この記事では、「中点連結定理」の意味や証明、定理の逆についてわかりやすく解説していきます。
また、問題の解き方も簡単に解説していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね！
目次
中点連結定理とは？
中点連結定理とは、三角形の \(\bf{2}\) 辺のそれぞれの中点を結んだ線分について成り立つ定理です。
\(\triangle \mathrm{ABC}\) の \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{AC}\) の中点をそれぞれ \(\mathrm{M}\)、\(\mathrm{N}\) とすると、
\begin{align}\color{red}{\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}、\displaystyle \mathrm{MN} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}}\end{align}
三角形の \(2\) 辺の中点を結んだ線分は残りの \(1\) 辺と平行で、長さはその半分となります。
実は、よく見てみると \(\triangle \mathrm{AMN}\) と \(\triangle \mathrm{ABC}\) は相似比が \(\bf{1 : 2}\) の相似な図形となっています。
そのことをあわせて理解しておくと、定理を忘れてしまっても思い出せますよ！
中点連結定理の使い方【例題】
それでは、例題でこの公式を使ってみましょう。
図の \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、点 \(\mathrm{M}\)、\(\mathrm{N}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{AC}\) の中点である。
このとき、\(\mathrm{MN}\) の長さと \(\angle \mathrm{ABC}\) の大きさを求めなさい。
中点 \(\mathrm{M}\)、\(\mathrm{N}\) を結ぶ線分において、中点連結定理を用います。
中点連結定理より、
\(\begin{align} \mathrm{MN} &= \frac{1}{2} \mathrm{BC} \\ &= \frac{1}{2} \cdot 14 \\ &= 7 \end{align}\)
また、中点連結定理より \(\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}\) なので、同位角は等しい。
よって、
\(\angle \mathrm{ABC} = \angle \mathrm{AMN} = 40^\circ\)
答え： \(\color{red}{\mathrm{MN} = 7}\)、\(\color{red}{\angle \mathrm{ABC} = 40^\circ}\)
中点連結定理の証明
ここでは、中点連結定理の \(2\) 通りの証明方法を示します。
【証明①】三角形の相似を利用
\(1\) つ目は相似な三角形の性質を利用した証明です。
\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、線分 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{AC}\) の中点をそれぞれ \(\mathrm{M}\)、\(\mathrm{N}\) とする。
\(\triangle \mathrm{ABC}\) と \(\triangle \mathrm{AMN}\) において、
点 \(\mathrm{M}\)、\(\mathrm{N}\) はそれぞれ、辺 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{AC}\) の中点なので、
\(\mathrm{AM} : \mathrm{AB} = 1 : 2\) …①
\(\mathrm{AN} : \mathrm{NC} = 1 : 2\) …②
\(\angle \mathrm{A}\) は共通なので、
\(\angle \mathrm{MAN} = \angle \mathrm{BAC}\) …③
①、②、③より、
\(2\) 組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle \mathrm{AMN}\) ∽ \(\triangle \mathrm{ABC}\)
①より、相似比は
\(\triangle \mathrm{AMN} : \triangle \mathrm{ABC} = 1 : 2\) なので、
\(\displaystyle \mathrm{MN} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}\) …④
また、相似な図形では対応する角は等しいので
\(\angle \mathrm{AMN} = \angle \mathrm{ABC}\)
さらに、同位角が等しいので
\(\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}\) …⑤
④、⑤より、中点連結定理が成り立つ。
（証明終わり）
「三角形の相似条件」について忘れている人は復習しておきましょう！
相似とは？三角形の相似条件、記号、相似比・面積比、証明問題
【証明②】平行四辺形の性質を利用
\(2\) つ目は平行四辺形の性質を利用した証明です。
\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、線分 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{AC}\) の中点をそれぞれ \(\mathrm{M}\)、\(\mathrm{N}\) とする。
\(\mathrm{MN}\) の延長上に、\(\mathrm{MN} = \mathrm{ND}\) となる点 \(\mathrm{D}\) をとる。
点 \(\mathrm{D}\)、点 \(\mathrm{A}\)、点 \(\mathrm{C}\) を結ぶ。
また、点 \(\mathrm{M}\) と点 \(\mathrm{C}\) も結ぶ。
四角形 \(\mathrm{AMCD}\) において、
\(\mathrm{AN} = \mathrm{NC}\)、\(\mathrm{MN} = \mathrm{ND}\) より、
対角線がそれぞれの中点で交わるので、
四角形 \(\mathrm{AMCD}\) は平行四辺形である。
よって、
\(\mathrm{AM} = \mathrm{DC}\)、\(\mathrm{AM} \ // \ \mathrm{DC}\) となる。
また、四角形 \(\mathrm{MBCD}\) において、\(\mathrm{AM} = \mathrm{MB}\) より
\(\mathrm{MB} = \mathrm{DC}\)、\(\mathrm{MB} \ // \ \mathrm{DC}\)
となり、向かい合う \(1\) 組の辺が平行かつ等しいので、
