図形を総まとめ!小学校〜高校で習う各種公式【重要記事一覧】

小学校から高校にかけて習うさまざまな図形に関する情報をまとめていきます。

公式・問題を解説した詳細記事へのリンクを載せていますので、ぜひ勉強の参考にしてくださいね!

 

平面図形の記事一覧

平面図形に関する記事をまとめました。

多角形

多角形に共通する性質や公式を説明しています。

多角形とは?外角・内角の和、面積、対角線の本数の公式と求め方

 

三角形

三角形の性質や面積の公式などを説明しています。

三角形とは?面積公式、角度・辺の長さ・重心・比の計算

 

特別な三角形

三角形の中でも、特徴的な性質をもつものについて説明しています。

正三角形とは?定義や面積公式、高さや角度の求め方 直角三角形とは?定義や定理、辺の長さの比、合同条件 二等辺三角形とは?定義や定理、角度・辺の長さ・面積の求め方 直角二等辺三角形とは?定義や辺の長さの比、面積の求め方

 

三角形の五心

三角形の五心(特徴的な \(5\) つの中心点)について説明しています。

五心(重心・内心・外心・垂心・傍心)とは?求め方や性質 三角形の五心(重心・内心・外心・垂心・傍心)の作図方法まとめ!

 

三角形の作図

いろいろな三角形の作図方法をまとめています。

正三角形・二等辺三角形・直角三角形の書き方(作図)まとめ!

 

四角形

特別な四角形

四角形の中でも、特徴的な性質をもつものについて説明しています。

台形とは?定義や公式(面積の求め方)、面積比の計算問題 平行四辺形とは?定義・条件・性質や面積の公式、証明問題 ひし形(菱形)とは?定義や面積の求め方(公式)、計算問題

 

四角形の作図

いろいろな四角形の作図方法をまとめています。

四角形(ひし形・平行四辺形・台形)の書き方(作図)まとめ!

 

円周率や円の面積、円周の長さを求める公式を説明しています。

円周率 π とは?求め方や100桁までの覚え方をご紹介!

 

扇形(おうぎ形)

扇形(おうぎ形)の性質や面積・弧の長さを求める公式を説明しています。

扇形とは?面積・中心角・半径・弧の長さの公式と求め方

 

内接円と外接円

ほかの図形に内接または外接する円には特別な性質があります。

内接円とは?内接円の半径の公式や求め方、性質、書き方 外接円とは?半径の公式や求め方、性質、書き方

 

円の方程式

円を座標平面上で表現するための方程式について説明しています。

円の方程式とは?公式、接線(微分)や半径の求め方、計算問題

 

空間図形の記事一覧

空間図形に関する記事をまとめました。

柱体

平行な \(2\) つの平面を底面にもつ筒状の空間図形です。

三角柱

三角柱の体積・表面積の公式や、展開図の書き方を説明しています。

三角柱とは?体積・表面積の公式や求め方、計算問題 三角柱の展開図の作り方(書き方)!手順をわかりやすく解説

 

円柱

円柱の体積・表面積の公式や計算問題を説明しています。

円柱とは?体積・表面積の公式や求め方、単位あり計算問題

 

錐体

底面から空間上の \(1\) 点に向かって伸びる線分で形作られる空間図形です。

三角錐

三角錐の体積・表面積の公式や、展開図の書き方を説明しています。

三角錐とは?体積・表面積の公式や求め方 三角錐の展開図の作り方(書き方)!手順をわかりやすく解説

 

正四面体

三角錐のうち、すべての面が正三角形でできたものを「正四面体」といいます。

正四面体とは?高さ・体積・表面積の公式や求め方 正四面体の展開図の作り方(書き方)!手順をわかりやすく解説

 

円錐

円錐の体積・表面積の公式や、展開図の書き方を説明しています。

円錐とは?体積・表面積の公式や求め方 円錐の展開図の作り方(書き方)!手順をわかりやすく解説

 

球の体積・表面積の公式について説明しています。

球とは?体積・表面積の公式や求め方、証明(積分)と計算問題

 

図形の性質・定理・公式一覧

平面図形・空間図形の問題でよく使う性質・定理・公式をまとめました。

それぞれ、詳細記事もあります。

相似

同じ形で、大きさの異なる図形同士の関係を「相似」といいます。

相似とは?三角形の相似条件、記号、相似比・面積比、証明問題
相似の記号

\(\triangle \mathrm{ABC}\) と \(\triangle \mathrm{DEF}\) が相似であるとき、

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) ∽ \(\triangle \mathrm{DEF}\)

 

 

合同

同じ形、同じ大きさの図形同士の関係を「合同」といいます。

合同とは?三角形の合同条件、証明問題をわかりやすく解説!
合同の記号

\(\triangle \mathrm{ABC}\) と \(\triangle \mathrm{DEF}\) が合同であるとき、

\begin{align}\triangle \mathrm{ABC} \equiv \triangle \mathrm{DEF}\end{align}

 

二点間の距離

座標が与えられた \(2\) 点間の距離を求める公式です。

二点間の距離とは?公式(数直線・平面・空間)や計算問題
二点間の距離

\(2\) 点 \(\mathrm{A}(x_1, y_1)\), \(\mathrm{B}(x_2, y_2)\) 間の距離 \(\mathrm{AB}\) は

\begin{align}\mathrm{AB} = \sqrt{(x_2 − x_1)^2 + (y_2 − y_1)^2}\end{align}

 

