剰余の定理とは?定理の証明や因数定理との違い、応用問題

この記事では、「剰余の定理」についてわかりやすく解説していきます。

定理の証明や因数定理との違い、問題の解き方を紹介していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

剰余の定理とは?

剰余の定理とは、整式を一次式で割ったときの余りに関する定理です。

剰余の定理

整式 \(P(x)\) を

  • 一次式 \((x − a)\) で割ったときの余りは \(P(a)\)
  • 一次式 \((ax + b)\) で割ったときの余りは \(\displaystyle P\left( −\frac{b}{a} \right)\)

である。

商の一次式が \(0\) となるような \(x\) を \(P(x)\) に代入した値が余りになるということですね。

剰余の定理を利用すると、整式をわざわざ割り算しなくてもすぐに余りを求められます。

 

剰余の定理の証明

剰余の定理がなぜ成り立つのか、証明していきます。

剰余の定理の証明

整式 \(P(x)\) を一次式 \((ax + b)\) で割ったときの余りは \(\displaystyle P \left( −\frac{b}{a} \right)\) となることを証明せよ。

 

商と余りを文字でおいて式を立ててみると確認できます。

証明

 

整式 \(P(x)\) を一次式 \((ax + b)\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \(R\) とおくと、

\(P(x) = (ax + b)Q(x) + R\) …①

と表せる。

 

ここで、①に \(\displaystyle x = −\frac{b}{a}\) を代入すると、

\(\displaystyle P \left( −\frac{b}{a} \right)\)

\(\displaystyle = \left\{a \cdot \left( −\frac{b}{a} \right) + b \right\} Q\left( −\frac{b}{a} \right) + R\)

\(\displaystyle = (−b + b) Q\left( −\frac{b}{a} \right) + R\)

\(\displaystyle = 0 \cdot Q\left( −\frac{b}{a} \right) + R\)

\(= R\)

 

\(\displaystyle R = P \left( −\frac{b}{a} \right)\) より、剰余の定理が成り立つ。

 

(証明終わり)

このように、余りが \(\displaystyle P \left( −\frac{b}{a} \right)\) と等しくなることがわかりましたね。

商や余りを文字でおいて計算を進める手法は実際の問題でもよく使うので、見慣れておきましょう!

 

剰余の定理と因数定理の違い

ここでは、剰余の定理と因数定理の違いを説明します。

実は、「剰余の定理」において余りが \(\bf{0}\) のとき、つまり整式が割り切れるときが「因数定理」なのです。

 

剰余の定理と因数定理を比較してみましょう。

剰余の定理

整式 \(P(x)\) を一次式 \((x − a)\) で割ったときの余りは \(P(a)\) である。

因数定理

整式 \(P(x)\) が一次式 \((x − a)\) を因数にもつ \(\Longleftrightarrow\) \(P(a) = 0\)

因数定理とは?因数の見つけ方や問題の解き方

 

余りが \(0\) ということは、商を \(Q(x)\) とおくと

\(P(x) = (x − a) Q(x) + 0\)

と表せますね。

ゆえに、\(x = a\) を代入すると

\(\begin{align} P(a) &= (a − a) Q(x) + 0 \\ &= 0 \end{align}\)

となり、

因数定理「整式 \(P(x)\) が \((x − a)\) を因数にもつ \(\Longleftrightarrow\) \(P(a) = 0\)」が成り立つのです。

つまり、因数定理は特別な条件下(= 整式が一次式で割り切れる場合)における剰余の定理といえますね。

 

剰余の定理の使い方【例題】

それでは、例題を通して剰余の定理の使い方を確認してみましょう。

例題

整式 \(P(x) = x^3 + ax^2 + bx + 27\) は、\((x − 1)\) で割ると \(3\) 余り、\((x − 4)\) で割ると \(−84\) 余る。

このとき、\(a\), \(b\) の値をそれぞれ求めなさい。

 

〜で割ると〜余る」という表現が出てきたら、即「剰余の定理だ!」と思ってください。

問題文から、商と余りの関係式が \(2\) つ立てられますね。

それら \(2\) つの式を連立すれば、\(a\), \(b\) が求まります。

解答

 

\(P(x)\) を \((x − 1)\) で割ると \(3\) 余るので、剰余の定理より

\(P(1) = 3\)

\(1^3 + a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 27 = 3\)

\(1 + a + b + 27 = 3\)

\(a + b + 28 = 3\)

\(a + b = −25\) …①

 

また、\(P(x)\) を \((x − 4)\) で割ると \(−84\) 余るので、剰余の定理より

\(P(4) = − 84\)

\(4^3 + a \cdot 4^2 + b \cdot 4 + 27 = −84\)

\(64 + 16a + 4b + 27 = −84\)

\(16a + 4b + 91 = −84\)

\(16a + 4b = −175\) …②

 

② − ① \(\times \ 4\) より

\(\begin{array}{rr} 16a + 4b =& −175\\ −) 4a + 4b =& −100 \\ \hline 12a =& −75 \end{array}\)

よって

\(\displaystyle a = −\frac{25}{4}\)

 

\(\displaystyle a = −\frac{25}{4}\) を①に代入すると、

\(\displaystyle −\frac{25}{4} + b = −25\)

\(\begin{align} b &= −25 + \frac{25}{4} \\ &= \frac{−100 + 25}{4} \\ &= −\frac{75}{4} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle a = −\frac{25}{4}, \displaystyle b = −\frac{75}{4}}\)