四角形 \(\mathrm{MBCD}\) も平行四辺形である。
よって、
\(\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}\)
\(\displaystyle \mathrm{MN} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}\)
となり、中線連結定理が成り立つ。
（証明終わり）
「平行四辺形」については、以下の記事で詳しく説明しています。
平行四辺形とは？定義・条件・性質や面積の公式、証明問題
中点連結定理の証明は問題として出ることもあるので、一通りの流れは把握しておきましょう！
中点連結定理の逆
中点連結定理は、その逆も成立します。
\(\mathrm{AB}\) 上の点 \(\mathrm{M}\) と、\(\mathrm{AC}\) 上の点 \(\mathrm{N}\) が \(\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}\)、\(\displaystyle \mathrm{MN} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}\) ならば、
点 \(\mathrm{M}\)、\(\mathrm{N}\) はそれぞれ、\(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{AC}\) の中点となる。
「平行で長さが半分とくれば、中点だ！」と結びつけておきましょう。
中点連結定理の逆の証明
中点連結定理の逆も、相似な三角形の性質を利用して証明できます。
図の \(\triangle \mathrm{AMN}\) と \(\triangle \mathrm{ABC}\) において、\(\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}\)、\(\displaystyle \mathrm{MN} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}\) とする。
仮定 \(\mathrm{MN} \ // \ \mathrm{BC}\) より、平行線の同位角は等しいので、
\(\angle \mathrm{AMN} = \angle \mathrm{ABC}\) …①
\(\angle \mathrm{ANM} = \angle \mathrm{ACB}\) …②
①、②より
\(2\) つの角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle \mathrm{AMN}\) ∽ \(\triangle \mathrm{ABC}\)
また、仮定 \(\displaystyle \mathrm{MN} = \frac{1}{2} \mathrm{BC}\) より、
\(\mathrm{MN} : \mathrm{BC} = 1 : 2\) なので、相似比は、
\(\triangle \mathrm{AMN} : \triangle \mathrm{ABC} = 1 : 2\)
よって、
\(\mathrm{AM} : \mathrm{AB} = 1 : 2\) となり、\(\mathrm{AM} = \mathrm{MB}\) なので、
点 \(\mathrm{M}\) は、\(\mathrm{AB}\) の中点となる。 …③
同じく、\(\mathrm{AN} : \mathrm{AC} = 1 : 2\) となり、\(\mathrm{AN} = \mathrm{NC}\) なので、
点 \(\mathrm{N}\) は、\(\mathrm{AC}\) の中点となる。 …④
③、④より、中点連結定理の逆が成り立つ。
（証明終わり）
中点連結定理の応用
三角形において成り立つ中点連結定理ですが、実はほかの図形にも応用できます。
ここでは、中点連結定理を応用した内容を \(2\) つ紹介します。
台形の中点連結定理
まずは、台形における中点連結定理の応用です。
\(\mathrm{AD} \ // \ \mathrm{BC}\) である台形 \(\mathrm{ABCD}\) において、辺 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{DC}\) の中点をそれぞれ、点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) とするとき、
\begin{align}\color{red}{\displaystyle \mathrm{EF} = \frac{1}{2} (\mathrm{AD} + \mathrm{BC})}\end{align}
台形の中点連結定理の証明
例題を通してこの性質を証明していきましょう。
\(\mathrm{AD} \ // \ \mathrm{BC}\) である台形 \(\mathrm{ABCD}\) がある。
辺 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{DC}\) の中点をそれぞれ、点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) とするとき、\(\mathrm{EF}\) の長さを文字を使って表しなさい。
補助線を引いて三角形を作ると、簡単に示すことができます。
\(\mathrm{BC}\) の延長上と \(\mathrm{AF}\) の交点を点 \(\mathrm{G}\) とおく。
\(\triangle \mathrm{ADF}\) と \(\triangle \mathrm{GCF}\) において、
対頂角は等しいので
\(\angle \mathrm{AFD} = \angle \mathrm{GFC}\) …①
仮定より、点 \(\mathrm{F}\) は \(\mathrm{DC}\) の中点であるから
\(\mathrm{DF} = \mathrm{CF}\) …②
点 \(\mathrm{G}\) は \(\mathrm{BC}\) の延長線上の点なので
\(\mathrm{AD} \ // \ \mathrm{CG}\) より、平行線の錯角は等しい。
\(\angle \mathrm{ADF} = \angle \mathrm{GCF}\) …③
①、②、③より、
\(1\) つの辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、
\(\triangle \mathrm{ADF} \equiv \triangle \mathrm{GCF}\)
よって、合同な図形では対応する辺の長さは等しいので、
\(\mathrm{AF} = \mathrm{GF}\)
\(\mathrm{AD} = \mathrm{GC}\)
\(\triangle \mathrm{ABG}\) において、
先ほど導いた \(\mathrm{AF} = \mathrm{GF}\) より、点 \(\mathrm{F}\) は辺 \(\mathrm{AG}\) の中点である。
また、\(\mathrm{AD} = \mathrm{GC}\) と \(\mathrm{BG} = \mathrm{BC} + \mathrm{CG}\) より、
