球とは?体積・表面積の公式や求め方、証明(積分)と計算問題

この記事では、「球」の公式(体積・表面積)や求め方をできるだけわかりやすく解説していきます。

また、なぜ公式が成り立つかも証明していきます。この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

球とは?

球とは、空間において、ある定点(中心)から等距離にある点の集まりのことを言います。立体図形のひとつで、ボールのようにどの角度から見ても円に見える立体です。

 

球の体積の公式

球の体積を求める公式は次のとおりです。

球の体積の公式

半径 \(r\) の球の体積を \(V\) とすると、

\begin{align}\displaystyle \color{red}{V =\frac{4}{3} \pi r^3}\end{align}

体積は \(r\)(半径)を \(3\) 回かけるのがポイントです。

Tips

球の体積の公式には以下の有名な語呂合わせがあります。

身 (\(3\)) の上に心 (\(4\)) 配 (\(\pi\)) アール (\(r\)) の \(3\) 乗

公式を覚えるのが苦手な人は、語呂で覚えてもよいかもしれませんね。

 

球の体積の公式の証明

球の体積の公式は、積分の知識を使うと簡単に導けます。

興味のある方は、以下の証明に一度目を通してみてください!

証明

 

\(xy\) 平面上で、原点を中心とした半径 \(r\) の円の上半分を \(x\) 軸の回りに一回転させた立体が半径 \(r\) の球である。

半径 \(r\) の半円 \((x > 0)\)  は \(y = \sqrt{r^2 − x^2}\) であるから、

 

\(\begin{align} V &= \int_{−r}^r \pi (\sqrt{r^2 − x^2})^2 \ dx \\ &= 2\pi \int_0^r (r^2 − x^2) \ dx \\ &= 2\pi \left[r^2 x − \frac{x^3}{3} \right]_0^r \\ &= \frac{4}{3} \pi r^3 \end{align}\)

 

したがって、半径 \(r\) の球の体積 \(V\) は \(\displaystyle \frac{4}{3} \pi r^3\)

 

(証明終わり)

補足

「積分」については以下の記事で説明しています。

積分とは?公式や積分計算のやり方、積分定数の意味

 

球の体積の求め方

それでは次の例題で、球の体積を求める練習をしましょう。

例題

次の球の体積を求めよ。

 

まず最初に、体積の公式を余白にでも書き出しておきましょう。

\(\displaystyle V = \frac{4}{3} \pi r^3\)

体積を求めるために必要な値は \(r\)(半径)だけですね。

問題の図を見ると、\(r = 6\) とわかります。

あとは、この値を球の体積の公式に当てはめればOKです。

\(\begin{align} V &= \frac{4}{3} \pi \cdot 6^3 \\ &= \frac{4}{3} \pi \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \\ &= 4\pi \cdot 2 \cdot 6 \cdot 6 \\ &= \color{red}{288\pi} \end{align}\)

Tips

ここで計算の小技です。

今回の問題のように計算の途中で分数と乗数が混じって出てきた場合は、おもむろに \(6^3 = 216\) と計算をせず、\(6 \cdot 6 \cdot 6\) として計算式に残しておきましょう。そうすると他の数と約分でき、計算がぐんとしやすくなりますよ!

 

球の表面積の公式

次に、球の表面積を求める公式を確認しましょう。

球の表面積の公式

半径 \(r\) の球の表面積を \(S\) とすると、

\begin{align}\color{red}{S = 4\pi r^2}\end{align}

表面積は \(r\)(半径)を \(2\) 回かけるのがポイントです。

Tips

球の表面積の公式にも以下の有名な語呂合わせがあります。

心 (\(4\)) 配 (\(\pi\)) アール (\(r\)) の \(2\) 乗

 

球の表面積の公式の証明

球の表面積の公式は、先ほどの体積の公式から導けます。

興味のある方は、以下の証明に一度目を通してみてください!

