双曲線とは？方程式やグラフ、焦点・漸近線・接線の求め方

（見切れる場合は横へスクロール）

点 \(\mathrm{P}(x, y)\), \(\mathrm{F}(c, 0)\), \(\mathrm{F’}(−c, 0)\) において、

（見切れる場合は横へスクロール）

点 \(\mathrm{P}(x, y)\), \(\mathrm{F}(0, c)\), \(\mathrm{F’}(0, −c)\) において、

\(\displaystyle \frac{x^2}{2^2} − \frac{y^2}{(\sqrt{5})^2} = −1\) より

頂点の座標は \((0, \sqrt{5})\), \((0, −\sqrt{5})\)

また、\(\pm \sqrt{4 + 5} = \pm 3\) より

焦点の座標は \((0, 3)\), \((0, −3)\)

漸近線の方程式は

\(\displaystyle \frac{x}{2} − \frac{y}{\sqrt{5}} = 0\)、\(\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{y}{\sqrt{5}} = 0\)

すなわち

\(\displaystyle y = \frac{\sqrt{5}}{2} x\)、\(\displaystyle y = −\frac{\sqrt{5}}{2} x\)

答え：

頂点 \(\color{red}{(0, \sqrt{5})}\)、\(\color{red}{(0, −\sqrt{5})}\)

焦点 \(\color{red}{(0, 3)}\)、\(\color{red}{(0, −3)}\)

漸近線

\(\color{red}{\displaystyle \frac{x}{2} − \frac{y}{\sqrt{5}} = 0}\)、\(\color{red}{\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{y}{\sqrt{5}} = 0}\)

（\(\color{red}{\displaystyle y = \frac{\sqrt{5}}{2} x}\)、\(\color{red}{\displaystyle y = −\frac{\sqrt{5}}{2} x}\)）

（見切れる場合は横へスクロール）

よって、この双曲線は

\(\displaystyle \frac{x^2}{25} − \frac{y^2}{4} = 1\) を \(x\) 軸方向に \(−3\)、\(y\) 軸方向に \(−2\) だけ平行移動したものである。

頂点の座標は

\((5 − 3, −2) = (2, −2)\)、\((−5 − 3, −2) = (−8, −2)\)

\(\sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}\) より、焦点の座標は

\((\sqrt{29} − 3, −2)\)、\((−\sqrt{29} − 3, −2)\)

漸近線の方程式は

\(\displaystyle \frac{x + 3}{5} − \frac{y + 2}{2} = 0\)、\(\displaystyle \frac{x + 3}{5} + \frac{y + 2}{2} = 0\)

すなわち

\(y + 2 = \displaystyle \frac{2}{5}(x + 3)\)、\(y + 2 = −\displaystyle \frac{2}{5}(x + 3)\)

\(\displaystyle y = \frac{2}{5} x − \frac{4}{5}\)、\(\displaystyle y = −\frac{2}{5} x − \frac{16}{5}\)

答え：

頂点 \(\color{red}{(2, −2)}\)、\(\color{red}{(−8, −2)}\)

焦点 \(\color{red}{(\sqrt{29} − 3, −2)}\)、\(\color{red}{(−\sqrt{29} − 3, −2)}\)

漸近線

\(\color{red}{\displaystyle \frac{x + 3}{5} − \frac{y + 2}{2} = 0}\)、\(\color{red}{\displaystyle \frac{x + 3}{5} + \frac{y + 2}{2} = 0}\)

（\(\color{red}{\displaystyle y = \frac{2}{5} x − \frac{4}{5}}\)、\(\color{red}{\displaystyle y = −\frac{2}{5} x − \frac{16}{5}}\)）

焦点が \(y\) 軸上にあるから、求める双曲線は \(\displaystyle  \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = −1\) \((a > 0, b > 0)\) とおける。

頂点 \((0, \pm2)\) より \(b = 2\)

焦点について、\(\sqrt{a^2 + b^2} = 2\sqrt{5}\) より

\(a^2 + 4 = 20\)

\(a^2 = 16\)

よって、\(\displaystyle  \frac{x^2}{16} − \frac{y^2}{4} = −1\)

答え：　\(\color{red}{\displaystyle  \frac{x^2}{16} − \frac{y^2}{4} = −1}\)

焦点が \(x\) 軸上にあるから、求める双曲線は \(\displaystyle  \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = 1\) \((a > 0, b > 0)\) とおける。

漸近線 \(y = \displaystyle \pm \frac{3}{4}x\) より、

\(\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{3}{4}\) すなわち \(b = \displaystyle \frac{3}{4}a\)

焦点について、\(\sqrt{a^2 + b^2} = 5\) より

\(a^2 + b^2 = 25\)

\(b = \displaystyle \frac{3}{4}a\) を代入して

\(a^2 + \displaystyle \frac{9}{16}a^2 = 25\)

\(\displaystyle \frac{25}{16}a^2 = 25\)

\(a^2 = 16\)

\(b^2 = 25 − a^2 = 9\)

よって、\(\displaystyle  \frac{x^2}{16} − \frac{y^2}{9} = 1\)

答え：　\(\color{red}{\displaystyle  \frac{x^2}{16} − \frac{y^2}{9} = 1}\)

双曲線 \(\displaystyle \frac{x^2}{4} − \frac{y^2}{5} = −1\) の点 \((2, \sqrt{10})\) における接線の方程式は、

