双曲線とは?関数のグラフや式、漸近線や焦点、媒介変数表示など

この記事では、「双曲線」の方程式や双曲線関数のグラフをわかりやすく解説していきます。

また、漸近線や接線の方程式、媒介変数表示なども説明していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

双曲線とは?

双曲線とは、\(2\) 定点 \(\mathrm{F}\), \(\mathrm{F’}\) からの距離の差が一定である点 \(\mathrm{P}\) の軌跡です。

このとき、\(2\) 定点 \(\mathrm{F}\), \(\mathrm{F’}\) を「焦点」といいます。

 

双曲線は原点に対して対称な \(2\) つの曲線からなり、原点に向かってV字に折れ曲がったブーメランのようなかたちをしています。

中学校で習う反比例のグラフも、実は双曲線の一種です。

双曲線は、原点から離れると限りなく「漸近線」と呼ばれる直線に近づいていきます。

 

補足

定義の非常に似ている楕円と間違えないようにしましょう。

「楕円」については、以下の記事で詳しく説明しています。

楕円とは?方程式の書き方、面積・焦点・接線の求め方

 

双曲線の方程式とグラフ

双曲線の方程式と関数のグラフについて説明していきます。

双曲線の方程式

\(2\) 定点 \(\mathrm{F}\), \(\mathrm{F’}\)(焦点)からの距離の差が一定となる点の軌跡が双曲線であり、向きに応じて以下の方程式で表される。

 

  • 横向き双曲線(標準形)
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = 1}\\(a > 0, b > 0)\end{align}
    中心:原点 \((0, 0)\)
    頂点:\((\pm a, 0)\)
    対称性:\(x\) 軸、\(y\) 軸、原点について対称
    焦点:\((\pm c, 0) = (\pm \sqrt{a^2 + b^2}, 0)\)
    焦点からの距離の差:\(2a\)
  • 縦向き双曲線(焦点が \(\bf{y}\) 軸上)
    \begin{align}\color{red}{\displaystyle  \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = −1}\\(a > 0, b > 0)\end{align}
    中心:原点 \((0, 0)\)
    頂点 \((0, \pm b)\)
    対称性:\(x\) 軸、\(y\) 軸、原点について対称
    焦点:\((0, \pm c) = (0, \pm \sqrt{a^2 + b^2})\)
    焦点からの距離の差:\(2b\)

 

横向きと縦向きの共通点と相違点を押さえておきましょう。

  • 共通点
    中心:原点 \((0, 0)\)
    対称性:\(x\) 軸、\(y\) 軸、原点について対称
  • 相違点
    焦点と頂点の位置
    (横向きは \(x\) 軸上、縦向きは \(y\) 軸上)

 

右辺が \(1\) のときは \(x\) に注目、右辺が \(−1\) のときは \(y\) に注目と関連付けておくとよいでしょう。

 

また、\(2\) つの焦点から双曲線上の任意の点への距離の差も押さえておきましょう。

補足

双曲線の方程式は、焦点からの距離の差の式(点 \(\mathrm{P}\) の軌跡)から導かれています。

 

双曲線の漸近線の方程式

双曲線の漸近線の方程式は次の通りです。

双曲線の漸近線

双曲線 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = 1\) および \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = −1\) の漸近線は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 0, \, \frac{x}{a} − \frac{y}{b} = 0}\end{align}

\begin{align}\color{red}{\left(\displaystyle y = \frac{b}{a} x, \, y = −\frac{b}{a} x\right)}\end{align}

漸近線は、横向きでも縦向きでも同じ \(2\) 直線です。

双曲線の方程式に形が似た \(\displaystyle \frac{x}{a} \pm \frac{y}{b} = 0\) で覚えておき、グラフに書くときは \(y = \pm \displaystyle \frac{b}{a} x\) の形に直すのがわかりやすいですね。

 

