トレミーの定理とは?証明や問題の解き方をわかりやすく解説!

この記事では、「トレミーの定理」についてできるだけわかりやすく解説していきます。

定理の証明や問題の解き方を説明していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

トレミーの定理とは?

トレミーの定理とは、円に内接する四角形の辺と対角線の長さに関する定理です。

トレミーの定理

四角形 \(\mathrm{ABCD}\) が円に内接しているとき、

\begin{align}\color{red}{\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD} = \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD} + \mathrm{AD} \cdot \mathrm{BC}}\end{align}

が成り立つ。

 

対角線の積は、四角形の向かい合う辺同士の積の和と等しくなる、ということですね。

シンプルな定理なので、図とともに覚えておきましょう!

 

トレミーの定理の使い方【例題】

それでは、例題で使い方を確認しましょう。

例題

四角形 \(\mathrm{ABCD}\) は円に内接している。

このとき、\(\mathrm{AC}\) の長さを求めなさい。

 

円に内接する四角形の一方の対角線 \(\mathrm{AC}\) の長さだけがわかっていない状態ですね。

トレミーの定理に当てはめてみましょう。

解答

 

トレミーの定理より、

\(\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD} = \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD} + \mathrm{AD} \cdot \mathrm{BC}\)

\(\mathrm{AC} \cdot \sqrt{46} = 6 \cdot 4 + 4 \cdot 5\)

\(\sqrt{46}\mathrm{AC} = 24 + 20 = 44\)

よって、

\(\mathrm{AC} = \displaystyle \frac{44}{\sqrt{46}} = \frac{44\sqrt{46}}{46} = \frac{22\sqrt{46}}{23}\)

 

答え: \(\color{red}{\mathrm{AC} =\displaystyle \frac{22\sqrt{46}}{23}}\)

このように、「円に内接する四角形」「対角線の長さ」が関係する問題では、トレミーの定理が使えないかな?と疑ってみましょう。

 

トレミーの定理の証明

次に、トレミーの定理がどうして成り立つかを示していきます。

トレミーの定理の証明

円に内接する四角形 \(\mathrm{ABCD}\) について、以下の等式が成り立つことを証明せよ。

\begin{align}\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD} = \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD} + \mathrm{AD} \cdot \mathrm{BC}\end{align}

 

対角線によって分けられた三角形に「余弦定理」を適用することで、トレミーの定理が導かれます。

余弦定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において

\begin{align}c^2=a^2 + b^2 – 2ab\cos \mathrm{C}\end{align}

余弦定理とは?公式の覚え方や証明、計算問題の解き方

証明

(見切れる場合は横へスクロール)

 

\(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{BC}\)、\(\mathrm{CD}\)、\(\mathrm{DA}\) をそれぞれ \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\) とおき、\(\mathrm{AC}\)、\(\mathrm{BD}\) を \(x\)、\(y\) とする。

このとき、

\(\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD} = \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD} + \mathrm{AD} \cdot \mathrm{BC}\)

すなわち

\(xy = ac + bd\)

が成り立つことを示す。

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、余弦定理より、

\(x^2 = a^2 + b^2 − 2ab \cos \mathrm{B} \ \text{…①}\)

 

\(\triangle \mathrm{ADC}\) において、余弦定理より、

\(\begin{align} x^2 &= c^2 + d^2 − 2cd \cos (180^\circ − \angle \mathrm{B}) \\ &= c^2 + d^2 + 2cd \cos \mathrm{B} \ \text{…②} \end{align}\)

 

①、②より、

\(a^2 + b^2 − 2ab \cos \mathrm{B} = c^2 + d^2 + 2cd \cos \mathrm{B}\)

\(2ab \cos \mathrm{B} + 2cd \cos \mathrm{B} = a^2 + b^2 − c^2 − d^2\)

\((2ab + 2cd) \cos \mathrm{B} = a^2 + b^2 − c^2 − d^2\)

よって

\(\displaystyle \cos \mathrm{B} = \frac{a^2 + b^2 − c^2 − d^2}{2(ab + cd)} \ \text{…③}\)

 

③を①に代入すると、

\(\begin{align}x^2 &= a^2 + b^2 − \displaystyle \frac{2ab(a^2 + b^2 − c^2 − d^2)}{2(ab + cd)}\\&= \displaystyle \frac{(a^2 + b^2)(ab + cd) − ab(a^2 + b^2 − c^2 − d^2)}{ab + cd}\\&= \displaystyle \frac{a^2cd + b^2cd +abc^2 + abd^2}{ab + cd}\\&= \displaystyle \frac{ac(ad + bc) + bd(bc + ad)}{ab + cd}\\&= \displaystyle \frac{(ad + bc)(ac + bd)}{ab + cd} \ \text{…④}\end{align}\)

 

 

同様に、

\(\triangle \mathrm{BCD}\) において、余弦定理より

\(y^2 = b^2 + c^2 − 2bc \cos \mathrm{C} \ \text{…⑤}\)

 

\(\triangle \mathrm{ABD}\) において、余弦定理より、

\(\begin{align} y^2 &= a^2 + d^2 − 2ad \cos (180^\circ − \angle \mathrm{C}) \\ &= a^2 + d^2 + 2ad \cos \mathrm{C} \ \text{…⑥} \end{align}\)

 

⑤、⑥より、

\(b^2 + c^2 − 2bc \cos \mathrm{C} = a^2 + d^2 + 2ad \cos \mathrm{C}\)

\(2ad \cos \mathrm{C} + 2bc \cos \mathrm{C} = b^2 + c^2 − a^2 − d^2\)

\((2ad + 2bc) \cos \mathrm{C} = b^2 + c^2 − a^2 − d^2\)

