中点連結定理とは?証明、定理の逆や応用、問題の解き方

この記事では、「中点連結定理」の意味や証明、定理の逆についてわかりやすく解説していきます。

また、問題の解き方も簡単に解説していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

中点連結定理とは?

中点連結定理とは、三角形の \(2\) 辺のそれぞれの中点を結んだ線分について成り立つ定理です。

中点連結定理

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{AC}\) の中点をそれぞれ \(\mathrm{M}\)、\(\mathrm{N}\) とすると、

\begin{align}\color{red}{\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}、\displaystyle \mathrm{MN} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}}\end{align}

三角形の \(2\) 辺の中点を結んだ線分は残りの \(1\) 辺と平行で、長さはその半分となります。

実は、よく見てみると \(\triangle \mathrm{AMN}\) と \(\triangle \mathrm{ABC}\) は相似比が \(\bf{1 : 2}\) の相似な図形となっています。

そのことをあわせて理解しておくと、定理を忘れてしまっても思い出せますよ!

 

中点連結定理の使い方【例題】

それでは、例題でこの公式を使ってみましょう。

例題

図の \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、点 \(\mathrm{M}\)、\(\mathrm{N}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{AC}\) の中点である。

このとき、\(\mathrm{MN}\) の長さと \(\angle \mathrm{ABC}\) の大きさを求めなさい。

 

中点 \(\mathrm{M}\)、\(\mathrm{N}\) を結ぶ線分において、中点連結定理を用います。

解答

 

中点連結定理より、

\(\begin{align} \mathrm{MN} &= \frac{1}{2} \mathrm{BC} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 14 \\ &= 7 \end{align}\)

 

また、中点連結定理より \(\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}\) なので、同位角は等しい。

 

よって、

\(\angle \mathrm{ABC} = \angle \mathrm{AMN} = 45^\circ\)

 

答え: \(\color{red}{\mathrm{MN} = 7}\)\(\color{red}{\angle \mathrm{ABC} = 45^\circ}\)

 

中点連結定理の証明

ここでは、中点連結定理の \(2\) 通りの証明方法を示します。

【証明①】三角形の相似を利用

\(1\) つ目は相似な三角形の性質を利用した証明です。

証明

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、線分 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{AC}\) の中点をそれぞれ \(\mathrm{M}\)、\(\mathrm{N}\) とする。

 

\(\triangle \mathrm{AMN}\) と \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、

点 \(\mathrm{M}\)、\(\mathrm{N}\) はそれぞれ、辺 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{AC}\) の中点なので、

\(\mathrm{AM} : \mathrm{AB} = 1 : 2\) …①

\(\mathrm{AN} : \mathrm{AC} = 1 : 2\) …②

 

\(\angle \mathrm{A}\) は共通なので、

\(\angle \mathrm{MAN} = \angle \mathrm{BAC}\) …③

 

①、②、③より、

\(2\) 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、

\(\triangle \mathrm{AMN}\) ∽ \(\triangle \mathrm{ABC}\)

 

①より、相似比は

\(\triangle \mathrm{AMN} : \triangle \mathrm{ABC} = 1 : 2\) なので、

\(\displaystyle \mathrm{MN} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}\) …④

 

また、相似な図形では対応する角は等しいので

\(\angle \mathrm{AMN} = \angle \mathrm{ABC}\)

さらに、同位角が等しいので

\(\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}\) …⑤

 

④、⑤より、中点連結定理が成り立つ。

 

(証明終わり)

補足

「三角形の相似条件」について忘れている人は復習しておきましょう!

相似とは?三角形の相似条件、記号、相似比・面積比、証明問題

 

【証明②】平行四辺形の性質を利用

\(2\) つ目は平行四辺形の性質を利用した証明です。

証明

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、線分 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{AC}\) の中点をそれぞれ \(\mathrm{M}\)、\(\mathrm{N}\) とする。

\(\mathrm{MN}\) の延長上に、\(\mathrm{MN} = \mathrm{ND}\) となる点 \(\mathrm{D}\) をとる。

点 \(\mathrm{D}\)、点 \(\mathrm{A}\)、点 \(\mathrm{C}\) を結ぶ。

また、点 \(\mathrm{M}\) と点 \(\mathrm{C}\) も結ぶ。

 

四角形 \(\mathrm{AMCD}\) において、

\(\mathrm{AN} = \mathrm{NC}\)、\(\mathrm{MN} = \mathrm{ND}\) より、

対角線がそれぞれの中点で交わるので、

四角形 \(\mathrm{AMCD}\) は平行四辺形である。

 

よって、

\(\mathrm{AM} = \mathrm{DC}\)、\(\mathrm{AM} \ // \ \mathrm{DC}\) となる。

 