双曲線の接線の方程式

双曲線の接線の方程式には、任意の点 \((x_1, y_1)\) が与えられた場合と、傾き \(m\) が与えられた場合の \(2\) 通りの表し方があります。

双曲線の接線の方程式
  • 横向き双曲線 \(\left(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = 1\right)\)
    • 点 \((x_1, y_1)\) における接線の方程式
      \begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{x_1x}{a^2} − \frac{y_1y}{b^2} = 1}\end{align}
    • 傾き \(m\) の接線の方程式
      \begin{align}\color{red}{y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 − b^2}}\end{align}
  • 縦向き双曲線 \(\left(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = −1\right)\)
    • 点 \((x_1, y_1)\) における接線の方程式
      \begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{x_1x}{a^2} − \frac{y_1y}{b^2} = −1}\end{align}
    • 傾き \(m\) の接線の方程式
      \begin{align}\color{red}{y = mx \pm \sqrt{b^2 − a^2m^2}}\end{align}

問題に合わせて対応できるように、どちらも把握しておきましょう!

補足

「接線の方程式」については、以下の記事でより詳しく説明しています。

接線、接線の方程式とは?公式や微分による傾きの求め方

 

双曲線の媒介変数表示

双曲線は媒介変数表示もできます。

三角関数を使った以下の媒介変数表示が有名です。

双曲線の媒介変数表示
  • 横向き双曲線(標準形)
    \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = 1\) の媒介変数表示は、
    \begin{align}\color{red}{\left\{\begin{array}{l}x = \displaystyle \frac{a}{\cos \theta}\\y = b\tan \theta \end{array}\right.}\end{align}
  • 縦向き双曲線
    \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = −1\) の媒介変数表示は
    \begin{align}\color{red}{\left\{\begin{array}{l}x = a\tan \theta\\y = \displaystyle \frac{b}{\cos \theta} \end{array}\right.}\end{align}

 

媒介変数表示の仕方は \(1\) 通りとは限りません。

例えば、双曲線には以下のような媒介変数表示もあります。

\(\left\{\begin{array}{l} \displaystyle x = a \cdot \frac{e^t + e^{−t}}{2}\\ \displaystyle y = b \cdot \frac{e^t − e^{−t}}{2}\end{array}\right.\)

媒介変数表示された曲線の形を答える問題もあるので、柔軟に対応できるようにしておきましょう。

補足

「媒介変数表示」については以下の記事で説明しています。

媒介変数表示とは?グラフや計算(微分積分・ベクトル)

 

双曲線の媒介変数表示の証明

横向きの方で、媒介変数表示が成り立つことを示してみましょう。

証明

 

三角関数の相互関係より、

\(\displaystyle \tan^2\theta + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta}\)

\(\displaystyle \frac{1}{\cos^2\theta} − \tan^2\theta = 1\)

\(\displaystyle \left( \frac{1}{\cos\theta} \right)^2 − (\tan\theta)^2 = 1\)

であるから、

 

\(\displaystyle \frac{1}{\cos\theta} = \frac{x}{a}\)、\(\displaystyle \tan\theta = \frac{y}{b}\) とおくと

\(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = 1\)

 

したがって、

点 \(\displaystyle \mathrm{P}(x, y) = \left( \frac{a}{\cos\theta}, b\tan\theta \right)\) は双曲線 \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} − \frac{y^2}{b^2} = 1\) 上を動く。

 

(証明終わり)

縦向きの方も同様に示せるので、気になる方は自分で導いてみてくださいね。

 

双曲線の練習問題

それでは、双曲線の問題を解いてみましょう。

覚えられるまでは公式と照らし合わせながら進めていってくださいね。

練習問題①「双曲線のグラフを書く」

練習問題①

双曲線 \(\displaystyle \frac{x^2}{4} − \frac{y^2}{5} = −1\) について、以下の問いに答えよ。

(1) 頂点の座標、焦点の座標、漸近線の方程式を求めよ。

(2) グラフを書け。

(3) 点 \((2, \sqrt{10})\) における接線の方程式を求めよ。

 

