図形を総まとめ！小学校〜高校で習う図形の性質・定理・公式

\(\triangle \mathrm{ABC}\) と \(\triangle \mathrm{DEF}\) が相似であるとき、

\(\triangle \mathrm{ABC}\) ∽ \(\triangle \mathrm{DEF}\)

\(\triangle \mathrm{ABC}\) と \(\triangle \mathrm{DEF}\) が合同であるとき、

\begin{align}\triangle \mathrm{ABC} \equiv \triangle \mathrm{DEF}\end{align}

\(2\) 点 \(\mathrm{A}(x_1, y_1)\), \(\mathrm{B}(x_2, y_2)\) 間の距離 \(\mathrm{AB}\) は

\begin{align}\mathrm{AB} = \sqrt{(x_2 − x_1)^2 + (y_2 − y_1)^2}\end{align}

点 \(\mathrm{A}(x_1, y_1)\) と直線 \(\ell: ax + by + c =0\) の距離 \(D\) は、

\begin{align}D = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\end{align}

1. \(1\) つの弧に対する円周角の大きさは、その弧に対する中心角の半分である
2. \(1\) つの弧に対する円周角の大きさは等しい

円に \(\triangle \mathrm{ABC}\) が内接し、接点 \(\mathrm{A}\) で円が直線 \(\mathrm{AT}\) と接するとき、

\begin{align}\angle \mathrm{TAB} = \angle \mathrm{ACB}\end{align}

円に引いた \(2\) 本の直線の交点を点 \(\mathrm{P}\)、一方の直線と円の交点を \(\mathrm{A_1}, \mathrm{A_2}\)、もう一方の直線と円の交点を \(\mathrm{B_1}, \mathrm{B_2}\) とおくと、

\begin{align}\mathrm{PA_1} \cdot \mathrm{PA_2} = \mathrm{PB_1} \cdot \mathrm{PB_2}\end{align}

四角形 \(\mathrm{ABCD}\) が円に内接しているとき、

\begin{align}\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD} = \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD} + \mathrm{AD} \cdot \mathrm{BC}\end{align}

直角三角形の直角を挟む \(2\) 辺の長さを \(a, b\)、斜辺を \(c\) とすると、

\begin{align}a^2 + b^2 = c^2\end{align}

三角形の \(3\) 辺をそれぞれ \(a\), \(b\), \(c\)、三角形の面積を \(S\) とすると、

\begin{align}S = \sqrt{s(s − a)(s − b)(s − c)}\end{align}

ただし、\(\displaystyle s = \frac{a + b + c}{2}\)

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(\angle \mathrm{A}\) を二等分した線分と \(\mathrm{BC}\) の交点を \(\mathrm{D}\) とおくと、

\begin{align}\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = \mathrm{BD} : \mathrm{CD}\end{align}

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において辺 \(\mathrm{BC}\) の中点を \(\mathrm{M}\) とすると、

\begin{align}\mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 = 2(\mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2)\end{align}

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の \(\mathrm{AB}\), \(\mathrm{AC}\) の中点をそれぞれ \(\mathrm{M}\), \(\mathrm{N}\) とすると、

\begin{align}\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}\end{align}

\begin{align}\displaystyle \mathrm{MN} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}\end{align}

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、三角形の内部に任意の点 \(\mathrm{O}\) をとり、直線 \(\mathrm{AO}\) と \(\mathrm{BC}\)、\(\mathrm{BO}\) と \(\mathrm{CA}\)、\(\mathrm{CO}\) と \(\mathrm{AB}\) の交点をそれぞれ \(\mathrm{Q}\), \(\mathrm{R}\), \(\mathrm{P}\) とすると、

\begin{align}\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}} = 1\end{align}

\(\triangle \mathrm{ABC}\) のそれぞれの辺、またはそれらの延長が、三角形の頂点を通らない直線 \(\ell\) とそれぞれ \(\mathrm{P}\), \(\mathrm{R}\), \(\mathrm{Q}\) で交わるとすると、

\begin{align}\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PB}} \cdot \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}} \cdot \frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{RA}} = 1\end{align}

穴の開いていない多面体の頂点の数を \(v\)、辺の数を \(e\)、面の数を \(f\) とおくと、

\begin{align}v − e + f = 2\end{align}