合同とは?三角形の合同条件、証明問題をわかりやすく解説!

この記事では、「合同」とは何か、三角形の合同条件や証明問題について解説していきます。

二等辺三角形や直角三角形の合同条件も説明していくので、ぜひマスターしてくださいね!

 

合同とは?

合同とは、形および大きさがまったく同じな図形同士の関係です。

合同な図形同士は、ぴったりと重ね合わせることができます。

また、裏返した図形においても合同は成り立ちます。

Tips

拡大・縮小倍率が \(1\) 倍でないもの(形が同じで大きさが異なる図形同士)を「相似」といいます。

「相似」については、以下の記事を確認してみてください。

相似とは?三角形の相似条件、記号、相似比・面積比、証明問題

 

合同の記号

合同は、「\(\equiv\)」という記号を使って次のように表します。

合同の記号

\(\triangle \mathrm{ABC}\) と \(\triangle \mathrm{DEF}\) が合同なとき、

\begin{align}\color{red}{\triangle \mathrm{ABC} \equiv \triangle \mathrm{DEF}}\end{align}

このとき、対応する頂点の順番を合わせることに注意しましょう。

 

合同の性質

合同な図形には、次の \(2\) つの性質があります。

【性質①】対応する辺の長さが等しい

合同な図形では、対応する辺の長さがすべて等しくなります。

 

【性質②】対応する角の大きさが等しい

また、対応する角の大きさもすべて等しくなります。

まったく同じ形、大きさの図形なわけですから、当たり前の性質ですね。

 

三角形の合同条件

三角形の合同を証明するためには、「合同条件」というものを使います。

一般的な三角形の合同条件は次の \(3\) つです。

【条件①】3 組の辺がそれぞれ等しい

\(3\) 辺の長さがそれぞれ等しければ、合同と言えます。

 

【条件②】2 組の辺とその間の角がそれぞれ等しい

\(2\) 辺の長さとその間の角の大きさが等しければ、合同と言えます。

 

【条件③】1 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

\(1\) 辺の長さとその両端の角の大きさが等しければ、合同と言えます。

これらの \(3\) つの合同条件のうち \(1\) つでもあてはまれば、三角形は合同であるといえます。

証明問題では合同条件を書く必要があるので、\(3\) つとも一言一句しっかりと覚えておきましょう!

 

二等辺三角形の合同条件

二等辺三角形の場合も、先ほど示した一般的な三角形の合同条件を使います。

ただし、等しい \(2\) つの底角をもつ頂点は、どちらとどちらを対応させても構いません

基本的には「\(\triangle \mathrm{ABC} \equiv \triangle \mathrm{DEF}\) を示せ」など対応させる頂点がはっきりしている問題が多いので、あまり気にする必要はありません。

 

補足

「二等辺三角形」の証明問題に興味のある方は、以下の記事を読んでみましょう。

二等辺三角形とは?定義や定理、角度・辺の長さ・面積の求め方

 

直角三角形の合同条件

直角三角形の場合は、より少ない条件で合同を示すことができます。

直角三角形の合同条件には次の \(2\) つがあります。

【条件①】斜辺と 1 つの鋭角がそれぞれ等しい

\(1\) つの角が直角(\(90^\circ\))であることから、斜辺の長さおよび \(1\) つの鋭角が等しいことが示せれば、残りの \(1\) 角も自ずと定まります

そのため、一般的な合同条件③「\(\bf{1}\) 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい」が満たされるのですね。

 

【条件②】斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい

斜辺は角度が \(90^\circ\) の頂点に対応する辺とわかりきっているので、斜辺と他の \(1\) 辺の長さが定まれば、残りの \(1\) 辺の長さも自ずと定まります

そのため、一般的な合同条件①「\(\bf{3}\) 組の辺がそれぞれ等しい」が満たされるのですね。

 

どちらの条件にも共通しているのが、「斜辺が等しい」という点です。

直角三角形で、斜辺が等しいことさえわかれば、あとはもう \(1\) つの辺か、またはもう \(1\) つの角が等しいことを示せば良いということになります。

 

補足

「直角三角形」が関わる証明問題に興味のある方は、以下の記事を読んでみましょう。

直角三角形とは?定義や定理、辺の長さの比、合同条件

 

