多項式と単項式とは?項・次数・係数などの意味や計算問題

この記事では、「多項式と単項式」についてできるだけわかりやすく解説していきます。

項・次数・係数などの意味や簡単な計算問題も紹介していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

単項式と多項式とは?

単項式とは項が \(1\) つだけの式のこと、多項式とは項が \(2\) つ以上ある式のことです。

これだけを説明されても、「項」が何か知らなければ、よくわかりませんね。

\(1\) つ \(1\) つ理解していきましょう。

 

項とは?

項とは、式を構成する文字や数字などの要素のかたまりのことです。

たとえば、「\(3\)」という数字や「\(x\)」という文字は、これだけで \(1\) つの項になります。

それらをかけた「\(3x\)」も、割った「\(\displaystyle \frac{x}{3}\)」も、負の数になっている「\(−3\)」も一かたまりなので、\(1\) つの項といえます。

すべての式は項から成り立っていて、式に含まれる項の数から単項式と多項式とに分類できます。

 

単項式とは?

単項式とは、 \(1\) つの項で構成された式です。

先ほど例に示した「\(3\)」「\(x\)」「\(3x\)」「\(\displaystyle \frac{x}{3}\)」「\(−3\)」は単項式です。

つまり、単項式は数字や文字のかけ算で表せます。

(例)

 

\(3 = 1 \color{salmon}{\times} 3\)

\(3x = 3 \color{salmon}{\times} x\)

\(\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{1}{3} \color{salmon}{\times} x = (0.333\cdots) \color{salmon}{\times} x\)

\(−3 = −1 \color{salmon}{\times} 3\)

なお、 \(−3\) のように符号も含めて「項」と呼びます。

補足

分母に文字(変数)がくる項は単項式ではなく「分数式」と呼ばれることに注意しましょう。

単項式はあくまでも数字や文字のかけ算で表されるものだからです。

(分数式の例) \(\displaystyle \frac{3}{x} = 3 \color{salmon}{\div} x\)

 

多項式とは?

多項式とは \(2\) つ以上の項で構成された式、つまり、複数の項を足し算でつなげた式のことです。

\(\displaystyle 3 \color{salmon}{+} 3x \color{salmon}{+} \frac{x}{3} \color{salmon}{+} (−3)\)

という式は、「\(3\)」「\(3x\)」「\(\displaystyle \frac{x}{3}\)」「\(−3\)」の \(4\) つの項から構成されているので、多項式ですね。

 

このような式は、

\(\displaystyle 3 \color{salmon}{+} 3x \color{salmon}{+} \frac{x}{3} \color{salmon}{−} 3\)

と書かれることが多いので、足し算だけではなく、引き算も入っているように見えます。

しかし、項は符号を含む概念なので、引き算ではなくマイナスを含む項の足し算ととらえます。

項は符号を含むかたまりとして認識しておきましょう!

 

単項式と多項式の用語

単項式・多項式には、いくつかの重要な用語があります。

ここでは「\(2x^2 + 3x + 1\)」という多項式を例に、「次数」「係数」「定数項」「昇べきの順」「降べきの順」の \(5\) つの用語を説明していきます。

① 次数

  • 単項式(項)の次数
    その項にかけられている文字の個数
  • 多項式の次数
    含まれている項の次数の中で最も大きい次数

 

例の多項式「\(2x^2 + 3x + 1\)」の項ごとの次数と全体の次数を考えてみましょう。

「\(2x^2 + 3x + 1\)」は「\(2x^2\)」と「\(3x\)」と「\(1\)」の項から成ります。

各項の次数を考えてみると、

  • \(2x^2\)
    \(2x^2 = 2 \cdot x \cdot x\) より、文字 \(x\) が \(2\) 個含まれる
    → 次数は \(2\)
  • \(3x\)
    \(3x = 3 \cdot x\) より、文字 \(x\) が \(1\) 個含まれる
    → 次数は \(1\)
  • \(1\)
    文字が含まれない
    → 次数は \(0\)

次数が最も大きい項は「\(2x^2\)」ですね(次数 \(2\))。

したがって、この多項式の次数は \(\color{red}{2}\) となります。

ちなみに、多項式の次数 \(n\) に応じて「\(\bf{n}\) 次式」と呼ぶこともできます。

例の多項式は「二次式」、次数が \(3\) の多項式は「三次式」、次数が \(5\) の多項式は「五次式」…などとなりますね。

 

② 係数

係数

各項の文字にかかっている数字

 

「\(2x^2 + 3x + 1\)」の項のうち、文字を含む項は「\(2x^2\)」と「\(3x\)」です。

「\(2x^2\)」の数字部分は \(2\)、「\(3x\)」の数字部分は \(3\) ですね。

したがって、多項式「\(2x^2 + 3x + 1\)」における \(x^2\) の係数は \(\color{red}{2}\)、\(x\) の係数は \(\color{red}{3}\) です。

 

③ 定数項

定数項

文字が含まれない、数字のみからなる項

数字のみからなる項は、文字に関係なく決まった値をとるので「定数項」といいます。

 

\(2x^2 + 3x + 1\) の項のうち、文字が含まれていないのは最後の \(1\) ですね。

したがって、この多項式の定数項は \(\color{red}{1}\) です。

 