また、四角形 \(\mathrm{MBCD}\) において、\(\mathrm{AM} = \mathrm{MB}\) より

\(\mathrm{MB} = \mathrm{DC}\)、\(\mathrm{MB} \ // \ \mathrm{DC}\)

となり、向かい合う \(1\) 組の辺が平行かつ等しいので、

四角形 \(\mathrm{MBCD}\) も平行四辺形である。

 

よって、

\(\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}\)

\(\displaystyle \mathrm{MN} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}\)

となり、中線連結定理が成り立つ。

 

(証明終わり)

補足

「平行四辺形」については、以下の記事で詳しく説明しています。

平行四辺形とは?定義・条件・性質や面積の公式、証明問題

中点連結定理の証明は問題として出ることもあるので、一通りの流れは把握しておきましょう!

 

中点連結定理の逆

中点連結定理は、その逆も成立します。

中点連結定理の逆

\(\mathrm{AB}\) 上の点 \(\mathrm{M}\) と、\(\mathrm{AC}\) 上の点 \(\mathrm{N}\) が \(\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}\)、\(\displaystyle \mathrm{MN} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}\) ならば、

点 \(\mathrm{M}\)、\(\mathrm{N}\) はそれぞれ、\(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{AC}\) の中点となる。

「平行で長さが半分とくれば、中点だ!」と結びつけておきましょう。

 

中点連結定理の逆の証明

中点連結定理の逆も、相似な三角形の性質を利用して証明できます。

証明

 

図の \(\triangle \mathrm{AMN}\) と \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}\)、\(\displaystyle \mathrm{MN} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}\) とする。

 

仮定 \(\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}\) より、平行線の同位角は等しいので、

\(\angle \mathrm{AMN} = \angle \mathrm{ABC}\) …①

\(\angle \mathrm{ANM} = \angle \mathrm{ACB}\) …②

 

①、②より

\(2\) つの角がそれぞれ等しいので、

\(\triangle \mathrm{AMN}\) ∽ \(\triangle \mathrm{ABC}\)

 

また、仮定 \(\displaystyle \mathrm{MN} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}\) より、

\(\mathrm{MN} : \mathrm{BC} = 1 : 2\) なので、相似比は、

\(\triangle \mathrm{AMN} : \triangle \mathrm{ABC} = 1 : 2\)

 

よって、

\(\mathrm{AM} : \mathrm{AB} = 1 : 2\) となり、\(\mathrm{AM} = \mathrm{MB}\) なので、

点 \(\mathrm{M}\) は、\(\mathrm{AB}\) の中点となる。 …③

 

同じく、\(\mathrm{AN} : \mathrm{AC} = 1 : 2\) となり、\(\mathrm{AN} = \mathrm{NC}\) なので、

点 \(\mathrm{N}\) は、\(\mathrm{AC}\) の中点となる。 …④

 

③、④より、中点連結定理の逆が成り立つ。

 

(証明終わり)

 

中点連結定理の応用

三角形において成り立つ中点連結定理ですが、実はほかの図形にも応用できます。

ここでは、中点連結定理を応用した内容を \(2\) つ紹介します。

台形の中点連結定理

まずは、台形における中点連結定理の応用です。

台形における中点連結定理

\(\mathrm{AD} \ // \ \mathrm{BC}\) である台形 \(\mathrm{ABCD}\) において、辺 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{DC}\) の中点をそれぞれ、点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) とするとき、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{EF} = \frac{1}{2} (\mathrm{AD} + \mathrm{BC})}\end{align}

 

台形の中点連結定理の証明

例題を通してこの性質を証明していきましょう。

例題

\(\mathrm{AD} \ // \ \mathrm{BC}\) である台形 \(\mathrm{ABCD}\) がある。

辺 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{DC}\) の中点をそれぞれ、点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) とするとき、\(\mathrm{EF}\) の長さを文字を使って表しなさい。

 

補助線を引いて三角形を作ると、簡単に示すことができます。

証明

 

\(\mathrm{BC}\) の延長上と \(\mathrm{AF}\) の交点を点 \(\mathrm{G}\) とおく。

 

\(\triangle \mathrm{ADF}\) と \(\triangle \mathrm{GCF}\) において、

対頂角は等しいので

\(\angle \mathrm{AFD} = \angle \mathrm{GFC}\) …①

 

仮定より、点 \(\mathrm{F}\) は \(\mathrm{DC}\) の中点であるから

\(\mathrm{DF} = \mathrm{CF}\) …②

 

