この記事では、「約数」の意味や求め方をできるだけわかりやすく解説していきます。
約数の個数や総和の公式、\(1\) から \(100\) までの約数表、計算問題の解き方も紹介していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね！
目次
約数とは？
約数とは、ある整数を割り切ることのできる整数のことです。
約数には、正の約数と負の約数がありますが、一般的に正の整数や自然数の約数を聞かれることが多いです。
例えば、\(24\) の正の約数を考えてみましょう。
\(24\) を割り切れる数を小さいものから考えていくと、
\(24 \div \color{salmon}{1} = 24\)
\(24 \div \color{salmon}{2} = 12\)
\(24 \div \color{salmon}{3} = 8\)
\(24 \div \color{salmon}{4} = 6\)
\(24 \div \color{salmon}{6} = 4\)
\(24 \div \color{salmon}{8} = 3\)
\(24 \div \color{salmon}{12} = 2\)
\(24 \div \color{salmon}{24} = 1\)
となり、\(24\) の正の約数は \(\color{red}{1}\), \(\color{red}{2}\), \(\color{red}{3}\), \(\color{red}{4}\), \(\color{red}{6}\), \(\color{red}{8}\), \(\color{red}{12}\), \(\color{red}{24}\) であることがわかります。
約数の求め方
約数を求めるには、「約数のペアを調べていく方法」と、「素因数分解を利用して求める方法」の \(2\) 通りがあります。
同じ例題を用いて、それぞれ説明していきます。
【求め方①】約数のペアを調べる
ある数 \(N\) が割り切れるとき、そのときの除数（割る数）も商（答え）も \(N\) の約数となります。
この性質を利用して、約数のペア（小さい約数と大きい約数）を \(1\) から順に調べます。
まずは小さい約数を左に書き出し、その約数で割り切れたときの商（大きい約数）を右に書き出します。
\(24 \div \color{orange}{\bf{1}} = \color{skyblue}{\bf{24}}\)
\(\color{orange}{\bf{1}}\), , \(\color{skyblue}{\bf{24}}\)
この作業を、すでに書き出した約数が出てくるまで続けます。
\(24 \div \color{orange}{\bf{2}} = \color{skyblue}{\bf{12}}\)
\(1\), \(\color{orange}{\bf{2}}\), , \(\color{skyblue}{\bf{12}}\), \(24\)
\(24 \div \color{orange}{\bf{3}} = \color{skyblue}{\bf{8}}\)
\(1\), \(2\), \(\color{orange}{\bf{3}}\), , \(\color{skyblue}{\bf{8}}\), \(12\), \(24\)
\(24 \div \color{orange}{\bf{4}} = \color{skyblue}{\bf{6}}\)
\(1\), \(2\), \(3\), \(\color{orange}{\bf{4}}\), \(\color{skyblue}{\bf{6}}\), \(8\), \(12\), \(24\)
\(24 \div 5 =\) ×（割り切れない）
\(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(8\), \(12\), \(24\)
\(24 \div \color{orange}{\bf{6}} = \color{skyblue}{\bf{4}}\)
\(1\), \(2\), \(3\), \(\color{skyblue}{\bf{4}}\), \(\color{orange}{\bf{6}}\), \(8\), \(12\), \(24\)
\(6\) はすでに出てきたので、ここで終わりです。
よって、\(24\) の正の約数は \(\color{red}{1}\), \(\color{red}{2}\), \(\color{red}{3}\), \(\color{red}{4}\), \(\color{red}{6}\), \(\color{red}{8}\), \(\color{red}{12}\), \(\color{red}{24}\) と求められます。
【求め方②】素因数分解を利用する
続いて、素因数分解を利用して約数を求める方法です。
まずは、\(24\) を素因数分解します。
\(24 = 2^3 \times 3\)
素因数分解した結果から、\(24\) は「\(2\)」を \(3\) 個、「\(3\)」を \(1\) 個含んでいる数であるとわかりました。
つまり、\(24\) の約数はこれらの数の組み合わせでできています。
したがって、「\(2\)」と「\(3\)」の個数の組み合わせをすべて洗い出せれば、自ずと \(24\) の約数をすべて見つけられます。
したがって、\(24\) の正の約数は \(\color{red}{1}\), \(\color{red}{2}\), \(\color{red}{3}\), \(\color{red}{4}\), \(\color{red}{6}\), \(\color{red}{8}\), \(\color{red}{12}\), \(\color{red}{24}\) と求められます。
「\(2\) を \(0\) 個使う（= \(1\) 個も使わない）」「\(3\) を \(0\) 個使う（= \(1\) 個も使わない）」というのも立派な個数の組み合わせなので、見落とさないように注意しましょう！
一見めんどくさく思えますが、すべての約数を確実に求めることができます。
特に、大きな数の約数を求めるときにとても便利なので、素因数分解による求め方は必ずマスターしておきましょう！
約数の個数の公式
個々の約数は \(1\) つずつ求めるしかないのですが、約数の個数は素因数分解を利用して簡単に調べられます。
自然数 \(N\) が \(N = p^a \times q^b \times \cdots \times r^c\) と素因数分解できるとき、
\(\color{red}{(N \ \text{の正の約数の個数})}\) \(\color{red}{= (a + 1)(b + 1) \cdots (c + 1)}\)
個数の公式の意味
なんだか複雑な公式に見えますが、考え方はシンプルです。
先ほどの \(24\) を例に考えてみましょう。
約数を洗い出すとき、「\(24\) に含まれる素数 \(2\) と \(3\) を何個ずつ使うか」という考え方をしました。
\(24\) には \(2\) が \(3\) 個含まれるので、\(2\) を「\(0\) 個」「\(1\) 個」「\(2\) 個」「\(3\) 個」使うという \(4\) 通りの選択肢があります。
同様に、\(24\) には \(3\) が \(1\) 個含まれるので、\(3\) を「\(0\) 個」「\(1\) 個」使うという \(2\) 通りの選択肢があります。
それぞれをかけ合わせると、\(\color{red}{4 \times 2 = 8}\) 通りの選択肢があります。
これこそが、\(\bf{24}\) の約数の個数です。
公式に照らし合わせてみると、
\(24 = 2^\color{red}{3} \times 3^\color{red}{1}\)
と素因数分解できるので、正の約数の個数は
\((\color{red}{3} + 1) (\color{red}{1} + 1) = 4 \times 2 = \color{red}{8}\) 個