公式と照らし合わせながら、丁寧に答えを求めていきましょう。

解答

 

(1)

\(\displaystyle \frac{x^2}{2^2} − \frac{y^2}{(\sqrt{5})^2} = −1\) より

頂点の座標は \((0, \sqrt{5})\), \((0, −\sqrt{5})\)

 

また、\(\pm \sqrt{4 + 5} = \pm 3\) より

焦点の座標は \((0, 3)\), \((0, −3)\)

 

漸近線の方程式は

\(\displaystyle \frac{x}{2} − \frac{y}{\sqrt{5}} = 0\)、\(\displaystyle \frac{x}{2} + \frac{y}{\sqrt{5}} = 0\)

すなわち

\(\displaystyle y = \frac{\sqrt{5}}{2} x\)、\(\displaystyle y = −\frac{\sqrt{5}}{2} x\)

 

答え:

頂点 \(\color{red}{(0, \sqrt{5})}\)\(\color{red}{(0, −\sqrt{5})}\)

焦点 \(\color{red}{(0, 3)}\)\(\color{red}{(0, −3)}\)

漸近線 \(\color{red}{\displaystyle y = \frac{\sqrt{5}}{2} x}\)\(\color{red}{\displaystyle y = −\frac{\sqrt{5}}{2} x}\)

 

 

(2) グラフは以下の通り。

答え:

 

 

(3)

点 \((2, \sqrt{10})\) における接線の方程式は、

\(\displaystyle \frac{2x}{4} − \frac{\sqrt{10}y}{5} = −1\)

 

\(\displaystyle \frac{\sqrt{10}y}{5} = \frac{1}{2} x + 1\)

 

\(\begin{align}\displaystyle y &= \frac{5}{\sqrt{10}} \left( \frac{1}{2} x + 1 \right)\\&= \frac{\sqrt{10}}{2} \left( \frac{1}{2} x + 1 \right)\\&\displaystyle = \frac{\sqrt{10}}{4} x + \frac{\sqrt{10}}{2}\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle y = \frac{\sqrt{10}}{4} x + \frac{\sqrt{10}}{2}}\)

 

練習問題②「標準形に直し、頂点・焦点・漸近線を求める」

練習問題②

双曲線 \(4x^2 − 25y^2 + 24x − 100y − 164 = 0\) の頂点の座標、焦点の座標、漸近線の方程式を求めよ。

 

まずは、標準形になるように式を変形しましょう。平方完成を利用します。

解答

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(4x^2 − 25y^2 + 24x − 100y − 164 = 0\)

 

\(4x^2 + 24x − 25y^2 − 100y − 164 = 0\)

 

\(4(x^2 + 6x) − 25(y^2 + 4y) − 164 = 0\)

 

\(4(x^2 + 6x + 9) − 36 − 25(y^2 + 4y + 4) \ \text{+} \ 100 − 164 = 0\)

 

\(4(x + 3)^2 − 25(y + 2)^2 = 100\)

 

\(\displaystyle \frac{(x + 3)^2}{25} − \frac{(y + 2)^2}{4} = 1\)

 

よって、この双曲線は

\(\displaystyle \frac{x^2}{25} − \frac{y^2}{4} = 1\) を \(x\) 軸方向に \(−3\)、\(y\) 軸方向に \(−2\) だけ平行移動したものである。

 

頂点の座標は

\((5 − 3, −2) = (2, −2)\)、\((−5 − 3, −2) = (−8, −2)\)

 

\(\sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}\) より、焦点の座標は

\((\sqrt{29} − 3, −2)\)、\((−\sqrt{29} − 3, −2)\)

 

漸近線の方程式は

\(\displaystyle \frac{x + 3}{5} − \frac{y + 2}{2} = 0\)、\(\displaystyle \frac{x + 3}{5} + \frac{y + 2}{2} = 0\)

すなわち

\(\displaystyle y = \frac{2}{5} x − \frac{4}{5}\)、\(\displaystyle y = −\frac{2}{5} x − \frac{16}{5}\)