④ 昇べきの順

昇べきの順

項を次数の小さい順に並べること。

式の前から後ろへ次数がだんだん大きくなるから、「昇」べきと呼びます。

 

多項式「\(2x^2 + 3x + 1\)」の項を次数が小さい方から並べ替えると

\(1 + 3x + 2x^2\)

となります。これを「昇べきの順に並べる」といいます。

 

⑤ 降べきの順

降べきの順

項を次数の大きい順に並べること。

式の前から後ろへ次数がだんだん小さくなるから、「降」べきと呼びます。

つまり、昇べきの順とは逆の順番のことですね。

 

多項式 \(2x^2 + 3x + 1\) はすでに降べきの順に並べられていますね。

一般的に、多項式は降べきの順で示すことが多いです。

 

補足

複数の文字を含む多項式では、「\(x\) について降べきの順」「\(y\) について昇べきの順」など、特定の文字に着目して項を並べ替えることもあります。

このときは、着目する文字以外の文字は単なる数字とみなして考えていきます。

 

単項式、多項式の計算問題

単項式と多項式にまつわる用語は理解できたでしょうか。

確認もかねて、簡単な問題を解いていきましょう。

計算問題①「多項式をすべて選ぶ」

計算問題①

次の式のうち、多項式をすべて選べ。

\(5x\)、\(x + 1\)、\(\displaystyle −\frac{x}{2}\)、\(3x^2 + x\)、\(\displaystyle \frac{x − 1}{2}\)

 

多項式とは、項を足し算でつなげた式でしたね。

単項式を選ばないように注意しましょう。

解答

 

  • \(5x\)(単項式)
  • \(x + 1\)(多項式)
  • \(\displaystyle −\frac{x}{2} = −\frac{1}{2} x\)(単項式)
  • \(3x^2 + x\)(多項式)
  • \(\displaystyle \frac{x − 1}{2} = \frac{1}{2} x + \left( −\frac{1}{2} \right)\)(多項式)

 

よって、多項式は

\(x + 1\)、\(3x^2 + x\)、\(\displaystyle \frac{x − 1}{2}\)

 

答え:

\(x + 1\)、\(3x^2 + x\)、\(\displaystyle \frac{x − 1}{2}\)

 

計算問題②「昇べきの順に並べる」

計算問題②

多項式 \(\displaystyle 3x + x^2 + \frac{x^4}{2} + 5\) について次の問いに答えよ。

(1) 昇べきの順に並べよ。

(2) 次数を求めよ。

 

まずは、構成する項の次数を知る必要があります。

\(1\) つずつ確認してみましょう。

解答

 

各項の次数は以下のとおり(括弧内が次数)。

  • \(3x\) ( \(1\) )
  • \(x^2 = x \cdot x\) ( \(2\) )
  • \(\displaystyle \frac{x^4}{2} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x\) ( \(4\) )
  • \(5\) ( \(0\) )

 

(1) 昇べきの順に並べると、

\(\displaystyle 5 + 3x + x^2 + \frac{x^4}{2}\)

 

答え: \(\displaystyle 5 + 3x + x^2 + \frac{x^4}{2}\)

 

 

(2) 最も次数が大きい項は \(\displaystyle \frac{x^4}{2}\) であるから、多項式の次数は \(4\) 

 

答え: \(4\)

 

計算問題③「複数の文字を含む多項式の次数を求める」

計算問題③

多項式 \(3x^3 + y^5 + 3xyz + z\) について次の問いに答えよ。

(1) \(x\) について降べきの順に並べよ。

(2) 次の場合の次数を求めよ。

(i) 特定の文字に着目しない場合

(ii) \(x\) に着目する場合

 

どの文字に着目するかによって、降べきの順、式の次数は異なります。

特定の文字に着目しない場合は、\(x\), \(y\), \(z\) すべてを文字とみなして考えます。

特定の文字に着目する場合は、その文字だけを文字ととらえて式を整理してみましょう。

解答

 

(1)

\(3x^3 + y^5 + 3xyz + z\) を \(x\) について降べきの順に並べると

\(3x^3 + 3yzx + y^5 + z\)

 

答え: \(3x^3 + 3xyz + y^5 + z\)

 

 

(2)

(i) すべての文字を文字とみなすと、 各項の次数は以下のとおり(括弧内が次数)。

  • \(3x^3\) ( \(3\) )
  • \(y^5\) ( \(5\) )
  • \(3xyz\) ( \(3\) )
  • \(z\) ( \(1\) )

最も次数が大きい項は \(y^5\) であるから、多項式の次数は \(5\) 。

 

(ii) \(x\) に着目した場合の各項の次数は以下のとおり(括弧内が次数)。

  • \(3x^3\) ( \(3\) )
  • \(3yzx\) ( \(1\) )
  • \(y^5 + z\) ( \(0\) )

最も次数が大きい項は \(3x^3\) であるから、式の次数は \(3\) 。

 

答え: (i) \(5\) 、(ii) \(3\)

以上で、すべての問題は終わりです!

 

多項式と単項式の考え方は理解できたでしょうか?

数学の基盤となる重要な考え方なので、しっかり理解して、わからないところは復習しておきましょう。

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