# 約数とは？約数の個数や総和の求め方、約数表、計算問題

この記事では、「約数」の意味や求め方をできるだけわかりやすく解説していきます。

## 約数とは？

$$24$$ を割り切れる数を小さいものから考えていくと、

$$24 \div \color{salmon}{1} = 24$$

$$24 \div \color{salmon}{2} = 12$$

$$24 \div \color{salmon}{3} = 8$$

$$24 \div \color{salmon}{4} = 6$$

$$24 \div \color{salmon}{6} = 4$$

$$24 \div \color{salmon}{8} = 3$$

$$24 \div \color{salmon}{12} = 2$$

$$24 \div \color{salmon}{24} = 1$$

となり、$$24$$ の正の約数は $$\color{red}{1}$$, $$\color{red}{2}$$, $$\color{red}{3}$$, $$\color{red}{4}$$, $$\color{red}{6}$$, $$\color{red}{8}$$, $$\color{red}{12}$$, $$\color{red}{24}$$ であることがわかります。

## 約数の求め方

$$24$$ の正の約数を求めよ。

### 【求め方①】約数のペアを調べる

ある数 $$N$$ が割り切れるとき、そのときの除数（割る数）も商（答え）も $$N$$ の約数となります。

この性質を利用して、約数のペア（小さい約数と大きい約数）を $$1$$ から順に調べます。

まずは小さい約数を左に書き出し、その約数で割り切れたときの商（大きい約数）を右に書き出します。

$$24 \div \color{orange}{\bf{1}} = \color{skyblue}{\bf{24}}$$

$$\color{orange}{\bf{1}}$$,                         , $$\color{skyblue}{\bf{24}}$$

この作業を、すでに書き出した約数が出てくるまで続けます。

$$24 \div \color{orange}{\bf{2}} = \color{skyblue}{\bf{12}}$$

$$1$$, $$\color{orange}{\bf{2}}$$,               , $$\color{skyblue}{\bf{12}}$$, $$24$$

$$24 \div \color{orange}{\bf{3}} = \color{skyblue}{\bf{8}}$$

$$1$$, $$2$$, $$\color{orange}{\bf{3}}$$,       , $$\color{skyblue}{\bf{8}}$$, $$12$$, $$24$$

$$24 \div \color{orange}{\bf{4}} = \color{skyblue}{\bf{6}}$$

$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$\color{orange}{\bf{4}}$$, $$\color{skyblue}{\bf{6}}$$, $$8$$, $$12$$, $$24$$

$$24 \div 5 =$$ ×（割り切れない）

$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$6$$, $$8$$, $$12$$, $$24$$

$$24 \div \color{orange}{\bf{6}} = \color{skyblue}{\bf{4}}$$

$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$\color{skyblue}{\bf{4}}$$, $$\color{orange}{\bf{6}}$$, $$8$$, $$12$$, $$24$$

$$6$$ はすでに出てきたので、ここで終わりです。

よって、$$24$$ の正の約数は $$\color{red}{1}$$, $$\color{red}{2}$$, $$\color{red}{3}$$, $$\color{red}{4}$$, $$\color{red}{6}$$, $$\color{red}{8}$$, $$\color{red}{12}$$, $$\color{red}{24}$$ と求められます。

### 【求め方②】素因数分解を利用する

まずは、$$24$$ を素因数分解します。

$$24 = 2^3 \times 3$$

つまり、$$24$$ の約数はこれらの数の組み合わせでできています

したがって、「$$2$$」と「$$3$$」の個数の組み合わせをすべて洗い出せれば、自ずと $$24$$ の約数をすべて見つけられます。

したがって、$$24$$ の正の約数は $$\color{red}{1}$$, $$\color{red}{2}$$, $$\color{red}{3}$$, $$\color{red}{4}$$, $$\color{red}{6}$$, $$\color{red}{8}$$, $$\color{red}{12}$$, $$\color{red}{24}$$ と求められます。

Tips

「$$2$$ を $$0$$ 個使う（= $$1$$ 個も使わない）」「$$3$$ を $$0$$ 個使う（= $$1$$ 個も使わない）」というのも立派な個数の組み合わせなので、見落とさないように注意しましょう！

## 約数の個数の公式

$$\color{red}{(N \ \text{の正の約数の個数})}$$ $$\color{red}{= (a + 1)(b + 1) \cdots (c + 1)}$$

### 個数の公式の意味

なんだか複雑な公式に見えますが、考え方はシンプルです。

$$24$$ には $$2$$ が $$3$$ 個含まれるので、$$2$$ を「$$0$$ 個」「$$1$$ 個」「$$2$$ 個」「$$3$$ 個」使うという $$4$$ 通りの選択肢があります。