点と直線の距離

点と直線の距離を求める公式です。

点と直線の距離とは?公式や証明、計算問題
点と直線の距離

点 \(\mathrm{A}(x_1, y_1)\) と直線 \(\ell: ax + by + c =0\) の距離 \(D\) は、

\begin{align}D = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\end{align}

 

円周角の定理

円周角(円の弧の両端と円周上のある点が成す角)に関する定理です。

円周角の定理とは?定理の逆や証明、問題の解き方
円周角の定理
  1. \(1\) つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の半分である
  2. \(1\) つの弧に対する円周角の大きさは等しい

 

接弦定理

円に内接する三角形と、円の接線がなす角度に関する定理です。

接弦定理とは?証明や定理の逆、問題の解き方
接弦定理

円に \(\triangle \mathrm{ABC}\) が内接し、接点 \(\mathrm{A}\) で円が直線 \(\mathrm{AT}\) と接するとき、

\begin{align}\angle \mathrm{TAB} = \angle \mathrm{ACB}\end{align}

 

方べきの定理

円と \(2\) 本の直線が成す線分の長さの比に関する定理です。

方べきの定理とは?証明や定理の逆、応用問題をわかりやすく解説!
方べきの定理

円に引いた \(2\) 本の直線の交点を点 \(\mathrm{P}\)、一方の直線と円の交点を \(\mathrm{A_1}, \mathrm{A_2}\)、もう一方の直線と円の交点を \(\mathrm{B_1}, \mathrm{B_2}\) とおくと、

\begin{align}\mathrm{PA_1} \cdot \mathrm{PA_2} = \mathrm{PB_1} \cdot \mathrm{PB_2}\end{align}

 

トレミーの定理

円に内接する四角形の辺と対角線の長さに関する定理です。

トレミーの定理とは?証明や問題の解き方をわかりやすく解説!
トレミーの定理

四角形 \(\mathrm{ABCD}\) が円に内接しているとき、

\begin{align}\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD} = \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD} + \mathrm{AD} \cdot \mathrm{BC}\end{align}

 

三平方の定理

直角三角形の辺の長さに関する定理です。

三平方の定理とは?証明や計算問題、角度と辺の比の一覧
三平方の定理の公式

直角三角形の直角を挟む \(2\) 辺の長さを \(a, b\)、斜辺を \(c\) とすると、

\begin{align}a^2 + b^2 = c^2\end{align}

 

ヘロンの公式

三角形の \(3\) 辺の長さから面積を求める公式です。

ヘロンの公式とは?証明や、四角形版(ブラーマグプタの公式)も
ヘロンの公式

三角形の \(3\) 辺をそれぞれ \(a\), \(b\), \(c\)、三角形の面積を \(S\) とすると、

\begin{align}S = \sqrt{s(s − a)(s − b)(s − c)}\end{align}

ただし、\(\displaystyle s = \frac{a + b + c}{2}\)

 

角の二等分線

ある角を二等分する線分の性質や作図方法をまとめています。

角の二等分線とは?定理や比の性質、証明、問題、作図方法
角の二等分線の定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(\angle \mathrm{A}\) を二等分した線分と \(\mathrm{BC}\) の交点を \(\mathrm{D}\) とおくと、

\begin{align}\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = \mathrm{BD} : \mathrm{CD}\end{align}

 

中線定理

中線(三角形の頂点と向かい合う辺の中点を結んだ直線)に関する定理です。

中線定理とは?定理の証明や問題の解き方をわかりやすく解説!
中線定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において辺 \(\mathrm{BC}\) の中点を \(\mathrm{M}\) とすると、

\begin{align}\mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 = 2(\mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2)\end{align}

 

中点連結定理

三角形の \(2\) 辺の中点を結んだ線分に関する定理です。

中点連結定理とは?証明、定理の逆や応用、問題の解き方
中点連結定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の \(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{AC}\) の中点をそれぞれ \(\mathrm{M}\), \(\mathrm{N}\) とすると、

\begin{align}\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}\end{align}

\begin{align}\displaystyle \mathrm{MN} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}\end{align}

 

チェバの定理

三角形の線分の比に関する定理です。

チェバの定理とは?証明や覚え方、メネラウスの定理との違い
チェバの定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、三角形の内部に任意の点 \(\mathrm{O}\) をとり、直線 \(\mathrm{AO}\) と \(\mathrm{BC}\)、\(\mathrm{BO}\) と \(\mathrm{CA}\)、\(\mathrm{CO}\) と \(\mathrm{AB}\) の交点をそれぞれ \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\), \(\mathrm{P}\) とすると、

\begin{align}\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}} = 1\end{align}

 

メネラウスの定理

三角形と直線がなす線分の比に関する定理です。

メネラウスの定理とは?証明や覚え方、問題の解き方
メネラウスの定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) のそれぞれの辺、またはそれらの延長が、三角形の頂点を通らない直線 \(\ell\) とそれぞれ \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{R}\), \(\mathrm{Q}\) で交わるとすると、

\begin{align}\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}} = 1\end{align}

 

オイラーの多面体定理

多面体(複数の平面に囲まれた空間図形)の辺・面・頂点の数に関して成り立つ興味深い定理です。

オイラーの多面体定理とは?覚え方や証明、問題の解き方
オイラーの多面体定理

穴の開いていない多面体の頂点の数を \(v\)、辺の数を \(e\)、面の数を \(f\) とおくと、

\begin{align}v − e + f = 2\end{align}

 

以上が図形の公式一覧でした!

詳しい内容については、それぞれの関連記事を確認してみてくださいね。

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