と表すことができます。
約数の総和の公式
約数の総和も、素因数分解を利用して求めることができます。
自然数 \(N\) が \(N = p^a \times q^b \times \cdots \times r^c\) と素因数分解できるとき、
\begin{align}(&N \ \text{の正の約数の総和}) \\&= (p^0 + p^1 + p^2 + … + p^a)(q^0 + q^1 + q^2 + … + q^b) \cdots (r^0 + r^1 + r^2 + … + r^c) \\&= (1 + p^1 + p^2 … + p^a)(1 + q^1 + q^2 + … + q^b) \cdots(1 + r^1 + r^2 + … + r^c)\end{align}
（見切れる場合は横へスクロール）
総和の公式の意味
一見意味がつかみづらいですが、実はこの公式を展開するとすべての約数の足し算（= 約数の総和そのもの）になるのです。
（例）\(24\) の約数の総和
\(24 = 2^\color{red}{3} \times 3^\color{red}{1}\) より、
\((24 \ \text{の正の約数の総和})\)
\(= (1 + 2^1 + 2^2 + 2^\color{red}{3}) (1 + 3^\color{red}{1})\)
\(= (1 + 2 + 4 + 8) (1 + 3)\)
\(= 15 \cdot 4\)
\(= \color{red}{60}\)
一方、総和の式を展開すると
\(= (1 + 2 + 4 + 8) (1 + 3)\)
\(= \underline{1} + \underline{2} + \underline{4} + \underline{8} + \underline{3} + \underline{6} + \underline{12} + \underline{24}\)
約数表（1 から 100 まで）
ここでは、\(1\) から \(100\) までの自然数の約数を一覧で紹介します。
丸暗記する必要はありませんが、見慣れておくと便利ですよ！
\(1\) とその数自身だけが約数である数を「素数」といい、表ではグレーの背景で表しています。
ただし、\(1\) は素数ではありません。
| 自然数 | 約数 |
|---|---|
| \(1\) | \(\, \, \, \)\(1\) |
| \(2\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\) |
| \(3\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\) |
| \(4\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\) |
| \(5\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(5\) |
| \(6\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(6\) |
| \(7\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(7\) |
| \(8\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(8\) |
| \(9\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(9\) |
| \(10\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(5\), \(10\) |
| \(11\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(11\) |
| \(12\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(12\) |
| \(13\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(13\) |
| \(14\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(7\), \(14\) |
| \(15\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(5\), \(15\) |
| \(16\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(8\), \(16\) |
| \(17\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(17\) |
| \(18\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(6\), \(9\), \(18\) |
| \(19\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(19\) |
| \(20\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(5\), \(10\), \(20\) |
| \(21\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(7\), \(21\) |
| \(22\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(11\), \(22\) |
| \(23\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(23\) |
| \(24\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(8\), \(12\), \(24\) |
| \(25\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(5\), \(25\) |
| \(26\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(13\), \(26\) |
| \(27\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(9\), \(27\) |
| \(28\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(7\), \(14\), \(28\) |
| \(29\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(29\) |
| \(30\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(5\), \(6\), \(10\), \(15\), \(30\) |
| \(31\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(31\) |
| \(32\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(8\), \(16\), \(32\) |
| \(33\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(11\), \(33\) |
| \(34\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(17\), \(34\) |
