは、グラフを書くための準備をしましょう。

\(x\) 軸、\(y\) 軸を書き、原点 \(\mathrm{O}\) を記入します。

 

STEP.2
切片に点を打つ

次に、切片の座標に点を打ちましょう。

\(y = x + 2\) なので、切片の座標は \((0, 2)\) とわかります。

 

STEP.3
もう 1 か所に点を打つ

切片の点が打てたので、グラフが通るもう \(1\) つの点を探しましょう。

このとき選ぶ点はどこでもいいのですが、\((x, y)\) ともに整数となる座標がオススメです。

座標を求めるときは、適当な数字を \(y\) か \(x\) に当てはめて求めます。

ここでは、\(y\) に \(0\) を入れてみます。

\(0 = x + 2\)
\(x = − 2\)

 

このグラフは \((−2, 0)\) を通ることがわかったので、点を打ちましょう。

Tips

このとき、\(x\) 軸、\(y\) 軸上に数値を書くのを忘れないようにしましょう。

数値を書いていないと、不正解とみなされることがあります!

 

STEP.4
2 点を通る直線を引く

最後に \(2\) 点を通る直線を引けば、一次関数のグラフの完成です。

Tips

直線は、座標平面の端から端まで引いてください

座標平面の途中で終わっていると、範囲の限定された(= 定義域のある)グラフだと勘違いされてしまいます。

 

完了

 

一次関数の式の求め方

ここでは、一次関数の式の求め方を問題のタイプ別に説明していきます。

【求め方①】傾きと切片から求める

問題文やグラフに隠れている傾き \(a\) と切片 \(b\) を読み取る問題です。

例題① 問題文から読み取る場合

例題①

直線 \(y = 5 x\) に平行で、切片が \(3\) の直線の式を求めよ。

 

問題文から、傾きの情報を読み取ります。

解答

 

傾きが \(5\) の直線に平行であるから、求める直線の傾き \(a\) は
\(a = 5\)

 

また、切片 \(b = 3\) より

求める直線の式は \(y = 5x + 3\)

 

答え: \(y = 5x + 3\)

 

例題② グラフから読み取る場合

例題②

次の直線の式を求めよ。

 

グラフから読み取る場合は、「切片」→「傾き」の順に考えるのが簡単です。

傾きを求める際は、切片と適当なもう \(1\) 点の間の変化の割合を調べましょう。

解答

 

グラフから、切片 \(b = 3\)

 

点 \((0, 3)\), \((1, 5)\) を通るので、傾き \(a\) は

\(a = \displaystyle \frac{5 − 3}{1 − 0} = \displaystyle \frac{2}{1} = 2\)

 

よって、求める直線の式は \(y = 2x + 3\)

 

答え: \(y = 2x + 3\)

 

【求め方②】傾き or 切片と、通る 1 点から求める

傾きまたは切片と、通る \(1\) 点の座標が与えられている問題です。

例題

傾きが \(− \displaystyle \frac{3}{2}\) で、点 \((− 4, 1)\) を通る直線の式を求めよ。

 

傾き \(a\) の値が与えられているので、あとは切片 \(b\) を求めるだけですね。

傾きを決めた一次関数の式を作り、通る点の座標を代入しましょう。

解答

 

傾きが \(− \displaystyle \frac{3}{2}\) であるから、求める直線の式を

\(y = − \displaystyle \frac{3}{2}x + b\) とおく。

 

これが点 \((− 4, 1)\) を通るから、

\(1 = − \displaystyle \frac{3}{2} \cdot (− 4) + b\)

\(1 = 6 + b\)

\(b = − 5\)

 

答え: \(y = − \displaystyle \frac{3}{2} x − 5\)

 

【求め方③】通る 2 点から求める

直線が通る \(2\) 点の座標がヒントの問題です。

例題
\(2\) 点 \((3, 5)\), \((6, 8)\) を通る直線の式を求めよ。

 

傾きも切片もわからないので、求める式を 「\(y = ax + b\)」 とおき、通る \(2\) 点の座標を代入しましょう。

あとは、\(a\), \(b\) の連立方程式を解くだけです。

解答

 

求める直線の式を \(y = ax + b\) とおく。

 

\(x = 3\), \(y = 5\) を代入して、
\(5 = 3a + b\) …①

 

\(x = 6\), \(y = 8\) を代入して、
\(8 = 6a + b\) …②

 

② − ①より、

\(\begin{array}{rr} 8 =& 6a + b \\ −)  5 =& 3a + b \\ \hline 3 =& 3a \end{array}\)

よって、\(a = 1\)

 

\(a = 1\) を①に代入して、
\(5 = 3 \cdot 1 + b\)
\(b = 2\)

 

答え: \(\color{red}{y = x + 2}\)

 

いかがだったでしょうか。

上記の \(3\) タイプを理解しておけば、一次関数を求める問題は必ず解けます!

