逆数とは?逆数の意味や求め方、逆数の和などの計算問題

この記事では「逆数」について、その意味や計算方法をできるだけわかりやすく解説していきます。

マイナスの数の逆数の求め方や、逆数の和の問題なども紹介していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

逆数とは?

逆数とは、ある数にかけ算すると答えが \(\bf{1}\) になる数です。

逆数には常にペアがいて、必ず「〇〇の逆数」という表現をします。

例えば、ある数 \(A\) と \(B\) をかけると答えが \(1\) になるとき(\(A \times B = 1\) のとき)、

  • \(A\) は \(B\) の逆数
     または
  • \(B\) は \(A\) の逆数

と表現できます。

 

簡単な具体例を見てみましょう。

例えば、

\(2 \times \displaystyle \frac{1}{2} = 1\)

なので、

  • 「\(2\) の逆数は \(\displaystyle \frac{1}{2}\)」
    または
  • 「\(\displaystyle \frac{1}{2}\) の逆数は \(2\)」

といえます。

 

補足

逆数には、かけて \(1\) になるペアの数が必ずあります。

しかし、実は \(1\) つだけ逆数をもたない数字があります。

 

それは、「\(0\)」です。

 

\(0\) には何をかけても \(0\) のままで、\(1\) にはなりませんよね。

したがって、\(0\) には逆数がありません

 

逆数の求め方

ここでは、逆数の求め方を説明します。

ある数の逆数を求めるには、ある数を 分数に変形して、② 分母と分子をひっくり返します

そうすれば、「ある数 × 逆数 = \(\bf{1}\)」という式の分母と分子が約分でき、かけ算した答えを \(1\) にできます。

これが、逆数の求め方の基本です。

 

それでは、さまざまな数の逆数の求め方を確認していきましょう。

整数の逆数

ここでは、整数 \(6\) の逆数を求めてみましょう。

\(6\) を分数に直し、分母と分子をひっくり返します。

Tips
ある数を分数に直すには、分母に「\(1\)」を置きます。

整数 \(6\) を分数で表すと \(\displaystyle \frac{6}{1}\)

分母と分子をひっくり返すと \(\displaystyle \frac{1}{6}\) 

 

よって、\(6\) の逆数は \(\displaystyle \frac{1}{6}\)

逆数を求めたあとは、元の数とかけて \(1\) になるか確認しておくと安心です。

(確認)

\(6 \times \displaystyle \frac{1}{6} = \displaystyle \frac{6}{1} \times \displaystyle \frac{1}{6} = 1\) 

 

分数の逆数

次は、 \(\displaystyle \frac{5}{3}\) の逆数を求めてみましょう。

\(\displaystyle \frac{5}{3}\) はもともと分数なので、分母と分子をひっくり返すだけですね。

\(\displaystyle \frac{5}{3}\) の逆数は \(\displaystyle \frac{3}{5}\)

 

(確認)

\(\displaystyle \frac{5}{3} \times \displaystyle \frac{3}{5} = 1\)

 

一方で、帯分数のときはまず仮分数に直してから逆数を求めます。

\(2 \displaystyle \frac{3}{5}\) の逆数を求めてみましょう。

なお、\(2 \displaystyle \frac{3}{5}\) の 「\(2\)」 は \(\displaystyle \frac{5}{5}\) が \(2\) つあることを示しているのでしたね。

\(2 \displaystyle \frac{3}{5}\) を仮分数に直すと

\(2 \displaystyle \frac{3}{5} = \displaystyle \frac{5}{5} \times 2 + \displaystyle \frac{3}{5} = \displaystyle \frac{10}{5} + \displaystyle \frac{3}{5} = \displaystyle \frac{13}{5}\)

 

分母と分子をひっくり返すと\(\displaystyle \frac{5}{13}\)

 

よって \(2 \displaystyle \frac{3}{5}\) の逆数は \(\displaystyle \frac{5}{13}\)

 

(確認)