| \(35\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(5\), \(7\), \(35\) |
| \(36\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(9\), \(12\), \(18\), \(36\) |
| \(37\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(37\) |
| \(38\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(19\), \(38\) |
| \(39\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(13\), \(39\) |
| \(40\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(5\), \(8\), \(10\), \(20\), \(40\) |
| \(41\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(41\) |
| \(42\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(6\), \(7\), \(14\), \(21\), \(42\) |
| \(43\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(43\) |
| \(44\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(11\), \(22\), \(44\) |
| \(45\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(5\), \(9\), \(15\), \(45\) |
| \(46\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(23\), \(46\) |
| \(47\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(47\) |
| \(48\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(8\), \(12\), \(16\), \(24\), \(48\) |
| \(49\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(7\), \(49\) |
| \(50\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(5\), \(10\), \(25\), \(50\) |
| \(51\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(17\), \(51\) |
| \(52\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(13\), \(26\), \(52\) |
| \(53\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(53\) |
| \(54\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(6\), \(9\), \(18\), \(27\), \(54\) |
| \(55\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(5\), \(11\), \(55\) |
| \(56\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(7\), \(8\), \(14\), \(28\), \(56\) |
| \(57\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(19\), \(57\) |
| \(58\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(29\), \(58\) |
| \(59\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(59\) |
| \(60\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(10\), \(12\), \(15\), \(20\), \(30\), \(60\) |
| \(61\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(61\) |
| \(62\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(31\), \(62\) |
| \(63\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(7\), \(9\), \(21\), \(63\) |
| \(64\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(8\), \(16\), \(32\), \(64\) |
| \(65\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(5\), \(13\), \(65\) |
| \(66\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(6\), \(11\), \(22\), \(33\), \(66\) |
| \(67\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(67\) |
| \(68\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(17\), \(34\), \(68\) |
| \(69\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(23\), \(69\) |
| \(70\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(5\), \(7\), \(10\), \(14\), \(35\), \(70\) |
| \(71\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(71\) |
| \(72\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(8\), \(9\), \(12\), \(18\), \(24\), \(36\), \(72\) |
| \(73\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(73\) |
| \(74\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(37\), \(74\) |
| \(75\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(5\), \(15\), \(25\), \(75\) |
| \(76\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(19\), \(38\), \(76\) |