合同の証明問題

それでは最後に、三角形の合同条件を使った証明問題を解いてみましょう。

証明問題①「合同な三角形のペアを見つける」

証明問題①

次の図において、合同な三角形を記号を使って表しなさい。

また、そのときに使った合同条件も答えなさい。

 

どの合同条件を用いるかや、対応する頂点を合わせることに気をつけてくださいね。

解答

 

  • \(\color{red}{\triangle \mathrm{ABC} \equiv \triangle \mathrm{RPQ}}\)
    \(3\) 組の辺がそれぞれ等しい
    \((\mathrm{AB} = \mathrm{RP} = 4、\mathrm{BC} = \mathrm{PQ} = 5、\)\(\mathrm{CA} = \mathrm{QR} = 3)\)
  • \(\color{red}{\triangle \mathrm{DEF} \equiv \triangle \mathrm{JLK}}\)
    \(2\) 組の辺とその間の角が等しい
    \((\mathrm{DE} = \mathrm{JL} = 4、\mathrm{EF} = \mathrm{LK} = 3、\)\(\angle \mathrm{E} = \angle \mathrm{L} = 60^\circ)\)
  • \(\color{red}{\triangle \mathrm{GHI} \equiv \triangle \mathrm{MNO}}\)
    \(1\) 組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい
    \((\mathrm{HI} = \mathrm{NO} = 4、\angle \mathrm{H} = \angle \mathrm{N} = 45^\circ、\)\(\angle \mathrm{I} = \angle \mathrm{O} = 50^\circ)\)

 

証明問題②「三角形の合同を示す」

証明問題②

正三角形 \(\mathrm{ABC}\) において辺 \(\mathrm{AC}\) 上に点 \(\mathrm{D}\) をとり、\(\mathrm{AE} \ // \ \mathrm{BC}\)、\(\mathrm{AD} = \mathrm{AE}\) となるように点 \(\mathrm{E}\) をとる。

このとき、\(\triangle \mathrm{ABD} \equiv \triangle \mathrm{ACE}\) であることを証明しなさい。

 

まずは、図にわかっていることを書き込んでいきましょう。

問題文からわかることは、次の通りです。

・ \(\mathrm{AB} = \mathrm{BC} = \mathrm{CA}\)

・ \(\angle \mathrm{A} = \angle \mathrm{B} = \angle \mathrm{C} = 60^\circ\)

・ \(\mathrm{AE} \ // \ \mathrm{BC}\)

・ \(\mathrm{AD} = \mathrm{AE}\)

 

仮定 \(\mathrm{AE} \ // \ \mathrm{BC}\) から、錯角は等しくなるので

・ \(\angle \mathrm{BCA} = \angle \mathrm{EAC} = 60^\circ\)

 

ここまで書けたら、合同を示したい \(\triangle \mathrm{ABD}\) と \(\triangle \mathrm{ACE}\) を取り出します。

すると、使えそうな合同条件が見えてきましたね!

証明では、関係する辺や角度だけを取り出して解答を作るとスマートに見えますよ!

 

証明

 

\(\triangle \mathrm{ABD}\) と \(\triangle \mathrm{ACE}\) において

仮定より、

\(\mathrm{AD} = \mathrm{AE}\) …①

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) は正三角形なので、

\(\mathrm{AB} = \mathrm{AC}\) …②

\(\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{BCA} = 60^\circ\) …③

 

\(\mathrm{AE} \ // \ \mathrm{BC}\) より、錯角は等しくなるので、

\(\angle \mathrm{BCA} = \angle \mathrm{CAE}\) となり、

\(\angle \mathrm{CAE} = 60^\circ\) …④

 

③、④より

\(\angle \mathrm{BAD} = \angle \mathrm{CAE}\) …⑤

 

①、②、⑤より

\(2\) 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(\triangle \mathrm{ABD} \equiv \triangle \mathrm{ACE}\)

 

(証明終わり)

以上で証明問題も終わりです!

 

証明をモノにするには、第一に合同条件をしっかり暗記しておくこと、第二にわかっている情報を整理することが大切です。

解説した問題に限らず、いろいろなタイプの証明問題に挑戦してくださいね!

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です