ひし形(菱形)とは?定義や面積の求め方(公式)、計算問題

この記事では、「ひし形(菱形)」の定義や面積の求め方(公式)をできるだけわかりやすく解説していきます。

また、ひし形の計算問題なども紹介していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

ひし形(菱形)とは?【定義】

ひし形(菱形)とは、\(\bf{4}\) つの辺の長さがすべて等しい四角形のことをいいます。

この定義に従うと、正方形もひし形の一種ですね。

まずはこの定義をしっかり覚えておきましょう。

 

ひし形の面積の公式

次に、ひし形の面積を求める公式を確認しましょう。

ひし形の面積の公式

ひし形の \(2\) 本の対角線を \(l\)、\(m\) とおくと、面積 \(S\) は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle S = \frac{1}{2} lm}\end{align}

\begin{align}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \color{red}{\displaystyle (\text{ひし形の面積}) = \frac{1}{2} \times (\text{対角線}) \times (\text{対角線})}\end{align}

 

では、どうしてこの公式は成り立つのでしょうか。

その理由は、ひし形の面積が \(\bf{4}\) つの頂点を通る長方形のちょうど半分の面積になっているからです。

 

補足

なお、ひし形は平行四辺形の一種でもあります。

そのため、対角線の長さ以外の情報がわかっていれば、もちろん平行四辺形の面積の求め方(\(\text{底辺} \times \text{高さ}\))でもひし形の面積を求められますよ。

平行四辺形とは?定義・条件・性質や面積の公式、証明問題

 

ひし形の面積の求め方【例題】

では、実際にこの公式を使って、例題を解いてみましょう。

例題

次のひし形の面積を求めよ。

 

対角線の長さがわかっているので、公式にそのまま当てはめます。

解答

 

ひし形の面積の公式より、

\(\begin{align} S &= \frac{1}{2} lm \\ &= \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 \\ &= \frac{15}{2} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\displaystyle \frac{15}{2}}\)

 

ひし形の性質

ひし形には、次の \(4\) つの性質があります。

【性質①】2 本の対角線は垂直に交わる

 

【性質②】2 本の対角線は、互いにほかを 2 等分する

 

【性質③】1 本の対角線は、ひし形を合同な 2 つの二等辺三角形に分ける

 

【性質④】2 本の対角線は、ひし形を合同な 2 つの直角三角形に分ける

 

どれも、対角線および対角線がなす図形に関する性質ですね。

言葉だけで覚えるのは大変なので、図とともに理解をしておきましょう。

 

ひし形の計算問題

最後に、ひし形の計算問題に挑戦してみましょう。

計算問題①「対角線から面積を求める」

計算問題①

対角線の長さが \(6\) と \(4\) のひし形の面積を求めなさい。

 

ひし形の面積の公式にあてはめるだけなので、簡単ですね。

解答

 

\(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\)

 

答え: \(12\)

 

計算問題②「ひし形であることの証明」

計算問題②

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の \(\angle \mathrm{A}\) の二等分線と辺 \(\mathrm{BC}\) との交点を \(\mathrm{P}\) とし、点 \(\mathrm{P}\) から辺 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{AC}\) と平行な線を引き、交点をそれぞれ点 \(\mathrm{Q}\)、\(\mathrm{R}\) とする。

このとき、四角形 \(\mathrm{AQPR}\) がひし形であることを証明しなさい。

 

ひし形の定義、「\(4\) つの辺がすべて等しい」ことが証明できればよいですね。

ひし形の中の二等辺三角形 \(2\) つが合同であることを示し、\(4\) 辺が等しいことにつなげる流れを作れば導けますよ。

証明

 

\(\triangle \mathrm{QAP}\) と \(\triangle \mathrm{RAP}\) において、

\(\mathrm{AQ} \ // \ \mathrm{RP}\)、\(\mathrm{AR} \ // \ \mathrm{QP}\) で錯角は等しいので、

\(\angle \mathrm{QAP} = \angle \mathrm{RPA}\) … ①

\(\angle \mathrm{QPA} = \angle \mathrm{RAP}\) … ②

 

\(\mathrm{AP}\) は共通なので、

\(\mathrm{AP} = \mathrm{AP}\) … ③

 

①、②、③より、\(1\) 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

\(\triangle \mathrm{QAP} \equiv \triangle \mathrm{RAP}\)

 

ここで、\(\mathrm{AP}\) は \(\triangle \mathrm{ABC}\) の \(\angle \mathrm{A}\) の二等分線、すなわち

\(\angle \mathrm{QAP} = \angle \mathrm{RAP}\) より、

\(\begin{align} \angle \mathrm{QAP} &= \angle \mathrm{RPA} \\ &= \angle \mathrm{QPA} \\ &= \angle \mathrm{RAP} \end{align}\)

 

したがって、\(\triangle \mathrm{QAP}\) と \(\triangle \mathrm{RAP}\) は \(\mathrm{AP}\) を底辺とする合同な二等辺三角形である。

よって

\(\mathrm{QA} = \mathrm{QP} = \mathrm{RA} = \mathrm{RP}\)

 

よって、\(4\) つの辺がすべて等しいので、

四角形 \(\mathrm{AQPR}\) はひし形である。

 

(証明終わり)

以上で問題も終わりです!

 

ひし形の面積の求め方は、簡単なようで忘れがちです。

問題自体は簡単なものばかりなので、必ず公式を覚えておくようにしましょう!

補足

なお、「ひし形の作図方法」については以下の記事で説明しています。

四角形(ひし形・平行四辺形・台形)の書き方(作図)まとめ!

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