それぞれをかけ合わせると、$$\color{red}{4 \times 2 = 8}$$ 通りの選択肢があります。

これこそが、$$\bf{24}$$ の約数の個数です。

$$24 = 2^\color{red}{3} \times 3^\color{red}{1}$$

と素因数分解できるので、正の約数の個数は

$$(\color{red}{3} + 1) (\color{red}{1} + 1) = 4 \times 2 = \color{red}{8}$$

と表すことができます。

## 約数の総和の公式

\begin{align}(&N \ \text{の正の約数の総和}) \\&= (p^0 + p^1 + p^2 + … + p^a)(q^0 + q^1 + q^2 + … + q^b) \cdots (r^0 + r^1 + r^2 +  … + r^c) \\&= (1 + p^1 + p^2 … + p^a)(1 + q^1 + q^2 + … + q^b) \cdots(1 + r^1 + r^2 +  … + r^c)\end{align}

（見切れる場合は横へスクロール）

### 総和の公式の意味

（例）$$24$$ の約数の総和

$$24 = 2^\color{red}{3} \times 3^\color{red}{1}$$ より、

$$(24 \ \text{の正の約数の総和})$$
$$= (1 + 2^1 + 2^2 + 2^\color{red}{3}) (1 + 3^\color{red}{1})$$
$$= (1 + 2 + 4 + 8) (1 + 3)$$
$$= 15 \cdot 4$$
$$= \color{red}{60}$$

$$= (1 + 2 + 4 + 8) (1 + 3)$$

$$= \underline{1} + \underline{2} + \underline{4} + \underline{8} + \underline{3} + \underline{6} + \underline{12} + \underline{24}$$

## 約数表（1 から 100 まで）

ここでは、$$1$$ から $$100$$ までの自然数の約数を一覧で紹介します。

$$1$$ とその数自身だけが約数である数を「素数」といい、表ではグレーの背景で表しています。

ただし、$$1$$ は素数ではありません。

$$1$$ $$\, \, \,$$$$1$$
$$2$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$
$$3$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$
$$4$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$
$$5$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$5$$
$$6$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$6$$
$$7$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$7$$
$$8$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$8$$
$$9$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$9$$
$$10$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$5$$, $$10$$
$$11$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$11$$
$$12$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$6$$, $$12$$
$$13$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$13$$
$$14$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$7$$, $$14$$
$$15$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$5$$, $$15$$
$$16$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$8$$, $$16$$
$$17$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$17$$
$$18$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$6$$, $$9$$, $$18$$
$$19$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$19$$
$$20$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$5$$, $$10$$, $$20$$
$$21$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$7$$, $$21$$
$$22$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$11$$, $$22$$
$$23$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$23$$
$$24$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$6$$, $$8$$, $$12$$, $$24$$
$$25$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$5$$, $$25$$
$$26$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$13$$, $$26$$
$$27$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$9$$, $$27$$
$$28$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$7$$, $$14$$, $$28$$
$$29$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$29$$
$$30$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$5$$, $$6$$, $$10$$, $$15$$, $$30$$
$$31$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$31$$
$$32$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$8$$, $$16$$, $$32$$
$$33$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$11$$, $$33$$
$$34$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$17$$, $$34$$
$$35$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$5$$, $$7$$, $$35$$
$$36$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$6$$, $$9$$, $$12$$, $$18$$, $$36$$
$$37$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$37$$
$$38$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$19$$, $$38$$
$$39$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$13$$, $$39$$
$$40$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$5$$, $$8$$, $$10$$, $$20$$, $$40$$
$$41$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$41$$
$$42$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$6$$, $$7$$, $$14$$, $$21$$, $$42$$
$$43$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$43$$
$$44$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$11$$, $$22$$, $$44$$
$$45$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$5$$, $$9$$, $$15$$, $$45$$
$$46$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$23$$, $$46$$
$$47$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$47$$
$$48$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$6$$, $$8$$, $$12$$, $$16$$, $$24$$, $$48$$
$$49$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$7$$, $$49$$
$$50$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$5$$, $$10$$, $$25$$, $$50$$
$$51$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$17$$, $$51$$
$$52$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$13$$, $$26$$, $$52$$
$$53$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$53$$
$$54$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$6$$, $$9$$, $$18$$, $$27$$, $$54$$
$$55$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$5$$, $$11$$, $$55$$
$$56$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$7$$, $$8$$, $$14$$, $$28$$, $$56$$
$$57$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$19$$, $$57$$
$$58$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$29$$, $$58$$
$$59$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$59$$
$$60$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$5$$, $$6$$, $$10$$, $$12$$, $$15$$, $$20$$, $$30$$, $$60$$
$$61$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$61$$
$$62$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$31$$, $$62$$
$$63$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$7$$, $$9$$, $$21$$, $$63$$
$$64$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$8$$, $$16$$, $$32$$, $$64$$
$$65$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$5$$, $$13$$, $$65$$
$$66$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$6$$, $$11$$, $$22$$, $$33$$, $$66$$
$$67$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$67$$
$$68$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$17$$, $$34$$, $$68$$
$$69$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$23$$, $$69$$
$$70$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$5$$, $$7$$, $$10$$, $$14$$, $$35$$, $$70$$
$$71$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$71$$
$$72$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$6$$, $$8$$, $$9$$, $$12$$, $$18$$, $$24$$, $$36$$, $$72$$
$$73$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$73$$
$$74$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$37$$, $$74$$
$$75$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$5$$, $$15$$, $$25$$, $$75$$
$$76$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$19$$, $$38$$, $$76$$
$$77$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$7$$, $$11$$, $$77$$
$$78$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$6$$, $$13$$, $$26$$, $$39$$, $$78$$
$$79$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$79$$
$$80$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$5$$, $$8$$, $$10$$, $$16$$, $$20$$, $$40$$, $$80$$
$$81$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$9$$, $$27$$, $$81$$
$$82$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$41$$, $$82$$
$$83$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$83$$
$$84$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$6$$, $$14$$, $$21$$, $$28$$, $$42$$, $$84$$
$$85$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$5$$, $$17$$, $$85$$
$$86$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$43$$, $$86$$
$$87$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$29$$, $$87$$
$$88$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$8$$, $$11$$, $$22$$, $$44$$, $$88$$
$$89$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$89$$
$$90$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$5$$, $$6$$, $$9$$, $$10$$, $$15$$, $$18$$, $$30$$, $$45$$, $$90$$
$$91$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$7$$, $$13$$, $$91$$
$$92$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$23$$, $$46$$, $$92$$
$$93$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$31$$, $$93$$
$$94$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$47$$, $$94$$
$$95$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$5$$, $$19$$, $$95$$
$$96$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$3$$, $$4$$, $$6$$, $$8$$, $$12$$, $$16$$, $$24$$, $$32$$, $$48$$, $$96$$
$$97$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$97$$
$$98$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$7$$, $$14$$, $$49$$, $$98$$
$$99$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$3$$, $$9$$, $$11$$, $$33$$, $$99$$
$$100$$ $$\, \, \,$$$$1$$, $$2$$, $$4$$, $$5$$, $$10$$, $$20$$, $$25$$, $$50$$, $$100$$

