一次関数とは？式の求め方や一次関数の利用問題の解き方

傾きが \(5\) の直線に平行であるから、求める直線の傾き \(a\) は
\(a = 5\)

また、切片 \(b = 3\) より

求める直線の式は \(y = 5x + 3\)

答え：　\(y = 5x + 3\)

グラフから、切片 \(b = 3\)

点 \((0, 3)\), \((1, 5)\) を通るので、傾き \(a\) は

\(a = \displaystyle \frac{5 − 3}{1 − 0} = \displaystyle \frac{2}{1} = 2\)

よって、求める直線の式は \(y = 2x + 3\)

答え：　\(y = 2x + 3\)

傾きが \(− \displaystyle \frac{3}{2}\) であるから、求める直線の式を

\(y = − \displaystyle \frac{3}{2}x + b\) とおく。

これが点 \((− 4, 1)\) を通るから、

\(1 = − \displaystyle \frac{3}{2} \cdot (− 4) + b\)

\(1 = 6 + b\)

\(b = − 5\)

答え：　\(y = − \displaystyle \frac{3}{2} x − 5\)

求める直線の式を \(y = ax + b\) とおく。

\(x = 3\), \(y = 5\) を代入して、
\(5 = 3a + b\) …①

\(x = 6\), \(y = 8\) を代入して、
\(8 = 6a + b\) …②

② − ①より、

\(\begin{array}{rr} 8 =& 6a + b \\ −)　 5 =& 3a + b \\ \hline 3 =& 3a \end{array}\)

よって、\(a = 1\)

\(a = 1\) を①に代入して、
\(5 = 3 \cdot 1 + b\)
\(b = 2\)

答え：　\(\color{red}{y = x + 2}\)

(1)

傾きが \(3\) の直線なので、
求める式を \(y = 3x + b\) とおく。

点 \((2 , 5)\) を通るので、\(x = 2, y = 5\) を代入して、

\(5 = 3 \cdot 2 + b\)

\(5 = 6 + b\)

\(b = 5 − 6 = −1\)

よって \(y = 3x − 1\)

答え：　\(y = 3x − 1\)

(2)

答え：

求める直線を \(y = ax + b\) とおく。

傾きが正であるから、求める直線の両端の座標は \((− 2 , − 4)\) と \((4 , 6)\) である。

\(y = ax + b\) にそれぞれの座標を代入すると、

\(\left\{\begin{array}{l} − 4 = − 2a + b　…①\\ 6 = 4a + b　…②\end{array}\right.\)

② − ①より、

\(\begin{array}{rr} 6 =& 4a + b \\ −)　− 4 =& − 2a + b \\ \hline 10 =& 6a \end{array}\)

\(a = \displaystyle \frac{10}{6} = \displaystyle \frac{5}{3}\)

\(a = \displaystyle \frac{5}{3}\) を②に代入して、

\(\begin{align}6 &= 4 \cdot \displaystyle \frac{5}{3} + b \\&= \displaystyle \frac{20}{3} + b\end{align}\)

\(\begin{align}b &= 6 − \displaystyle \frac{20}{3} \\&= \displaystyle \frac{18 − 20}{3} \\&= − \displaystyle \frac{2}{3}\end{align}\)

よって \(y = \displaystyle \frac{5}{3} x − \displaystyle \frac{2}{3}\)

答え：　\(y = \displaystyle \frac{5}{3}x − \displaystyle \frac{2}{3} 　(− 2 \leq x \leq 4)\)

(2)

答え：

\(\left\{\begin{array}{l} y = x + 1　…①\\ y = 2x + 5　…②\end{array}\right.\) 　とする。

①、②より、

\(x + 1 = 2x + 5\)

\(1 − 5 = 2x − x\)

\(− 4 = x\)

\(x = − 4\) を①に代入して、

\(y = − 4 + 1 = − 3\)

よって、①、②の交点は \((− 4, − 3)\)

答え：　\((− 4 , − 3)\)

点 \(\mathrm{P}\) の速さが \(1\) \(\mathrm{cm}\)/秒であるから、
点 \(\mathrm{P}\) の移動距離は

\(1 \ \mathrm{cm}/\text{秒} \times \,x \ \text{秒} \ = x \ \mathrm{cm}\)

とおける。

三角形 \(\mathrm{APD}\) の面積は、点 \(\mathrm{P}\) がどの辺上にいるかによって表し方が異なる。

(i) 点 \(\mathrm{P}\) が辺 \(\mathrm{AB}\) 上にいるとき \((0 \leq x < 2)\)

\(\triangle \mathrm{APD} = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \mathrm{AP} \cdot \mathrm{AD}\) より、

\(y = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot x \cdot 4 = 2x\)

(ii) 点 \(\mathrm{P}\) が辺 \(\mathrm{BC}\) 上にいるとき \((2 \leq x < 6)\)

\(\triangle \mathrm{APD} = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \mathrm{AD} \cdot \mathrm{AB}\) より、

\(y = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4\)

(iii) 点 \(\mathrm{P}\) が辺 \(\mathrm{CD}\) 上にいるとき \((6 \leq x < 8)\)

\(\triangle \mathrm{APD} = \displaystyle \frac{1}{2} \cdot \mathrm{DP} \cdot \mathrm{AD}\)

ここで、

\(\begin{align}\mathrm{DP} &= \mathrm{DC} − \mathrm{PC} \\&= 2 − \{x − (2 + 4)\} \\&= 2 − (x − 6)\\&= 2 − x + 6\\&= 8 − x\end{align}\)

より、

\(\begin{align}y &= \displaystyle \frac{1}{2} \cdot (8 − x) \cdot 4 \\&= 2(8 − x) \\&= − 2x + 16\end{align}\)

(i) ~ (iii) より、

\(\left\{\begin{array}{l}y = 2x 　(0 \leq x < 2)\\y = 4 　(2 \leq x < 6)\\y = − 2x + 16　 (6 \leq x < 8)\end{array}\right.\)

答え：

\(1\) か月の料金を \(y\) 円、\(31\) 枚目以降レンタルするCDの枚数を \(x\) 枚とおくと、

プラン A： \(y = 300x + 2000\)

プラン B： \(y = 100x + 3000\)

と表せる。

プラン A と B の料金が一致するときの \(x\) について考える。

\(300x + 2000 = 100x + 3000\)

\(300x − 100x = 3000 − 2000\)

\(200x = 1000\)

\(x = 5\)

したがって、\(35\) 枚の CD をレンタルすると、プラン A とプラン B の料金は一致し、以降はプラン A の方が料金が高くなる。

つまり、プラン B の方がプラン A より安くなるのは、\(36\) 枚目以降。

答え：　\(1\) か月で \(36\) 枚以上 CD をレンタルする場合