| \(77\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(7\), \(11\), \(77\) |
| \(78\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(6\), \(13\), \(26\), \(39\), \(78\) |
| \(79\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(79\) |
| \(80\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(5\), \(8\), \(10\), \(16\), \(20\), \(40\), \(80\) |
| \(81\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(9\), \(27\), \(81\) |
| \(82\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(41\), \(82\) |
| \(83\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(83\) |
| \(84\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(14\), \(21\), \(28\), \(42\), \(84\) |
| \(85\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(5\), \(17\), \(85\) |
| \(86\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(43\), \(86\) |
| \(87\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(29\), \(87\) |
| \(88\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(8\), \(11\), \(22\), \(44\), \(88\) |
| \(89\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(89\) |
| \(90\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(5\), \(6\), \(9\), \(10\), \(15\), \(18\), \(30\), \(45\), \(90\) |
| \(91\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(7\), \(13\), \(91\) |
| \(92\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(23\), \(46\), \(92\) |
| \(93\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(31\), \(93\) |
| \(94\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(47\), \(94\) |
| \(95\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(5\), \(19\), \(95\) |
| \(96\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(8\), \(12\), \(16\), \(24\), \(32\), \(48\), \(96\) |
| \(97\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(97\) |
| \(98\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(7\), \(14\), \(49\), \(98\) |
| \(99\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(3\), \(9\), \(11\), \(33\), \(99\) |
| \(100\) | \(\, \, \, \)\(1\), \(2\), \(4\), \(5\), \(10\), \(20\), \(25\), \(50\), \(100\) |
約数の計算問題
それでは、さっそく約数を求める練習をしてみましょう！
計算問題「72 の正の約数」
すべての正の約数を求める問題です。
ここでは、素因数分解を利用して解く方法を解説します。
\(72\) を素因数分解すると、
\(72 = 2^3 \cdot 3^2\)
つまり、\(72\) の約数は、\(2\) を \(0\) 〜 \(3\) 個、\(3\) を \(0\) 〜 \(2\) 個含む。
\(72\) の約数となる \(2\) と \(3\) の個数の組み合わせは次のとおり。
\((2\) の個数, \(3\) の個数\()\)
\(\begin{align}= &\ (0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), \\&\ (0, 1), (1, 1), (2, 1), (3, 1), \\&\ (0, 2), (1, 2), (2, 2), (3, 2)\end{align}\)
したがって、\(72\) の約数は
\(2^0 \cdot 3^0 = 1\)、 \(2^1 \cdot 3^0 = 2\)、
\(2^2 \cdot 3^0 = 4\)、 \(2^3 \cdot 3^0 = 8\)、
\(2^0 \cdot 3^1 = 3\)、 \(2^1 \cdot 3^1 = 6\)、
\(2^2 \cdot 3^1 = 12\)、 \(2^3 \cdot 3^1 = 24\)、
\(2^0 \cdot 3^2 = 9\)、 \(2^1 \cdot 3^2 = 18\)、
\(2^2 \cdot 3^2 = 36\)、 \(2^3 \cdot 3^2 = 72\)
答え： \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9 ,12, 18, 24, 36, 72\)
約数の応用問題
最後に、約数の個数・総和の公式を利用する問題を解いてみましょう。
応用問題「7425 の正の約数の個数と総和」
約数の個数と総和を求める典型問題です。
元の数が \(2\) 桁程度ならまだしも、\(3\) 桁、\(4\) 桁となると、すべての約数を地道に洗い出すと日が暮れてしまいます…！
さっそく、先ほどの公式を使って解いてみましょう。
\(7425\) を素因数分解すると、
\(7425 = 3^3 \cdot 5^2 \cdot 11^1\) より
\(7425\) の正の約数の個数は、
\((3 + 1) (2 + 1) (1 + 1)\)
\(= 4 \cdot 3 \cdot 2\)
\(= 24\) 個
約数の総和は、
\((1 + 3^1 + 3^2 + 3^3) (1 + 5^1 + 5^2) (1 + 11^1)\)
\(= (1 + 3 + 9 + 27) (1 + 5 + 25) (1 + 11)\)
\(= 40 \cdot 31 \cdot 12\)
\(= 14,880\)
答え：
正の約数の個数 \(24\) 個
約数の総和 \(14,880\)
以上で応用問題も終わりです！
約数の考え方を利用した問題は大学入試で出てくることもあるので、しっかりと理解しておきましょう。