\(2 \displaystyle \frac{3}{5} \times \displaystyle \frac{5}{13} = \displaystyle \frac{13}{5} \times \displaystyle \frac{5}{13} = 1\)

 

小数の逆数

ここでは、 \(0.25\) の逆数を求めてみましょう。

小数の場合も、分数に直してから逆数を求めます。

Tips

小数を分数へ直すには、分母に「\(1\)」を置き、分子が整数になるように、分母・分子に同じ数をかけてあげます

\(0.25 = \displaystyle \frac{0.25}{1} = \displaystyle \frac{0.25 \color{salmon}{\times 100}}{1 \color{salmon}{\times 100}} = \displaystyle \frac{25}{100} = \displaystyle \frac{1}{4}\)

 

分母と分子をひっくり返すと \(\displaystyle \frac{4}{1} = 4\)

 

よって、\(0.25\) の逆数は \(4\)

 

(確認)

\(0.25 \times 4 = \displaystyle \frac{1}{4} \times 4 = 1\) 

 

マイナスの数の逆数

ここでは、\(− 5\) の逆数を求めてみましょう。

答えは簡単、\(\displaystyle \frac{1}{5}\) …ではありません。

かけ算すると、\(− 5 \times \displaystyle \frac{1}{5} = − 1\) になってしまいますね。

Tips

ある数と逆数の関係は、かけて「\(\color{red}{+ 1}\)」にならないといけないので、ある数がマイナスの場合、その逆数も必ずマイナスとなります。

正しくは、

 \(− 5\) の逆数は \(− \displaystyle \frac{1}{5}\)

 

(確認)

\(− 5 \times \left(− \displaystyle \frac{1}{5}\right) = 1\)

ですね!

 

逆数の計算問題

では、さっそく、逆数の簡単な問題を解いてみましょう。

計算問題①「負の数の逆数を求める」

計算問題①
\(− 4\) の逆数を求めよ。

 

逆数を求める方法は、以下のような手順でしたね。

Tips
  1. 「ある数」を分数にする。
  2. 分母と分子を逆にして、逆数を求める。
  3. ある数と逆数をかけると \(1\) になることを確認する。
解答

 

\(− 4 = − \displaystyle \frac{4}{1}\) より、

 

\(− 4\) の逆数は \(− \displaystyle \frac{1}{4}\)

 

(確認)

\(− 4 × \left(− \displaystyle \frac{1}{4}\right) = − \displaystyle \frac{4}{1} × \left(− \displaystyle \frac{1}{4}\right) = 1\)

 

答え: \(− \displaystyle \frac{1}{4}\)

 

計算問題②「帯分数の逆数を求める」

計算問題②
\(5 \displaystyle \frac{2}{7}\) の逆数を求めよ。

 

ある数が帯分数のときは、まず仮分数に直すんでしたね。

解答

 

\(\begin{align}5 \displaystyle \frac{2}{7} &= \displaystyle \frac{7}{7} \times 5 + \displaystyle \frac{2}{7} \\&= \displaystyle \frac{35}{7} + \displaystyle \frac{2}{7} \\&= \displaystyle \frac{37}{7}\end{align}\)

より、

 

\(5 \displaystyle \frac{2}{7}\) の逆数は \(\displaystyle \frac{7}{37}\)

 

(確認)

\(5 \displaystyle \frac{2}{7} \times \displaystyle \frac{7}{37} = \displaystyle \frac{37}{7} \times \displaystyle \frac{7}{37} = 1\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{7}{37}\)

 

計算問題③「小数の逆数を求める」

計算問題③
\(3.75\) の逆数を求めよ。

 

小数の逆数を求める問題です。

今までの問題と同じように、分数に直してから逆数を求めます。

解答

 

\(3.75 = \displaystyle \frac{3.75}{1} = \displaystyle \frac{3.75 \times 100}{1 \times 100} = \displaystyle \frac{375}{100} = \displaystyle \frac{15}{4}\) より、

 

\(3.75\) の逆数は \(\displaystyle \frac{4}{15}\)

 