よって

\(\displaystyle \cos \mathrm{C} =\frac{b^2 + c^2 − a^2 − d^2}{2(ad + bc)} \ \text{…⑦} \)

 

⑦を⑤に代入すると、

\(\begin{align}y^2 &= b^2 + c^2 − \displaystyle \frac{2bc(b^2 + c^2 − a^2 − d^2)}{2(ad + bc)}\\&= \displaystyle \frac{(b^2 + c^2)(ad + bc) − bc(b^2 + c^2 − a^2 − d^2)}{ad + bc}\\&= \displaystyle \frac{ab^2d + ac^2d + a^2bc + bcd^2}{ad + bc}\\&= \displaystyle \frac{ac(ab + cd) + bd(ab + cd)}{ad + bc}\\&= \displaystyle \frac{(ab + cd)(ac + bd)}{ad + bc} \ \text{…⑧} \end{align}\)

 

よって、④、⑧より

\(\begin{align}x^2 y^2 &= \displaystyle \frac{(ad + bc)(ac + bd)}{ab + cd} \cdot \frac{(ab + cd)(ac + bd)}{ad + bc}\\&= (ac + bd)^2\end{align}\)

 

\(xy > 0\)、\(ac + bd > 0\) より、

\(xy = ac + bd\)

となり、トレミーの定理

\(\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD} = \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD} + \mathrm{AD} \cdot \mathrm{BC}\)

が成立する。

 

(証明終わり)

 

トレミーの定理の練習問題

それでは実際に、トレミーの定理の練習問題に挑戦してみましょう!

練習問題①「円に内接する四角形の対角線の長さ」

練習問題①

図において、四角形 \(\mathrm{ABCD}\) は円に内接している。このとき、\(\mathrm{AC}\) の長さを求めなさい。

 

対角線 \(2\) 本とも長さがわからないように見えますが、角度の情報を使うと \(1\) 本の長さはすぐにわかります。

もう \(1\) 本の長さを、トレミーの定理を使って求めましょう。

解答

 

\(\angle \mathrm{A} = 120^\circ\) より、\(\angle \mathrm{C} = 60^\circ\)

よって、\(\triangle \mathrm{BCD}\) は正三角形なので、

\(\mathrm{BD} = 13\)

 

四角形 \(\mathrm{ABCD}\) において、トレミーの定理より

\(\mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD} = \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD} + \mathrm{AD} \cdot \mathrm{BC}\)

\(\mathrm{AC} \cdot 13 = 8 \cdot 13 + 7 \cdot 13\)

\(13\mathrm{AC} = 13 \cdot 15\)

\(\mathrm{AC} = 15\)

 

答え: \(\mathrm{AC} = 15\)

 

練習問題②「ある点から円に引いた接線がなす四角形」

練習問題②

半径が \(1\) の円 \(\mathrm{O}\) がある。

円 \(\mathrm{O}\) の中心から点 \(\mathrm{P}\) までの距離は \(\sqrt{7}\) で、点 \(\mathrm{P}\) から引いた円 \(\mathrm{O}\) の \(2\) つの接線の接点を点 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\) とする。

このとき、\(\mathrm{AB}\) の長さを求めなさい。

 

四角形とその対角線に関係する問題ですね。

四角形が円に内接していれば、トレミーの定理が使えますよ。

解答

 

\(\triangle \mathrm{AOP}\) において、三平方の定理より

\(\begin{align} \mathrm{AP}^2 &= \mathrm{PO}^2 − \mathrm{AO}^2 \\ &= \sqrt{7}^2 − 1^2 \\ &= 6 \end{align}\)

\(\mathrm{AP} > 0\) より、\(\mathrm{AP} = \sqrt{6}\)

 

また、点 \(\mathrm{A}\)、\(\mathrm{B}\) は円 \(\mathrm{O}\) の接点なので、

\(\angle \mathrm{OAP} = \angle \mathrm{OBP} = 90^\circ\)

 

よって、四角形 \(\mathrm{OAPB}\) において

向かい合う角の和が \(180^\circ\) なので、

四角形 \(\mathrm{OAPB}\) は円に内接している。

 

ゆえに、四角形 \(\mathrm{OAPB}\) において、トレミーの定理より

\(\mathrm{AB} \cdot \mathrm{OP} = \mathrm{AP} \cdot \mathrm{OB} + \mathrm{BP} \cdot \mathrm{OA}\)

\(\mathrm{AB} \cdot \sqrt{7} = \sqrt{6} \cdot 1 + \sqrt{6} \cdot 1 = 2\sqrt{6}\)

よって

\(\displaystyle \mathrm{AB} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{42}}{7}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{2\sqrt{42}}{7}\)

 

練習問題③「正五角形の対角線の長さ」

練習問題③

一辺の長さが \(2\) の正五角形の対角線の長さを求めなさい。

 

トレミーの定理は、円に内接する四角形において用いる公式です。

正五角形の中の四角形に注目してみましょう。

解答

 

正五角形 \(\mathrm{ABCDE}\) の対角線の長さを \(x\) とする。

 

四角形 \(\mathrm{BCDE}\) において、トレミーの定理より

\(\mathrm{BD} \cdot \mathrm{CE} = \mathrm{BE} \cdot \mathrm{CD} + \mathrm{BC} \cdot \mathrm{DE}\)

\(x^2 = 2x + 4\)

\(x^2 − 2x − 4 = 0\)

 

\(x > 0\) より、

\(x = 1 + \sqrt{5}\)

 

答え: \(1 + \sqrt{5}\)

以上で練習問題も終わりです!

 

トレミーの定理は、図形の問題でふと「あれ?使えるぞ!」ということがあります。

位置関係を間違えないよう、図とともに覚えておきましょう!

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