接弦定理とは?証明や定理の逆、問題の解き方

この記事では、「接弦定理」とは何かをわかりやすく紹介していきます。

定理の証明や問題の解き方も説明していきますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

接弦定理とは?

接弦定理とは、円に三角形が内接し、その頂点のどれか \(\bf{1}\) 点を通る円の接線があるときに、それらの角度に関して成り立つ定理です。

接弦定理

円に \(\triangle \mathrm{ABC}\) が内接し、接点 \(\mathrm{A}\) で円が直線 \(\mathrm{AT}\) と接するとき、

\begin{align}\color{red}{\angle \mathrm{TAB} = \angle \mathrm{ACB}}\end{align}

が成り立つ。

 

つまり、接線 \(\mathrm{AT}\) と弦 \(\mathrm{AB}\) が作る \(\angle \mathrm{TAB}\) は、弧 \(\mathrm{AB}\) に対する円周角 \(\angle \mathrm{ACB}\) と等しくなります。

頂点の記号がいつも同じとは限らないので、記号で丸暗記するのではなく、図の位置関係で接弦定理を理解しておきましょう!

 

接弦定理の証明

ここでは、接弦定理がなぜ成り立つのかを実際に示してみましょう。

接弦定理の証明

円に \(\triangle \mathrm{ABC}\) が内接し、接点 \(\mathrm{A}\) で円が直線 \(\mathrm{AT}\) と接するとき、接弦定理

\begin{align}\angle \mathrm{TAB} = \angle \mathrm{ACB}\end{align}

を証明せよ。

 

接線と弦が作る角が、鋭角直角鈍角になる場合の \(3\) 通りに分けてそれぞれ証明していきます。

証明

 

(i) \(\angle \mathrm{TAB}\) が鋭角の場合 \((\angle \mathrm{TAB} < 90^\circ)\)

線分 \(\mathrm{AD}\) が円の直径となるように点 \(\mathrm{D}\) をとる。

図において、円周角の定理より

\(\angle \mathrm{ACB} = \angle \mathrm{ADB}\) …①

 

直径に対する円周角であるから

\(\angle \mathrm{ABD} = 90^\circ\)

三角形の内角の和は \(180^\circ\) なので

\(\angle \mathrm{ADB} = 90^\circ − \angle \mathrm{BAD}\) …②

 

また、\(\mathrm{AT}\) は円の接線であるから

\(\mathrm{AD}\) と垂直に交わり、

\(\angle \mathrm{DAT} = 90^\circ\)

よって

\(\angle \mathrm{TAB} = 90^\circ − \angle \mathrm{BAD}\) …③

 

②、③より、

\(\angle \mathrm{ADB} = \angle \mathrm{TAB}\) …④

 

①、④より、

\(\angle \mathrm{TAB} = \angle \mathrm{ACB}\)

 

 

(ii) \(\angle \mathrm{TAB}\) が直角の場合 \((\angle \mathrm{TAB} = 90^\circ)\)

\(\angle \mathrm{TAB}\) が直角のとき、\(\mathrm{AB}\) は円の直径である。

 

直径に対する円周角であるから

\(\angle \mathrm{ACB} = 90^\circ\) …①

 

また、\(\mathrm{AT}\) は円の接線であるから、\(\mathrm{AB}\) と垂直に交わり、

\(\angle \mathrm{TAB} = 90^\circ\)…②

 

①、②より、

\(\angle \mathrm{TAB} = \angle \mathrm{ACB}\)

 

 

(iii) \(\angle \mathrm{TAB}\) が鈍角の場合  \((\angle \mathrm{TAB} > 90^\circ)\)

接線 \(\mathrm{AT}\) の \(\mathrm{T}\) の反対側に \(\mathrm{T’}\) をとり、線分 \(\mathrm{AD}\) が円の直径となるように点 \(\mathrm{D}\) をとる。

 

直径に対する円周角より、

\(\angle \mathrm{ABD} = 90^\circ\)

三角形の内角の和は \(180^\circ\) なので

\(\angle \mathrm{ADB} = 90^\circ − \angle \mathrm{BAD}\) …①

 

また、\(\mathrm{AT’}\) は円の接線であるから、

\(\angle \mathrm{DAT’} = 90^\circ\) なので、

\(\angle \mathrm{T’AB} = 90^\circ − \angle \mathrm{BAD}\) …②

 

①、②より、

\(\angle \mathrm{T’AB} = \angle \mathrm{ADB}\) …③

また、\(\angle \mathrm{TAB} = 180^\circ − \angle \mathrm{T’AB}\) …④

 

四角形 \(\mathrm{ABCD}\) は円に内接するので、

\(\angle \mathrm{ACB} = 180^\circ − \angle \mathrm{ADB}\) …⑤

 

③、④、⑤より、

\(\angle \mathrm{TAB} = \angle \mathrm{ACB}\)

 

(i) ~ (iii) より、\(\angle \mathrm{TAB}\) の大きさによらず、接弦定理は成り立つ。

 

(証明終わり)

接線と弦が作る角がどのような角度でも、接弦定理が成り立つということが証明できましたね!