これが剰余の定理を使う基本的な流れなので、しっかり理解しておきましょう。

 

剰余の定理の練習問題

それでは、剰余の定理の練習問題を解いてみましょう。

練習問題「商と余りから定数を求める」

練習問題

整式 \(P(x) = 2x^3 + ax^2 − bx + 1\) は、\((x − 1)\) で割ると \(3\) 余り、\((x + 1)\) で割ると \(5\) 余る。

このとき、\(a\), \(b\) の値をそれぞれ求めなさい。

 

剰余の定理を利用すると、\(a\), \(b\) に関する \(2\) つの式が出てきます。

その \(2\) 式を連立して答えを求めましょう。

解答

 

\(P(x) = 2x^3 + ax^2 − bx + 1\) において、剰余の定理より

\(P(1) = 3\), \(P(−1) = 5\)

 

\(\begin{align} P(1) &= 2 \cdot 1^3 + a \cdot 1^2 − b \cdot 1 + 1 \\ &= 2 + a − b + 1 \\ &= a − b + 3 \end{align}\)

より、

\(a − b + 3 = 3\)

\(a − b = 0\) …①

 

また、

\(\begin{align} P(−1) &= 2(−1)^3 + a(−1)^2 − b(−1) + 1 \\ &= −2 + a + b + 1 \\ &= a + b − 1 \end{align}\)

より、

\(a + b − 1 = 5\)

\(a + b = 6\) …②

 

① + ②より、

\(\begin{array}{rr} a − b =& 0\\ +) a + b =& 6 \\ \hline 2a =& 6 \end{array}\)

よって

\(a = 3\) …③

 

③を①に代入すると、

\(3 − b = 0\)

\(b = 3\)

 

答え: \(a = 3, b = 3\)

剰余の定理を使い慣れれば、決して難しくない問題ですね。

 

剰余の定理の応用問題

それでは最後に、剰余の定理の応用問題にチャレンジしてみましょう!

応用問題①「二次式で割った余りを求める」

応用問題①

整式 \(P(x)\) を \((x + 5)\) で割ると余りは \(8\)、\((x − 2)\) で割ると余りは \(4\) となる。

このとき、\(P(x)\) を \(x^2 + 3x − 10\) で割ったときの余りを求めなさい。

 

整式を二次式で割った余りは一次式以下になるので、「\((ax + b)\)」とおけます。

また、\(x^2 + 3x − 10\) と \((x + 5)\)、\((x − 2)\) の関係に気づけると、条件式が \(2\) つ作れますね。

解答

 

\(x^2 + 3x − 10 = (x + 5)(x − 2)\)

\(P(x)\) を \(x^2 + 3x − 10\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \(ax + b\) とすると、

\(P(x) = (x + 5)(x − 2) Q(x) + ax + b\)

と表せる。

 

整式 \(P(x)\) において、剰余の定理より

\(P(−5) = 8\)、すなわち

\(−5a + b = 8\) …①

 

\(P(2) = 4\)、すなわち

\(2a + b = 4\) …②

 

① − ② より、

\(\begin{array}{rr}−5a + b =& 8 \\ −) 2a + b =& 4 \\ \hline −7a =& 4 \end{array}\)

よって

\(\displaystyle a = −\frac{4}{7}\) …③

 

③を②に代入すると、

\(\begin{align} b &= 4 − 2 \left( −\frac{4}{7} \right) \\ &= \frac{28 + 8}{7} \\ &= \frac{36}{7} \end{align}\)

 

したがって、

\(\begin{align} ax + b &= −\frac{4}{7} x + \frac{36}{7} \\ &= −\frac{4}{7} (x − 9) \end{align}\)

 

答え: \(\displaystyle −\frac{4}{7} (x − 9)\)

 

応用問題②「重解をもつ商で割った余りを求める」

応用問題②

\(P(x) = x^8\) を \((x + 2)^2\) で割ったときの余りを求めなさい。

 

\((x + 2)^2\) のように重解をもつ項で整式を割ると、条件式が \(1\) つしかなく、情報が足りません。

そのような場合は、両辺を微分して条件式を増やします

補足

この問題には数IIIの微分の知識が必要なので、まだ習っていない人はスキップしてください。

ちなみに、積の微分公式「\(\{f(x)g(x)\}’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)」を利用します。

微分とは?公式一覧や微分のやり方、計算問題を簡単に解説!

 

解答

 

\(x^8\) を \((x + 2)^2\) で割ったときの商を \(Q(x)\)、余りを \(ax + b\) とすると、

\(x^8 = (x + 2)^2 Q(x) + ax + b\) …①

と表せる。

 

①の両辺に \(x = −2\) を代入すると、

\(256 = −2a + b\)

\(−2a + b = 256\) …①

 

また、①の両辺を微分すると

\(7x^7 = 2(x + 2) Q(x) + (x + 2)^2 Q’(x) + a\)

\(x = −2\) を代入すると、

\(7(− 2)^7 = a\)

\(a = −896\)

 

①より

\(\begin{align} b &= 256 + 2a \\ &= 256 + 2(−896) \\ &= −1536 \end{align}\)

 

よって求める余りは \(−896x − 1536\)

 

答え: \(−896x − 1536\)

以上で問題も終わりです!

 

剰余の定理について理解が深まりましたか?

問題のパターンはある程度決まっているので、たくさん問題を解いて解き方をマスターしましょう!

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