しっかり理解しておきましょう。

 

一次関数の計算問題

では、さっそく一次関数の簡単な問題を解いてみましょう。

計算問題①「直線の式とグラフを求める」

計算問題①

(1) 点 \((2 , 5)\) を通り、傾きが \(3\) の直線の式を求めよ。

(2) (1) で求めた式を、グラフに書きなさい。

 

傾き \(a\) と、直線が通る \(1\) 点の座標がヒントの問題ですね。

解答

 

(1)

傾きが \(3\) の直線なので、
求める式を \(y = 3x + b\) とおく。

 

点 \((2 , 5)\) を通るので、\(x = 2, y = 5\) を代入して、

\(5 = 3 \cdot 2 + b\)

\(5 = 6 + b\)

\(b = 5 − 6 = −1\)

 

よって \(y = 3x − 1\)

 

答え: \(y = 3x − 1\)

 

 

(2)

答え:

 

計算問題②「変域から一次関数を求める」

計算問題②

(1) \(x\) の変域が \(− 2 \leq x \leq 4\)、\(y\) の変域が \(− 4 \leq y \leq 6\) のとき、傾きが正であることがわかっている場合、直線を表す式を求めよ。

(2) (1) で求めた式を、グラフに書きなさい。

 

変域とは、\(x\) や \(y\) のような「変数がとれる値の範囲」のことです。

\(x\) と \(y\) の変域が与えられているので直線の両端の \(2\) 点がこの問題のヒントとなります。

解答

 

求める直線を \(y = ax + b\) とおく。

傾きが正であるから、求める直線の両端の座標は \((− 2 , − 4)\) と \((4 , 6)\) である。

 

\(y = ax + b\) にそれぞれの座標を代入すると、

\(\left\{\begin{array}{l} − 4 = − 2a + b …①\\ 6 = 4a + b …②\end{array}\right.\)

 

② − ①より、

\(\begin{array}{rr} 6 =& 4a + b \\ −) − 4 =& − 2a + b \\ \hline 10 =& 6a \end{array}\)

 

\(a = \displaystyle \frac{10}{6} = \displaystyle \frac{5}{3}\)

 

\(a = \displaystyle \frac{5}{3}\) を②に代入して、

 

\(\begin{align}6 &= 4 \cdot \displaystyle \frac{5}{3} + b \\&= \displaystyle \frac{20}{3} + b\end{align}\)

 

\(\begin{align}b &= 6 − \displaystyle \frac{20}{3} \\&= \displaystyle \frac{18 − 20}{3} \\&= − \displaystyle \frac{2}{3}\end{align}\)

 

よって \(y = \displaystyle \frac{5}{3} x − \displaystyle \frac{2}{3}\)

 

答え: \(y = \displaystyle \frac{5}{3}x − \displaystyle \frac{2}{3}  (− 2 \leq x \leq 4)\)

 

 

(2)

答え:

 

計算問題③「一次関数の交点を求める」

計算問題③
\(y = x + 1\) と \(y = 2x + 5\) の交点を求めよ。

 

交点を求めるには、\(2\) つの直線の式を連立方程式として考えればよいですね。

解答

 

\(\left\{\begin{array}{l} y = x + 1 …①\\ y = 2x + 5 …②\end{array}\right.\)  とする。

 

①、②より、

\(x + 1 = 2x + 5\)

\(1 − 5 = 2x − x\)

\(− 4 = x\)

 

\(x = − 4\) を①に代入して、

\(y = − 4 + 1 = − 3\)

 

よって、①、②の交点は \((− 4, − 3)\)

 

答え: \((− 4 , − 3)\)

 

一次関数の利用問題

最後に、一次関数の利用問題を解いてみましょう。

利用問題①「動く点と三角形の面積」

利用問題①

長方形 \(\mathrm{ABCD}\) の辺上を、ある点 \(\mathrm{P}\) が秒速 \(1 \, \mathrm{cm}\) の速さで \(\mathrm{A}\) から移動し、\(\mathrm{D}\) で止まるとしたとき、三角形 \(\mathrm{APD}\) の面積はどのように変化するか。