 

答え:

頂点 \(\color{red}{(2, −2)}\)\(\color{red}{(−8, −2)}\)

焦点 \(\color{red}{(\sqrt{29} − 3, −2)}\)\(\color{red}{(−\sqrt{29} − 3, −2)}\)

漸近線 \(\color{red}{\displaystyle y = \frac{2}{5} x − \frac{4}{5}}\)\(\color{red}{\displaystyle y = −\frac{2}{5} x − \frac{16}{5}}\)

 

練習問題③「媒介変数表示が示す曲線を答える」

練習問題③

次の媒介変数表示が示す曲線を答えよ。

(1) \(x = \tan\theta + 2\), \(\displaystyle y = \frac{3}{\cos\theta}\)

(2) \(x = 3^t + 3^{−t} − 3\), \(y = 3^t − 3^{−t} + 1\)

 

媒介変数を消去できるように式変形しましょう。

Tips

媒介変数が角(\(\theta\) など)のときは、三角関数の性質を利用するとうまくいきます。

一方、\(e^t\), \(e^{−t}\) のように逆数の関係にある \(2\) 数は、\(2\) 乗したり足し引きしたりすると媒介変数を消去できることが多いですよ。

この場合、相加平均と相乗平均の関係などのかくれた条件を見逃さないようにしましょう!

解答

 

(1)

\(x = \tan\theta + 2\) より \(\tan\theta = x − 2\) …①

\(\displaystyle y = \frac{3}{\cos\theta}\) より \(\displaystyle \frac{1}{\cos\theta} = \frac{y}{3}\) …②

 

三角関数の相互関係より、

\(\displaystyle \tan^2\theta + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta}\)

①、②を代入して

\(\displaystyle (x − 2)^2 + 1 = \left( \frac{y}{3} \right)^2\)

\(\displaystyle (x − 2)^2 − \left( \frac{y}{3} \right)^2 = −1\)

 

よって、

双曲線 \(\displaystyle (x − 2)^2 − \frac{y^2}{9} = −1\)

 

答え: 双曲線 \(\color{red}{\displaystyle (x − 2)^2 − \frac{y^2}{9} = −1}\)

 

 

(2)

\(x = 3^t + 3^{−t} − 3\) より

\(x + 3 = 3^t + 3^{−t}\) …①

\(y = 3^t − 3^{−t} + 1\) より

\(y − 1 = 3^t − 3^{−t}\) …②

 

①、②より、

\((x + 3)^2 − (y − 1)^2\)

\(= (3^t + 3^{−t})^2 − (3^t − 3^{−t})^2\)

\(= 4 \cdot 3^t \cdot 3^{−t}\)

\(= 4\)

 

よって

\((x + 3)^2 − (y − 1)^2 = 4\)

\(\displaystyle \frac{(x + 3)^2}{4} − \frac{(y − 1)^2}{4} = 1\)

 

また、\(3^t > 0\), \(3^{−t} > 0\) であるから

相加平均と相乗平均の大小関係より、

\(\begin{align} x &= 3^t + 3^{−t} − 3 \\ &\geq 2\sqrt{3^t \cdot 3^{−t}} − 3 \\ &= 2 − 3 \\ &= −1 \end{align}\)

 

よって、

双曲線 \(\displaystyle \frac{(x + 3)^2}{4} − \frac{(y − 1)^2}{4} = 1\) の \(x \geq −1\) の部分

 

答え: 双曲線 \(\color{red}{\displaystyle \frac{(x + 3)^2}{4} − \frac{(y − 1)^2}{4} = 1}\) \(\color{red}{(x \geq −1)}\)

補足

「相加・相乗平均」の関係については、以下の記事で詳しく説明しています。

相加・相乗平均とは?使い方や大小関係の証明問題の解き方

以上で問題も終わりです!

 

方程式が複雑な双曲線ですが、定義や特徴を押さえておけば怖くありません。

他の曲線と合わせて、しっかりと理解してくださいね!

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