\(\displaystyle \frac{2x}{4} − \frac{\sqrt{10}y}{5} = −1\)

（\(y =\) 〜 のかたちに変形する場合は以下）

\(\displaystyle \frac{\sqrt{10}y}{5} = \frac{1}{2} x + 1\)

\(\begin{align}\displaystyle y &= \frac{5}{\sqrt{10}} \left( \frac{1}{2} x + 1 \right)\\&= \frac{\sqrt{10}}{2} \left( \frac{1}{2} x + 1 \right)\\&\displaystyle = \frac{\sqrt{10}}{4} x + \frac{\sqrt{10}}{2}\end{align}\)

答え：　

\(\color{red}{\displaystyle \frac{2x}{4} − \frac{\sqrt{10}y}{5} = −1}\)

（\(\color{red}{\displaystyle y = \frac{\sqrt{10}}{4} x + \frac{\sqrt{10}}{2}}\)）

接点を \((x_1, y_1)\) とおくと、接線の方程式は

\(\displaystyle \frac{x_1x}{4} − \frac{y_1y}{5} = −1\) …(＊)

とおける。

これが点 \((−4, 0)\) を通るから

\(\displaystyle \frac{−4x_1}{4} − 0 = −1\)

\(x_1 = 1\) …①

また、\((x_1, y_1)\) は (＊) を満たすから

\(\displaystyle \frac{x_1^2}{4} − \frac{y_1^2}{5} = −1\)

①を代入して

\(\displaystyle \frac{1^2}{4} − \frac{y_1^2}{5} = −1\)

\(\displaystyle \frac{y_1^2}{5} = \frac{5}{4}\)

\(y_1^2 = \displaystyle \frac{25}{4}\)

\(y_1 = \pm \displaystyle \frac{5}{2}\)

よって、接点は

\(\left(1, \displaystyle \frac{5}{2}\right)\)、\(\left(1, −\displaystyle \frac{5}{2}\right)\)

(＊) より、求める接線の方程式は

\(\displaystyle \frac{x}{4} − \frac{y}{2} = −1\)、\(\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = −1\)

すなわち

\(y = \displaystyle \frac{1}{2}x + 2\)、\(y = −\displaystyle \frac{1}{2}x − 2\)

答え：　

\(\displaystyle \frac{x}{4} − \frac{y}{2} = −1\)、\(\displaystyle \frac{x}{4} + \frac{y}{2} = −1\)

（\(y = \displaystyle \frac{1}{2}x + 2\)、\(y = −\displaystyle \frac{1}{2}x − 2\)）

三角関数の相互関係より、

\(\displaystyle \tan^2\theta + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta}\)

\(\displaystyle \frac{1}{\cos^2\theta} − \tan^2\theta = 1\)

\(\displaystyle \left( \frac{1}{\cos\theta} \right)^2 − (\tan\theta)^2 = 1\)

であるから、

\(\displaystyle \frac{1}{\cos\theta} = \frac{x}{a}\)、\(\displaystyle \tan\theta = \frac{y}{b}\) とおくと

\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = 1\)

したがって、

点 \(\displaystyle \mathrm{P}(x, y) = \left( \frac{a}{\cos\theta}, b\tan\theta \right)\) は双曲線 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = 1\) 上を動く。

（証明終わり）

\(x = \tan\theta + 2\) より \(\tan\theta = x − 2\) …①

\(\displaystyle y = \frac{3}{\cos\theta}\) より \(\displaystyle \frac{1}{\cos\theta} = \frac{y}{3}\) …②

三角関数の相互関係より、

\(\displaystyle \tan^2\theta + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta}\)

①、②を代入して

\(\displaystyle (x − 2)^2 + 1 = \left( \frac{y}{3} \right)^2\)

\(\displaystyle (x − 2)^2 − \left( \frac{y}{3} \right)^2 = −1\)

よって、

双曲線 \(\displaystyle (x − 2)^2 − \frac{y^2}{9} = −1\)

答え：　双曲線 \(\color{red}{\displaystyle (x − 2)^2 − \frac{y^2}{9} = −1}\)

\(x = 3^t + 3^{−t} − 3\) より

\(x + 3 = 3^t + 3^{−t}\) …①

\(y = 3^t − 3^{−t} + 1\) より

\(y − 1 = 3^t − 3^{−t}\) …②

①、②より、

\((x + 3)^2 − (y − 1)^2\)

\(= (3^t + 3^{−t})^2 − (3^t − 3^{−t})^2\)

\(= 4 \cdot 3^t \cdot 3^{−t}\)

\(= 4\)

よって

\((x + 3)^2 − (y − 1)^2 = 4\)

\(\displaystyle \frac{(x + 3)^2}{4} − \frac{(y − 1)^2}{4} = 1\)

また、\(3^t > 0\), \(3^{−t} > 0\) であるから

相加平均と相乗平均の大小関係より、

\(\begin{align} x &= 3^t + 3^{−t} − 3 \\ &\geq 2\sqrt{3^t \cdot 3^{−t}} − 3 \\ &= 2 − 3 \\ &= −1 \end{align}\)

よって、

双曲線 \(\displaystyle \frac{(x + 3)^2}{4} − \frac{(y − 1)^2}{4} = 1\) の \(x \geq −1\) の部分

答え：　双曲線 \(\color{red}{\displaystyle \frac{(x + 3)^2}{4} − \frac{(y − 1)^2}{4} = 1}\) \(\color{red}{(x \geq −1)}\)