点 \(\mathrm{G}\) は \(\mathrm{BC}\) の延長線上の点なので

\(\mathrm{AD} \ // \ \mathrm{CG}\) より、平行線の錯角は等しい。

\(\angle \mathrm{ADF} = \angle \mathrm{GCF}\) …③

 

①、②、③より、

\(1\) つの辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、

\(\triangle \mathrm{ADF} \equiv \triangle \mathrm{GCF}\)

 

よって、合同な図形では対応する辺の長さは等しいので、

\(\mathrm{AF} = \mathrm{GF}\)

\(\mathrm{AD} = \mathrm{GC}\)

 

\(\triangle \mathrm{ABG}\) において、

先ほど導いた \(\mathrm{AF} = \mathrm{GF}\) より、点 \(\mathrm{F}\) は辺 \(\mathrm{AG}\) の中点である。

また、\(\mathrm{AD} = \mathrm{GC}\) と \(\mathrm{BG} = \mathrm{BC} + \mathrm{CG}\) より、

\(\mathrm{BG} = \mathrm{AD} + \mathrm{BC}\) …④

 

点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) はそれぞれの辺の中点なので、中点連結定理より

\(\displaystyle \mathrm{EF} = \frac{1}{2} \mathrm{BG}\)

④を代入すると、

\(\displaystyle \mathrm{EF} = \frac{1}{2} (\mathrm{AD} + \mathrm{BC})\)

 

よって、台形の平行でない向かい合う \(2\) つの辺の中点を結んだ線分は、上底と下底を合わせた長さの半分である。

 

つまり、台形における中点連結定理として、

\(\displaystyle \mathrm{EF} = \frac{1}{2} (\mathrm{AD} + \mathrm{BC})\)

が成り立つ。

 

(証明終わり)

補足

台形については、以下の記事で詳しく説明しています。

台形とは?定義や公式(面積の求め方)、面積比の計算問題

 

四角形の中点連結定理

次に、四角形における中点連結定理の応用です。

四角形の中点をすべて結ぶと、平行四辺形になるという性質があります。

四角形における中点連結定理

四角形 \(\mathrm{ABCD}\) の \(4\) 辺 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{BC}\)、\(\mathrm{CD}\)、\(\mathrm{DA}\) の中点を \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\)、\(\mathrm{G}\)、\(\mathrm{H}\) とすると、

四角形 \(\mathrm{EFGH}\) は平行四辺形となる。

 

 

四角形の中点連結定理の証明

例題を通してこの性質を証明していきましょう。

例題

以下の四角形 \(\mathrm{ABCD}\) のそれぞれの辺の中点を点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\)、\(\mathrm{G}\)、\(\mathrm{H}\) とする。

このとき、四角形 \(\mathrm{EFGH}\) が平行四辺形になることを示せ。

 

対角線を引き、\(2\) つの三角形に分けると中点連結定理を利用できますね。

証明

 

対角線 \(\mathrm{AC}\) を引く。

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{BC}\) の中点なので、中点連結定理より

\(\mathrm{EF} \ // \ \mathrm{AC}\) …①

\(\displaystyle \mathrm{EF} = \frac{1}{2} \mathrm{AC}\) …②

 

\(\triangle \mathrm{ADC}\) において、点 \(\mathrm{G}\)、\(\mathrm{H}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{DC}\)、\(\mathrm{DA}\) の中点なので、中点連結定理より

\(\mathrm{HG} \ // \ \mathrm{AC}\) …③

\(\displaystyle \mathrm{HG} = \frac{1}{2} \mathrm{AC}\) …④

 

①、③より、

\(\mathrm{EF} \ // \ \mathrm{HG}\)

 

②、④より、

\(\mathrm{EF} = \mathrm{HG}\)

 

よって、\(1\) 組の向かい合う辺が平行で長さが等しいので、四角形 \(\mathrm{EFGH}\) は平行四辺形である。

 

(証明終わり)

 

中点連結定理の練習問題

最後に中点連結定理のまとめとして、練習問題をいくつか解いていきましょう。

練習問題①「辺の長さを求める」

練習問題①

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、辺 \(\mathrm{BC}\)、\(\mathrm{CA}\)、\(\mathrm{AB}\) の中点をそれぞれ点 \(\mathrm{D}\)、\(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) とする。

\(\mathrm{BC} = 10\)、\(\mathrm{CA} = 8\)、\(\mathrm{DE} = 3\) のとき、以下の問いに答えなさい。

(1) \(\mathrm{AB}\) の長さを求めよ。

(2) \(\mathrm{DF}\) の長さを求めよ。

(3) \(\mathrm{EF}\) の長さを求めよ。

 

どの辺の長さを求めるかによって、頂点ととらえる点の位置が変わります。

対応する辺を間違えないように中点連結定理を使いましょう。

解答

 