経過した時間と面積の関係をグラフにしなさい。なお、経過した時間を \(x\) 秒、面積を \(y \, \mathrm{cm^2}\) とする。

 

三角形の面積は「\(\displaystyle \frac{1}{2} \times (\text{底辺}) \times (\text{高さ})\)」で求められますね。

点 \(\mathrm{P}\) が動くと、どこを底辺と見るかが変わってきます。

点 \(\mathrm{P}\) の位置ごとに場合分けして三角形 \(\mathrm{APD}\) の面積を考えてみましょう。

その際、点 \(\mathrm{P}\) がその辺上にいる時間が \(x\) の変域となります。

解答

 

点 \(\mathrm{P}\) の速さが \(1\) \(\mathrm{cm}\)/秒であるから、
点 \(\mathrm{P}\) の移動距離は

\(1 \ \mathrm{cm}/\text{秒} \times \,x \ \text{秒} \ = x \ \mathrm{cm}\)

とおける。

 

三角形 \(\mathrm{APD}\) の面積は、点 \(\mathrm{P}\) がどの辺上にいるかによって表し方が異なる。

 

(i) 点 \(\mathrm{P}\) が辺 \(\mathrm{AB}\) 上にいるとき \((0 \leq x < 2)\)

\(\triangle \mathrm{APD} = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \mathrm{AP} \cdot \mathrm{AD}\) より、

\(y = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot x \cdot 4 = 2x\)

 

 

(ii) 点 \(\mathrm{P}\) が辺 \(\mathrm{BC}\) 上にいるとき \((2 \leq x < 6)\)

\(\triangle \mathrm{APD} = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \mathrm{AD} \cdot \mathrm{AB}\) より、

\(y = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\)

 

 

(iii) 点 \(\mathrm{P}\) が辺 \(\mathrm{CD}\) 上にいるとき \((6 \leq x < 8)\)

\(\triangle \mathrm{APD} = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \mathrm{DP} \cdot \mathrm{AD}\)

 

ここで、

\(\begin{align}\mathrm{DP} &= \mathrm{DC} − \mathrm{PC} \\&= 2 − \{x − (2 + 4)\} \\&= 2 − (x − 6)\\&= 2 − x + 6\\&= 8 − x\end{align}\)

より、

 

\(\begin{align}y &= \displaystyle \frac{1}{2} \cdot (8 − x) \cdot 4 \\&= 2(8 − x) \\&= − 2x + 16\end{align}\)

 

 

(i) ~ (iii) より、

\(\left\{\begin{array}{l}y = 2x  (0 \leq x < 2)\\y = 4  (2 \leq x < 6)\\y = − 2x + 16  (6 \leq x < 8)\end{array}\right.\)

 

答え:

 

利用問題②「料金に関する文章題」

利用問題②

あるCDレンタル会社には、下の表のような \(2\) つのプランがある。

プラン B がプラン A よりも \(1\) か月の料金が安くなるのはどのようなときか。

 

このような問題では、「何を \(x\), \(y\) とおくか」が重要になります。

ここでは、料金を \(y\) 、\(31\) 枚目以降レンタルするCDの枚数を \(x\) とおいて、それぞれのプランについての一次関数を考えてみましょう。

このとき、\(x = 1, 2, 3\)…であればレンタルするCDの総数は \(31, 32, 33\)…となることに注意してくださいね。

解答

 

\(1\) か月の料金を \(y\) 円、\(31\) 枚目以降レンタルするCDの枚数を \(x\) 枚とおくと、

プラン A: \(y = 300x + 2000\)

プラン B: \(y = 100x + 3000\)

と表せる。

 

プラン A と B の料金が一致するときの \(x\) について考える。

\(300x + 2000 = 100x + 3000\)

\(300x − 100x = 3000 − 2000\)

\(200x = 1000\)

\(x = 5\)

したがって、\(35\) 枚の CD をレンタルすると、プラン A とプラン B の料金は一致し、以降はプラン A の方が料金が高くなる。

つまり、プラン B の方がプラン A より安くなるのは、\(36\) 枚目以降。

 

答え: \(1\) か月で \(36\) 枚以上 CD をレンタルする場合

以上で、すべての問題は終わりです!

 

一次関数の問題は種類が多くて大変ですが、とにかくいろいろな問題を解いて、経験値を上げていくのが大切です。

記事で取り上げた問題は、よく見直しておきましょう!

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