証明

 

半径 \(t\) の球の表面積を \(S(t)\) と書く。

 

三次元空間において、原点からの距離が \(t\) 以上 \(t + \Delta t\) 以下の間にある部分(球殻)を考える。

 

\(\Delta t\) が十分小さいとき、この球殻の体積は

\((\text{表面積}) \times (\text{厚さ}) = S(t) \, \Delta t\)

とみなせる。

 

このような球殻を \(t = 0\) から \(t = r\) まで足し合わせたものが半径 \(r\) の球であり、体積は \(\displaystyle \frac{4}{3} \pi r^3\) である。

 

よって、\(\Delta t\) を限りなく \(0\) に近づけると、球殻の体積について以下の式が成り立つ。

\(\displaystyle \int_0^r S(t) \, dt = \frac{4}{3} \pi r^3\)

 

上記式において、両辺を \(r\) で微分すると

\(S(r) = 4\pi r^2\)

が成り立つ。

 

したがって、半径 \(r\) の球の表面積は \(4\pi r^2\) である。

 

(証明終わり)

 

球の表面積の求め方

表面積の求め方も例題を通して練習しておきましょう。

例題

次の球の表面積を求めよ。

 

まず最初に、先ほどの体積の問題と同じく、表面積の公式を余白に書き出しておきます。

\(S = 4\pi r^2\)

表面積を求めるために必要な値は \(r\)(半径)だけですね。

\(r = 4\) を球の表面積の公式に当てはめます。

\(\begin{align} S &= 4\pi \cdot 4^2 \\ &= 4\pi \cdot 4 \cdot 4 \\ &= 4\pi \cdot 16 \\ &= \color{red}{64\pi} \end{align}\)

 

球の計算問題

最後に、球の計算問題に挑戦してみましょう。

計算問題①「半径から体積と表面積を求める」

計算問題①

半径 \(\displaystyle \frac{7}{2} \ \mathrm{cm}\) の球の体積と表面積を求めなさい。

 

球の体積と表面積を求める基本問題です。

体積と表面積の公式を書き出し、\(r\)(半径)の値を当てはめて計算しましょう。

解答

 

球の体積 \(\displaystyle V = \frac{4}{3} \pi r^3\)

 

\(\displaystyle r = \frac{7}{2} \, (\mathrm{cm})\) より

\(\begin{align} V &= \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2} \\ &= \frac{1}{3} \pi \cdot 7 \cdot 7 \cdot \frac{7}{2} \\ &= \frac{343}{6} \pi \, (\mathrm{cm^3})\end{align}\)

 

 

球の表面積 \(S = 4\pi r^2\)

 

\(\displaystyle r = \frac{7}{2} \, (\mathrm{cm})\) より

\(\begin{align} S &= 4\pi \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2} \\ &= \pi \cdot 7 \cdot 7 \\ &= 49\pi \, (\mathrm{cm^2})\end{align}\)

 

答え:

体積 \(\displaystyle \frac{343}{6} \pi \, \mathrm{cm^3}\)、表面積 \(49\pi \, \mathrm{cm^2}\)

 

計算問題②「円柱状の水槽に鉄球を入れる」

計算問題②

底面の半径 \(4\ \mathrm{cm}\)、高さ \(10\ \mathrm{cm}\) の円柱状の水槽の高さ \(8\ \mathrm{cm}\) まで水が入っている。この水槽に半径 \(3\ \mathrm{cm}\) の鉄球を入れたとき、水槽からあふれる水の量を求めよ。

 

一見複雑に思えますが、焦らず問題文の中からわかることをどんどん見つけていきましょう。

解答

 

鉄球の体積を \(V_1\) とすると、

\(\begin{align} V_1 &= \frac{4}{3} \pi \cdot 3^3 \\ &= \frac{4}{3} \pi \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \\ &= 4\pi \cdot 3 \cdot 3 \\ &= 36\pi \ (\mathrm{cm}^3) \text{ …①}\end{align}\)

 

次に、水槽の水が入っていない空間の体積を \(V_2\) とすると、

\(\begin{align} V_2 &= 4^2 \cdot \pi \cdot 2 \\ &= 32\pi \ (\mathrm{cm}^3) \text{ …②}\end{align}\)

 

鉄球を入れて水が「あふれる」ということは、鉄球の体積 \(V_1\) の方が水の入っていない空間の体積 \(V_2\) よりも大きかった、ということになる。

よって、あふれる水の量 \(V_3\) は

(鉄球の体積 \(V_1\)) − (水がない空間の体積 \(V_2\) )

で求められる。

 

①、②より、

\(\begin{align} V_3 &= V_1 − V_2 \\ &= 36\pi − 32\pi \\ &= 4\pi \ (\mathrm{cm}^3)\end{align}\)

 

答え: \(4\pi \, \mathrm{cm^3}\)

以上で問題も終わりです!

 

立体図形はできるだけシンプルに考えることが大切です。

まずは公式を正確に覚えることから。それだけで解ける問題がたくさんありますよ!

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です