たまに証明自体が出題されることもあるので、証明の流れを押さえておきましょう。

 

接弦定理の逆

接弦定理は、その逆も成り立ちます。

接弦定理の逆

点 \(\mathrm{C}\) と \(\mathrm{T}\) が直線 \(\mathrm{AB}\) に対して反対側にあり、\(\angle \mathrm{TAB} = \angle \mathrm{ACB}\) が成り立つならば、

直線 \(\mathrm{AT}\) は \(\triangle \mathrm{ABC}\) の外接円と接する。

 

登場頻度は高くありませんが、まれに証明問題などで利用することがあります。

 

接弦定理の逆の証明

接弦定理の逆は、接弦定理から簡単に導けます。

証明

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の外接円の点 \(\mathrm{A}\) における接線上に、\(\mathrm{AB}\) に関して \(\mathrm{C}\) と反対側に点 \(\mathrm{D}\) をとると、

接弦定理より \(\angle \mathrm{ACB} = \angle \mathrm{DAB}\)

また、仮定より \(\angle \mathrm{TAB} = \angle \mathrm{DAB}\)

\(\mathrm{T}\), \(\mathrm{D}\) は \(\mathrm{AB}\) に関して同じ側にあるので \(\mathrm{A}\), \(\mathrm{T}\), \(\mathrm{D}\) は一直線上にある。

つまり直線 \(\mathrm{AT}\) は円の接線である。

 

(証明終わり)

 

接弦定理の練習問題

それでは、接弦定理を利用した練習問題に挑戦してみましょう!

練習問題①「円に内接する三角形」

練習問題①

図において、円の弧 \(\mathrm{AB}\) が接線 \(\mathrm{ST}\) と接点 \(\mathrm{A}\) で接するとき、\(\angle \mathrm{CAB}\) を求めなさい。

 

接弦定理をそのまま用いたら解けるシンプルな問題です!

どの弧において接弦定理を使うか考えましょう。

解答

 

弧 \(\mathrm{AC}\) において、接弦定理より

\(\begin{align} \angle \mathrm{SAC} &= \angle \mathrm{ABC} \\ &= 80^\circ \end{align}\)

 

\(\begin{align} \angle \mathrm{CAB} &= 180^\circ − (\angle \mathrm{SAC} + \angle \mathrm{TAB}) \\ &= 180^\circ − (80^\circ + 45^\circ) \\ &= 55^\circ \end{align}\)

 

答え: \(55^\circ\)

 

練習問題②「円に内接する四角形」

練習問題②

図において、円の弧 \(\mathrm{AB}\) が接線 \(\mathrm{BT}\) と接点 \(\mathrm{B}\) で交わるとき、\(\angle x\)、\(\angle y\) を求めなさい。

 

接弦定理を使うことで \(1\) つの値が求まります。

また、円に内接する四角形の性質を利用すると、もう \(1\) つの値も求められます。

解答

 

弧 \(\mathrm{AB}\) において、接弦定理より

\(\angle \mathrm{ACB} = \angle \mathrm{TBA}\) なので、

\(\angle x = 63^\circ\)

 

また、円に内接する四角形の性質より、

\(\angle \mathrm{ABC} + \angle \mathrm{ADC} = 180^\circ\) であるから、

\(\begin{align} \angle \mathrm{ABC} &= 180^\circ − 108^\circ \\ &= 72^\circ \end{align}\)

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、内角の和の性質より

\(\angle \mathrm{BAC} = 180^\circ − (\angle \mathrm{ABC} + \angle \mathrm{ACB})\)

よって、

\(\begin{align} \angle y &= 180^\circ − (72^\circ + 63^\circ) \\ &= 45^\circ \end{align}\)

 

答え: \(\angle x = 63^\circ\)、\(\angle y = 45^\circ\)

 

練習問題③「円と 2 接線」

練習問題③

図において、直線 \(\mathrm{PA}\)、\(\mathrm{PB}\) はそれぞれ点 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\) で円 \(\mathrm{O}\) と接する接線である。

このとき、\(\angle x\) を求めなさい。

 

一見接弦定理が使えるのか悩む図形ですね。

接線と弦が作る角が関係する問題なので、この問題にも接弦定理が利用できます。

上手く補助線を引いてみましょう。

解答

 

補助線 \(\mathrm{AB}\) を引く。

 

接線 \(\mathrm{PA}\) において、弧 \(\mathrm{AB}\) における接弦定理より、

\(\angle \mathrm{PAB} = \angle \mathrm{ACB} = \angle x\) …①

 

接線 \(\mathrm{PB}\) において、弧 \(\mathrm{AB}\) における接弦定理より、

\(\angle \mathrm{PBA} = \angle \mathrm{ACB} = \angle x\) …②

 

①、②より、

\(\angle \mathrm{PAB} = \angle \mathrm{PBA} = \angle x\)

 

\(\triangle \mathrm{PAB}\) において、内角の和の性質より、

\(\begin{align} \angle x &= \frac{180^\circ − \angle \mathrm{APB}}{2}\\ &= \frac{180^\circ − 80^\circ}{2} \\ &= \frac{100^\circ}{2}\\ &= 50^\circ \end{align}\)

 

答え: \(50^\circ\)

以上で練習問題も終わりです!

 

接弦定理、しっかりと覚えることができましたか?

どの角度とどの角度が等しいのか、忘れがちな公式です。図の位置関係で理解しておきましょう!

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