メネラウスの定理とは?証明や覚え方、問題の解き方

この記事では、「メネラウスの定理」の意味や証明方法、覚え方を紹介していきます。

チェバの定理との違いや問題の解き方もわかりやすく解説していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

メネラウスの定理とは?

メネラウスの定理とは、三角形とその頂点を通らずに交わる \(\bf{1}\) つの直線において成り立つ定理です。

メネラウスの定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) のそれぞれの辺、またはそれらの延長が、三角形の頂点を通らない直線 \(\mathrm{L}\) とそれぞれ \(\mathrm{P}\)、\(\mathrm{R}\)、\(\mathrm{Q}\) で交わるとする。

このとき、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}} = 1}\end{align}

が成り立つ。

 

 

チェバの定理との違い

メネラウスの定理と間違えやすいのが、チェバの定理です。

なんと、式はメネラウスの定理とまったく同じですね。

ただし、図における辺の配置がメネラウスの定理とは微妙に異なります。

 

メネラウスの定理では、三角形と直線を意識するのが重要です。

\begin{align}\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}} = 1\end{align}

三角形とそれを貫く直線 = メネラウスの定理!」と頭に入れておきましょう。

補足

なお、「チェバの定理」についてはこちらの記事で解説しています。

チェバの定理とは?証明や覚え方、メネラウスの定理との違い

 

メネラウスの定理の覚え方

メネラウスの定理の覚え方について説明します。

まず、三角形の頂点を 〇、直線上の点を ● とおき、どこでもいいのでスタート地点を決めます。

そして、どちら回りでもいいので、〇 → ● → 〇 → ● と交互順番に辿って \(1\) 周します。

Tips

このとき、注目するのは \(1\) つの三角形と \(1\) 本の直線です。三角形の \(1\) 辺の延長線と直線との交点(上記では点 \(\mathrm{Q}\))は直線上の点 (●) であることに注意しましょう。

 

そして、通った辺の長さを順番に以下の式に当てはめます。

\(\color{red}{\displaystyle \frac{\text{①}}{\text{②}} \cdot \frac{\text{③}}{\text{④}} \cdot \frac{\text{⑤}}{\text{⑥}} = 1}\)

 

すなわち

\(\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}} = 1\)

これでメネラウスの定理の完成です!

 

メネラウスの定理の証明

ここでは、メネラウスの定理の証明を示します。

メネラウスの定理の証明

以下の \(\triangle \mathrm{ABC}\) と直線 \(\mathrm{L}\) において、

\begin{align}\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}} = 1\end{align}

が成り立つことを証明せよ。

 

直線 \(\mathrm{L}\) に平行な直線を引き、三角形の相似比から目的の比を導きます。

証明

 

点 \(\mathrm{C}\) を通り、直線 \(\mathrm{L}\) に平行な直線を引き、直線 \(\mathrm{AB}\) との交点を \(\mathrm{D}\) とする。

 

\(\mathrm{QP} \, // \, \mathrm{CD}\)、\(\mathrm{PR} \, // \, \mathrm{CD}\) より、

\(\mathrm{BQ} : \mathrm{QC} = \mathrm{BP} : \mathrm{PD}\)

つまり、

\(\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} = \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PD}}\) …①

 

\(\mathrm{CR} : \mathrm{RA} = \mathrm{DP} : \mathrm{AP}\)

つまり、

\(\displaystyle \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}} = \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{AP}}\) …②

 

よって、①、②より

\(\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}} \) \(= \displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PD}} \cdot \frac{\mathrm{DP}}{\mathrm{AP}} \) \(= 1\)

となり、メネラウスの定理が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

メネラウスの定理の逆

メネラウスの定理は、その逆も成り立ちます。

メネラウスの定理の逆

\(\triangle \mathrm{ABC}\) のそれぞれの辺、またはそれらの延長上に、点 \(\mathrm{P}\)、\(\mathrm{R}\)、\(\mathrm{Q}\) があり、そのうちの \(1\) つ、または \(3\) つが辺の延長上にあるとする。

このとき、

\begin{align}\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}} = 1\end{align}

が成り立つならば、点 \(\mathrm{P}\)、\(\mathrm{R}\)、\(\mathrm{Q}\) は \(1\) つの直線上にある。

この定理は、\(3\) 点が \(1\) 直線上に並ぶこと(共線であること)を証明するときによく用いられます。

補足

このときできる図形には、次の \(2\) パターンが考えられます。

なお、メネラウスの定理の逆もメネラウスの定理を使って簡単に証明できるので、興味のある方はやってみてください!

 

メネラウスの定理の練習問題

それでは、最後にメネラウスの定理の練習問題に挑戦してみましょう。

練習問題①「メネラウスとチェバの使い分け」

練習問題①

次の図において、 以下の値を求めなさい。

(1) \(\mathrm{CR} : \mathrm{RA}\)

(2) \(\mathrm{BQ} : \mathrm{QC}\)

 

一見すると「チェバの定理」を使う図形に見えますが、実は見方を変えるとメネラウスの定理も適用できます。

どちらの定理を使うのか、わかっている値と図をよく見て考えましょう。

解答

 

(1)

\(\triangle \mathrm{ACP}\) と直線 \(\mathrm{BR}\) において、メネラウスの定理より

\(\displaystyle \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}} \cdot \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BP}} \cdot \frac{\mathrm{PO}}{\mathrm{OC}} = 1\)

 

\(\displaystyle \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}} \cdot \frac{11}{5} \cdot \frac{2}{3} = 1\)

 

\(\displaystyle \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}} = \frac{15}{22}\)

 

 

答え: \(15 : 22\)

 

 

(2)

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、チェバの定理より

\(\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}} = 1\)

 

\(\displaystyle \frac{6}{5} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{15}{22} = 1\)

 

\(\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} = \frac{11}{9}\)

 

答え: \(11 : 9\)

 

練習問題②「辺の比を求める」

練習問題②

次の図において、\(\mathrm{BO} : \mathrm{OQ}\) を求めなさい。

 

複雑な形に見えますが、三角形と \(1\) つの直線の関係を見つければ、メネラウスの定理が使えます。

解答

 

\(\triangle \mathrm{ABQ}\) と直線 \(\mathrm{CR}\) において、メネラウスの定理より

\(\displaystyle \frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} \cdot \frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OQ}} \cdot \frac{\mathrm{QC}}{\mathrm{CA}} = 1\)

 

\(\displaystyle \frac{6}{2} \cdot \frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OQ}} \cdot \frac{2}{3} = 1\)

 

\(\displaystyle \frac{\mathrm{BO}}{\mathrm{OQ}} = \frac{1}{2}\)

 

答え: \(1 : 2\)

以上で練習問題も終わりです!

 

メネラウスの定理は、とにかく図とともにしっかりと目で見て覚えることが大切です。

チェバの定理との違いも押さえて、しっかりとマスターしておきましょう!

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