(1) 頂点を点 \(\mathrm{C}\) とする。

点 \(\mathrm{D}\)、\(\mathrm{E}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{BC}\)、\(\mathrm{CA}\) の中点なので、中点連結定理より

\(\mathrm{AB} = 2\mathrm{DE} = 2 \cdot 3 = 6\)

 

答え: \(6\)

 

 

(2) 頂点を点 \(\mathrm{B}\) とする。

点 \(\mathrm{D}\)、\(\mathrm{F}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{BC}\)、\(\mathrm{AB}\) の中点なので、中点連結定理より

\(\mathrm{DF} = \displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{CA} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\)

 

答え: \(4\)

 

 

(3) 頂点を点 \(\mathrm{A}\) とする。

点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{CA}\)、\(\mathrm{AB}\) の中点なので、中点連結定理より

\(\mathrm{EF} = \displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{BC} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\)

 

答え: \(5\)

 

練習問題②「台形の中点を結ぶ」

練習問題②

\(\mathrm{GJ} \ // \ \mathrm{HI}\) の台形 \(\mathrm{GHIJ}\) において、\(\mathrm{GJ} = 3\)、\(\mathrm{HI} = 5\)、辺 \(\mathrm{GH}\)、\(\mathrm{JI}\) の中点がそれぞれ点 \(\mathrm{K}\)、\(\mathrm{L}\) のとき、\(\mathrm{KL}\) の長さを求めなさい。

 

点 \(\mathrm{K}\)、\(\mathrm{L}\) は辺 \(\mathrm{GH}\)、\(\mathrm{JI}\) の中点となっています。台形における中点連結定理を利用しましょう。

解答

 

台形 \(\mathrm{GHIJ}\) の上底を \(\mathrm{GJ}\)、下底を \(\mathrm{HI}\) とすると、点 \(\mathrm{K}\)、\(\mathrm{L}\) は辺 \(\mathrm{GH}\)、\(\mathrm{JI}\) の中点なので、台形における中点連結定理より

\(\begin{align} \mathrm{KL} &= \frac{1}{2} (\mathrm{GJ} + \mathrm{HI}) \\ &= \frac{1}{2} (3 + 5) \\ &= 4 \end{align}\)

 

答え:  \(4\)

 

練習問題③「平行四辺形であることを証明する」

練習問題③

四角形 \(\mathrm{ABCD}\) において、点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\)、\(\mathrm{G}\)、\(\mathrm{H}\) は各辺の中点である。

このとき、点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\)、\(\mathrm{G}\)、\(\mathrm{H}\) を結んでできた四角形 \(\mathrm{EFGH}\) が平行四辺形であることを証明しなさい。

 

内角の \(1\) つが \(180^\circ\) を超える凹四角形ですね。

この場合も、通常の四角形と証明手順はなんら変わりません。

対角線を引いて、\(2\) つの三角形に分けてから中点連結定理を利用しましょう。

証明

 

対角線 \(\mathrm{AC}\) を引く。

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{BA}\)、\(\mathrm{BC}\) の中点なので、中点連結定理より

\(\mathrm{EF} \ // \ \mathrm{AC}\) …①

\(\displaystyle \mathrm{EF} = \frac{1}{2} \mathrm{AC}\) …②

 

また、\(\triangle \mathrm{ADC}\) において、点 \(\mathrm{G}\)、\(\mathrm{H}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{DC}\)、\(\mathrm{DA}\) の中点なので、中点連結定理より

\(\mathrm{HG} \ // \ \mathrm{AC}\) …③

\(\displaystyle \mathrm{HG} = \frac{1}{2} \mathrm{AC}\) …④

 

①、③より、

\(\mathrm{EF} \ // \ \mathrm{HG}\) …⑤

 

②、④より、

\(\mathrm{EF} = \mathrm{HG}\) …⑥

 

よって、⑤、⑥より、

\(1\) 組の向かい合う辺が平行で長さが等しいので、四角形 \(\mathrm{EFGH}\) が平行四辺形である。

 

(証明終わり)

以上で練習問題も終わりです!

 

中点連結定理は、\(2\) つの相似な図形の辺の比として、図とともに覚えておくと定着しますよ!

証明問題でもよく使われる定理なので、しっかりと覚えておきましょう。

4 COMMENTS

管理人

この度はコメントいただきありがとうございます。
ご指摘の部分、図に合わせてテキストを修正いたしました。

今後ともどうぞ当サイトをよろしくお願いいたします。

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管理人

該当部分、修正いたしました。
チェックが行き届いておらず、申し訳ありません。
このようにご指摘いただけるととても助かります。

今後ともどうぞ当サイトをよろしくお願いいたします。

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