(確認)

\(3.75 \times \displaystyle \frac{4}{15} = \displaystyle \frac{15}{4} \times \displaystyle \frac{4}{15} = 1\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{4}{15}\)

 

逆数の応用問題

最後の仕上げとして、少し難易度の高い \(2\) 問を解いてみましょう。

応用問題①「約数の逆数の和を求める」

応用問題①
\(200\) の約数の逆数の総和を求めよ。

 

\(200\) の約数には、 \(1, 2, …, 100, 200\) などがありますが、すべての約数を書き出すのは大変です。

実は、約数の総和に関する公式を用いれば、すべての約数を求めなくてもこの問題を解くことができます。

約数の総和の公式

自然数 \(N\) が \(N = p^a \times q^b \times \cdots \times r^c\) と素因数分解できるとき、

(\(N\) の正の約数の総和)

\(= (1 + p^1 + p^2 + \cdots + p^a)\)\((1 + q^1 + q^2 + \cdots + q^b)\)\( \cdots (1 + r^1 + r^2 + \cdots + r^c)\)

 

約数とは?約数の個数や総和の求め方、約数表、計算問題
解答

 

\(200\) の約数は、\(1, 2, \cdots, 100, 200\) であるから、

\(200\) の約数の逆数の総和は

\(\displaystyle \frac{1}{1} + \displaystyle \frac{1}{2} + \cdots +\displaystyle \frac{1}{100} +\displaystyle \frac{1}{200}\)

と表せる。

 

分母を \(200\) で通分すると、

\(\displaystyle \frac{1}{1} + \displaystyle \frac{1}{2} + \cdots +\displaystyle \frac{1}{100} +\displaystyle \frac{1}{200}\)

 

\(= \displaystyle \frac{200 + 100 + \cdots + 2 + 1}{200}\) …①

 

 

このとき、①の分子の総和は \(200\) の約数の総和である。

 

ここで、\(200\) を素因数分解すると \(200 = 2^3 \times 5^2\) であるから、

 

(\(200\) の約数の総和)

\(= (2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3)(5^0 + 5^1 + 5^2)\)

\(= (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 5 + 25)\)

\(= 15 × 31\)

\(= 465\)

 

①より、

 

\(\displaystyle \frac{200 + 100 + \cdots + 2 + 1}{200}\)

 

\(= \displaystyle \frac{465}{200}\)

 

\(= \displaystyle \frac{93}{40}\)

 

 

したがって、\(200\) の約数の逆数の総和は \(\displaystyle \frac{93}{40}\)

 

 

答え: \(\displaystyle \frac{93}{40}\)

 

応用問題②「速さの比から時間の比を求める」

応用問題②

時速 \(60 \, \mathrm{km}\) の自動車と時速 \(15 \, \mathrm{km}\) の自転車で、家から駅に向かったときにかかる時間の比を求めよ。

 

進む距離が同じとき、時間の比は速さの比の逆数になります。

単位を見てみると、距離の単位は \(\mathrm{km}\)、時間の単位は \(\mathrm{h}\)、速さの単位は \(\mathrm{km / h}\) です。

速さの逆数は \(\mathrm{h / km}\)、このとき、距離 \(\mathrm{km}\) が一定なので試しに \(1\) とおくと \(\mathrm{h} / 1 = \bf{\mathrm{h}}\) になり、時間と同じになりますね。

解答

 

自動車と自転車の速さの比は、\(60 : 15 = 4 : 1\)

 

時間の比は速さの比の逆数であるから、自動車と自転車の時間の比は

 

\(\displaystyle \frac{1}{4} : \displaystyle \frac{1}{1} =\displaystyle \frac{1}{4} \times 4 : \displaystyle \frac{1}{1} \times 4 = 1 : 4\)

 

 

答え: \(1 : 4\)

以上で、すべての問題は終わりです!

 

逆数は、ある数を分数に変形できてしまえば、簡単に求められます。

とても大事な概念なので、よく慣れて、理解しておきましょう!

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です