## 約数の計算問題

それでは、さっそく約数を求める練習をしてみましょう！

### 計算問題「72 の正の約数」

$$72$$ の正の約数をすべて求めよ。

すべての正の約数を求める問題です。

ここでは、素因数分解を利用して解く方法を解説します。

$$72$$ を素因数分解すると、

$$72 = 2^3 \cdot 3^2$$

つまり、$$72$$ の約数は、$$2$$ を $$0$$ 〜 $$3$$ 個、$$3$$ を $$0$$ 〜 $$2$$ 個含む。

$$72$$ の約数となる $$2$$ と $$3$$ の個数の組み合わせは次のとおり。

$$(2$$ の個数, $$3$$ の個数$$)$$

\begin{align}= &\ (0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), \\&\ (0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1), \\&\ (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2)\end{align}

したがって、$$72$$ の約数は

$$2^0 \cdot 3^0 = 1$$、 　$$2^1 \cdot 3^0 = 2$$、

$$2^2 \cdot 3^0 = 4$$、 　$$2^3 \cdot 3^0 = 8$$、

$$2^0 \cdot 3^1 = 3$$、 　$$2^1 \cdot 3^1 = 6$$、

$$2^2 \cdot 3^1 = 12$$、　$$2^3 \cdot 3^1 = 24$$、

$$2^0 \cdot 3^2 = 9$$、 　$$2^1 \cdot 3^2 = 18$$、

$$2^2 \cdot 3^2 = 36$$、　$$2^3 \cdot 3^2 = 72$$

## 約数の応用問題

### 応用問題「7425 の正の約数の個数と総和」

$$7425$$ の正の約数の個数と、約数の総和を求めよ。

さっそく、先ほどの公式を使って解いてみましょう。

$$7425$$ を素因数分解すると、

$$7425 = 3^3 \cdot 5^2 \cdot 11^1$$ より

$$7425$$ の正の約数の個数は、

$$(3 + 1) (2 + 1) (1 + 1)$$

$$= 4 \cdot 3 \cdot 2$$

$$= 24$$ 個

$$(1 + 3^1 + 3^2 + 3^3) (1 + 5^1 + 5^2) (1 + 11^1)$$

$$= (1 + 3 + 9 + 27) (1 + 5 + 25) (1 + 11)$$

$$= 40 \cdot 31 \cdot 12$$

$$= 14,880$$