円周角の定理とは？定理の逆や証明をわかりやすく解説！

 

弧 \(\mathrm{AB}\) に対する円周角を \(\angle \mathrm{APB}\)、中心角を \(\angle \mathrm{AOB}\) とする。

 

(i) 円周角 \(\angle \mathrm{APB}\) の内側に円の中心 \(\mathrm{O}\) がある場合

直線 \(\mathrm{PO}\) が円周と交わる点を \(\mathrm{C}\) とする。

弧 \(\mathrm{AC}\) に対する円周角を \(a\)、弧 \(\mathrm{CB}\) に対する円周角を \(b\) とする。

\(\triangle \mathrm{APO}\) と \(\triangle \mathrm{BPO}\) は円の半径を \(2\) 辺とする二等辺三角形であるから、

\(\angle \mathrm{APO} = \angle \mathrm{OAP} = a\)

\(\angle \mathrm{BPO} = \angle \mathrm{OBP} = b\)

 

三角形の外角の和から

\(\angle \mathrm{AOC} = \angle \mathrm{APO} + \angle \mathrm{OAP} = 2a\)

\(\angle \mathrm{BOC} = \angle \mathrm{BPO} + \angle \mathrm{OBP} = 2b\)

 

\(\begin{align} \angle \mathrm{AOB} &= \angle \mathrm{AOC} + \angle \mathrm{BOC} \\ &= 2(a + b) \\ &= 2(\angle \mathrm{APO} + \angle \mathrm{BPO}) \\ &= 2 \angle \mathrm{APB} \end{align}\)

 

したがって、弧 \(\mathrm{AB}\) に対する円周角 \(\angle \mathrm{APB}\) は、その弧に対する中心角 \(\angle \mathrm{AOB}\) の半分である。

 

 

(ii) 円周角 \(\angle \mathrm{APB}\) を作る線分 \(\mathrm{PB}\) 上に円の中心 \(\mathrm{O}\) がある場合

\(\angle \mathrm{APB} = x\) とおく。

\(\mathrm{OA}\), \(\mathrm{OP}\) はともに円の半径であるから、

\(\triangle \mathrm{OAP}\) は \(\mathrm{OA} = \mathrm{OP}\) の二等辺三角形であり、

\(\angle \mathrm{OPA} = \angle \mathrm{OAP} = x\)

 

\(\triangle \mathrm{OAP}\) について、三角形の外角の和の性質から

\(\begin{align} \angle \mathrm{AOB} &= \angle \mathrm{OPA} + \angle \mathrm{OAP} \\ &= 2x \\ &= 2 \angle \mathrm{APB} \end{align}\)

 

したがって、弧 \(\mathrm{AB}\) に対する円周角 \(\angle \mathrm{APB}\) は、その弧に対する中心角 \(\angle \mathrm{AOB}\) の半分である。

 

 

(iii) 円周角 \(\angle \mathrm{APB}\) の外側に円の中心 \(\mathrm{O}\) がある場合

 

直線 \(\mathrm{PO}\) が円周と交わる点を \(\mathrm{C}\) とする。

弧 \(\mathrm{AC}\) に対する円周角を \(a\)、弧 \(\mathrm{CB}\) に対する円周角を \(b\) とする。

\(\triangle \mathrm{APO}\) と \(\triangle \mathrm{BPO}\) は円の半径を \(2\) 辺とする二等辺三角形であるから、

\(\angle \mathrm{APO} = \angle \mathrm{OAP} = a\)

\(\angle \mathrm{BPO} = \angle \mathrm{OBP} = b\)

 

三角形の外角の和から

\(\angle \mathrm{AOC} = \angle \mathrm{APO} + \angle \mathrm{OAP} = 2a\)

\(\angle \mathrm{BOC} = \angle \mathrm{BPO} + \angle \mathrm{OBP} = 2b\)

 

\(\begin{align} \angle \mathrm{AOB} &= \angle \mathrm{AOC} − \angle \mathrm{BOC} \\& = 2(a − b) \\ &= 2(\angle \mathrm{APO} − \angle \mathrm{BPO}) \\ &= 2 \angle \mathrm{APB} \end{align}\)

 

したがって、弧 \(\mathrm{AB}\) に対する円周角 \(\angle \mathrm{APB}\) は、その弧に対する中心角 \(\angle \mathrm{AOB}\) の半分である。

 

以上より、すべての場合において \(1\) つの弧に対する円周角はその弧に対する円周角の半分に等しい。

また、\(1\) つの弧に対する中心角は \(1\) つしか存在しないため、円周角がその頂点によらず常に中心角の半分であることが示されたことから、\(1\) つの弧に対する円周角は一定である。

 

（証明終わり）

 

\(3\) 点 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{P}\) が同一円周上にあるとする。

 

(i)  \(3\) 点 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{P}\) と同じ円周上に点 \(\mathrm{Q}\) がある場合

 

円周角の定理から、

\(\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{AQB}\)

が成り立つ。

 

 

(ii) 点 \(\mathrm{Q}\) が \(3\) 点 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{P}\) が通る円周よりも内側にある場合

