極限とは？公式一覧や極限計算のポイントをわかりやすく解説！

ただし、無限大 \((\pm\infty)\) は値というより「限りなく大きい（または小さい）」という概念なので、「極限値」とは呼びません。注意しましょう！

• 左側極限 \(\displaystyle \lim_{x \to a − 0} f(x)\)
  \(x < a\) で、\(x \to a\) のときの \(f(x)\) の極限
• 右側極限 \(\displaystyle \lim_{x \to a + 0} f(x)\)
  \(x > a\) で、\(x \to a\) のときの \(f(x)\) の極限

\(\displaystyle \lim_{x \to a − 0} f(x) = \lim_{x \to a + 0} f(x) = \alpha\) \(\iff\) \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \alpha\)

\(\displaystyle \lim_{x \to a − 0} f(x) \neq \lim_{x \to a + 0} f(x)\) のとき、\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)\) は存在しない

数列 \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\) が収束して、\(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha\), \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = \beta\) とする。

1. 定数倍
   \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} ka_n = k\alpha\)（\(k\) は定数）

2. 和と差
   \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} (a_n \pm b_n)  = \alpha \pm \beta\)
   1, 2 を合わせて
   \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} (ka_n \pm lb_n)  = k\alpha \pm l\beta\) （\(k\), \(l\) は定数）

3. 積
   \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_nb_n  = \alpha\beta\)

4. 商
   \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}  = \frac{\alpha}{\beta}\) （ただし \(\beta \neq 0\)）

\(k > 0\) のとき

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \lim_{n\to\infty} n^k = \infty}\end{align}

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^k} = 0}\end{align}

• \(r > 1\) のときは正の無限大に発散する
  \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} r^n = \infty\)
• \(−1 < r \leq 1\) のときは収束する
  \(r = 1\) のとき、 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} r^n = 1\)
  \(|r| < 1\) のとき、 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} r^n = 0\)
• \(r \leq −1\) のときは振動する（極限はない）

なお、「無限級数（無限数列の和）」については以下の記事で詳しく説明しています。

無限級数、無限等比級数とは？和の公式や求め方、図形問題

十分に大きい \(n\) について \(a_n \leq b_n\) のとき、以下が成り立つ。

1. \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha\), \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = \beta\) ならば \(\alpha \leq \beta\)
2. \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = \infty\) ならば \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} b_n = \infty\)
   （追い出しの原理）

3. \(a_n \leq c_n \leq b_n\) のとき \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} b_n = \alpha\) ならば \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} c_n = \alpha\)
   （はさみうちの原理）

「はさみうちの原理」を使う問題の解き方については、以下の記事で詳しく説明しています。

はさみうちの原理とは？使い方やコツをわかりやすく解説！

\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \alpha\), \(\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \beta\) とする。

1. 定数倍
   \(\displaystyle \lim_{x \to a} kf(x) = k\alpha\)（\(k\) は定数）

2. 和と差
   \(\displaystyle \lim_{x \to a} (f(x) \pm g(x))  = \alpha \pm \beta\)
   1, 2 を合わせて
   \(\displaystyle \lim_{x \to a} (kf(x) \pm lg(x))  = k\alpha \pm l\beta\)（\(k\), \(l\) は定数）

3. 積
   \(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)g(x)  = \alpha\beta\)

4. 商
   \(\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\alpha}{\beta}\)（ただし \(\beta \neq 0\)）

なお、\(x \to a\) を \(x \to \infty\), \(x \to −\infty\) としても成り立つ。

指数関数 \(y = a^x\) について

• \(1 < a\) のとき
  \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} a^x = \infty\)
  \(\displaystyle \lim_{x \to −\infty} a^x = 0\)
• \(0 < a < 1\) のとき
  \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} a^x = 0\)
  \(\displaystyle \lim_{x \to −\infty} a^x = \infty\)

対数関数 \(y = \log_a x\) について

• \(1 < a\) のとき
  \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty\)
  \(\displaystyle \lim_{x \to +0} \log_a x = −\infty\)
• \(0 < a < 1\) のとき
  \(\displaystyle \lim_{x \to \infty} \log_a x = −\infty\)
  \(\displaystyle \lim_{x \to +0} \log_a x = \infty\)

\begin{align} e &= \lim_{h \to 0} (1 + h)^{\frac{1}{h}} \\ &= \lim_{n \to \pm\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \\ &= 2.71828\cdots \end{align}

「ネイピア数」については、以下の記事でより詳しく説明しています。

自然対数 ln、自然対数の底 e とは？定義や微分積分公式

• \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{e^x − 1}{x} = 1\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\log(1 + x)} = 1\)

• \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1\)
• \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\)

（ただし、角 \(x\) の単位は弧度法）

\(\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \alpha\), \(\displaystyle \lim_{x \to a} g(x) = \beta\) とすると、以下が成り立つ。

1. \(x\) が \(a\) に近いとき、常に \(f(x) \leq g(x)\) ならば \(\alpha \leq \beta\)
2. \(x\) が \(a\) に近いとき、常に \(f(x) \leq h(x) \leq g(x)\) かつ \(\alpha = \beta\) ならば \(\displaystyle \lim_{x \to a} h(x) = \alpha\)
   （はさみうちの原理）

次の極限を求めよ。

\(\displaystyle \lim_{x \to −\infty} \frac{4^x}{3^x + 2^x}\)

次の極限値を求めよ。

（見切れる場合は横へスクロール）

次の極限を求めよ。

\(\displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{2x − \pi}\)

「はさみうちの原理」を使う問題については、以下の記事で解説しています。

はさみうちの原理とは？使い方やコツをわかりやすく解説！

次の関数について、\(x\) が \(1\) に近づくときの右側極限、左側極限を求め、\(x \to 1\) のときの極限が存在するかを調べよ。

\(\displaystyle y = \frac{x − 2}{x − 1}\)

「不定形の極限」の解消法については、以下の記事で説明しています。

不定形の極限の解消法！極限値の求め方を徹底解説