このとき、直線 \(\mathrm{AQ}\) と円との交点を \(\mathrm{Q’}\) とすると、

\(\angle \mathrm{AQ’B} = \angle \mathrm{APB} = a\)

 

ここで、\(\angle \mathrm{QBQ’} =  b\) とおくと、三角形の外角の性質から

\(\angle \mathrm{AQB} = a + b\)

よって、点 \(\mathrm{Q}\) が 円の内側にあるときは、常に

\(\angle \mathrm{APB} < \angle \mathrm{AQB}\)

となる。

 

 

(iii) 点 \(\mathrm{Q}\) が \(3\) 点 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{P}\) が通る円周よりも外側にある場合

直線 \(\mathrm{AQ}\) と円との交点を \(\mathrm{Q’}\) とすると

\(\angle \mathrm{AQ’B} = \angle \mathrm{APB} = a\)

三角形の外角の性質から、

\(\angle \mathrm{QBQ’} = b\) とおくと

\(\angle \mathrm{AQB} = a − b\)

よって、点 \(\mathrm{Q}\) が円の外側にあるときは、常に

\(\angle \mathrm{APB} > \angle \mathrm{AQB}\)

となる。

 

したがって、\(\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{AQB}\) が成り立つのは、点 \(\mathrm{Q}\) が \(3\) 点 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{P}\) と同じ円周上にあるときだけである。

 

（証明終わり）

 

円周角の定理より、

\(\angle \mathrm{APB} = \angle \mathrm{AQB} = 50^\circ\)

 

\(\triangle \mathrm{BQR}\) において、内角の和の性質から

\(\begin{align} \angle x &= 180^\circ − (\angle \mathrm{RQB} + \angle \mathrm{BRQ}) \\ &= 180^\circ − (\angle \mathrm{AQB} + \angle \mathrm{BRQ}) \\ &= 180^\circ − (50^\circ + 82^\circ) \\ &= 48^\circ \end{align}\)

 

答え：　\(\color{red}{48^\circ}\)

 

円周角の定理より、

\(\begin{align} \angle \mathrm{APB} &= \frac{1}{2} \angle \mathrm{AOB} \\ &= \frac{1}{2} \times 52^\circ \\ &= 26^\circ \end{align}\)

 

\(\triangle \mathrm{OBP}\) は、\(\mathrm{OB} = \mathrm{OP}\) の二等辺三角形であるから

\(\angle \mathrm{OBP} = \angle \mathrm{OPB}\)

 

よって

\(\begin{align} \angle x &= \angle \mathrm{OPB} \\ &= \angle \mathrm{APB} \\ &= 26^\circ \end{align}\)

 

答え：　\(\angle x = 26^\circ\)

 

円周角の定理より

\(\begin{align} \angle \mathrm{AEB} &= \angle \mathrm{ADB} \\ &= \angle \mathrm{ACB} \\ &= 35^\circ \end{align}\)

 

また、対頂角は等しいので

\(\angle \mathrm{EPA} = \angle \mathrm{DPB} = 100^\circ\)

 

ここで、\(\angle \mathrm{AEB} = \angle \mathrm{AEP}\)、三角形の内角の和は \(180^\circ\) なので

\(\triangle \mathrm{AEP}\) において

\(\begin{align} \angle \mathrm{EAP} &= 180^\circ − (\angle \mathrm{AEP} + \angle \mathrm{EPA}) \\ &= 180^\circ − (35^\circ + 100^\circ) \\ &= 45^\circ \end{align}\)

 

\(\angle \mathrm{EAP} = \angle \mathrm{EAD} = 45^\circ\)

 

円周角の定理より

\(\angle \mathrm{EAD} = \angle \mathrm{EBD} = 45^\circ\)

 

\(\angle \mathrm{EBD} = \angle \mathrm{QBR} = 45^\circ\) より、

\(\triangle \mathrm{BQR}\) において

\(\begin{align} \angle x &= 180^\circ − (\angle \mathrm{BQR} + \angle \mathrm{QBR}) \\ &= 180^\circ − (72^\circ + 45^\circ) \\ &= 63^\circ \end{align}\)

 

答え：　\(\angle x = 63^\circ\)

 

\(\mathrm{AB} \ // \ \mathrm{CD}\) より、錯角は等しいので

\(\angle \mathrm{ABD} = \angle \mathrm{CDB} = 25^\circ\) …①

 

また、\(\triangle \mathrm{CDE}\) は \(\mathrm{CE} = \mathrm{DE}\) の二等辺三角形であるから、

\(\angle \mathrm{ECD} = \angle \mathrm{EDC} = 25^\circ\)

である。

 

ここで、

\(\angle \mathrm{ACD} = \angle \mathrm{ECD} = 25^\circ\) …②

 

①、②より

\(\angle \mathrm{ACD} = \angle \mathrm{ABD} = 25^\circ\)

 

このことと、\(4\) 点 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{C}\)、\(\mathrm{D}\) について、点 \(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{C}\) は直線 \(\mathrm{AD}\) に対して同じ側にあることから、円周角の定理の逆が成り立つ。

したがって、\(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\)、\(\mathrm{C}\)、\(\mathrm{D}\) は \(1\) つの円周上に存在する。

 

（証明終わり）