\(\mathrm{BG} = \mathrm{AD} + \mathrm{BC}\) …④
点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) はそれぞれの辺の中点なので、中点連結定理より
\(\displaystyle \mathrm{EF} = \frac{1}{2} \mathrm{BG}\)
④を代入すると、
\(\displaystyle \mathrm{EF} = \frac{1}{2} (\mathrm{AD} + \mathrm{BC})\)
よって、台形の平行でない向かい合う \(2\) つの辺の中点を結んだ線分は、上底と下底を合わせた長さの半分である。
つまり、台形における中点連結定理として、
\(\displaystyle \mathrm{EF} = \frac{1}{2} (\mathrm{AD} + \mathrm{BC})\)
が成り立つ。
（証明終わり）
台形については、以下の記事で詳しく説明しています。
台形とは？定義や公式（面積の求め方）、面積比の計算問題
四角形の中点連結定理
次に、四角形における中点連結定理の応用です。
四角形の中点をすべて結ぶと、平行四辺形になるという性質があります。
四角形 \(\mathrm{ABCD}\) の \(4\) 辺 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{BC}\)、\(\mathrm{CD}\)、\(\mathrm{DA}\) の中点を \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\)、\(\mathrm{G}\)、\(\mathrm{H}\) とすると、
四角形 \(\mathrm{EFGH}\) は平行四辺形となる。
四角形の中点連結定理の証明
例題を通してこの性質を証明していきましょう。
以下の四角形 \(\mathrm{ABCD}\) のそれぞれの辺の中点を点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\)、\(\mathrm{G}\)、\(\mathrm{H}\) とする。
このとき、四角形 \(\mathrm{EFGH}\) が平行四辺形になることを示せ。
対角線を引き、\(2\) つの三角形に分けると中点連結定理を利用できますね。
対角線 \(\mathrm{AC}\) を引く。
\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{AB}\)、\(\mathrm{BC}\) の中点なので、中点連結定理より
\(\mathrm{EF} \ // \ \mathrm{AC}\) …①
\(\displaystyle \mathrm{EF} = \frac{1}{2} \mathrm{AC}\) …②
\(\triangle \mathrm{ADC}\) において、点 \(\mathrm{G}\)、\(\mathrm{H}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{DC}\)、\(\mathrm{DA}\) の中点なので、中点連結定理より
\(\mathrm{HG} \ // \ \mathrm{AC}\) …③
\(\displaystyle \mathrm{HG} = \frac{1}{2} \mathrm{AC}\) …④
①、③より、
\(\mathrm{EF} \ // \ \mathrm{HG}\)
②、④より、
\(\mathrm{EF} = \mathrm{HG}\)
よって、\(1\) 組の向かい合う辺が平行で長さが等しいので、四角形 \(\mathrm{EFGH}\) は平行四辺形である。
（証明終わり）
中点連結定理の練習問題
最後に中点連結定理のまとめとして、練習問題をいくつか解いていきましょう。
練習問題①「辺の長さを求める」
\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、辺 \(\mathrm{BC}\)、\(\mathrm{CA}\)、\(\mathrm{AB}\) の中点をそれぞれ点 \(\mathrm{D}\)、\(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) とする。
\(\mathrm{BC} = 10\)、\(\mathrm{CA} = 8\)、\(\mathrm{DE} = 3\) のとき、以下の問いに答えなさい。
(1) \(\mathrm{AB}\) の長さを求めよ。
(2) \(\mathrm{DF}\) の長さを求めよ。
(3) \(\mathrm{EF}\) の長さを求めよ。
どの辺の長さを求めるかによって、頂点ととらえる点の位置が変わります。
対応する辺を間違えないように中点連結定理を使いましょう。
(1) 頂点を点 \(\mathrm{C}\) とする。
点 \(\mathrm{D}\)、\(\mathrm{E}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{BC}\)、\(\mathrm{CA}\) の中点なので、中点連結定理より
\(\mathrm{AB} = 2\mathrm{DE} = 2 \cdot 3 = 6\)
答え： \(6\)
(2) 頂点を点 \(\mathrm{B}\) とする。
点 \(\mathrm{D}\)、\(\mathrm{F}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{BC}\)、\(\mathrm{AB}\) の中点なので、中点連結定理より
\(\mathrm{DF} = \displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{CA} = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4\)
答え： \(4\)
(3) 頂点を点 \(\mathrm{A}\) とする。
点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{CA}\)、\(\mathrm{AB}\) の中点なので、中点連結定理より
\(\mathrm{EF} = \displaystyle \frac{1}{2} \mathrm{BC} = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\)
答え： \(5\)
練習問題②「台形の中点を結ぶ」
\(\mathrm{GJ} \ // \ \mathrm{HI}\) の台形 \(\mathrm{GHIJ}\) において、\(\mathrm{GJ} = 3\)、\(\mathrm{HI} = 5\)、辺 \(\mathrm{GH}\)、\(\mathrm{JI}\) の中点がそれぞれ点 \(\mathrm{K}\)、\(\mathrm{L}\) のとき、\(\mathrm{KL}\) の長さを求めなさい。
点 \(\mathrm{K}\)、\(\mathrm{L}\) は辺 \(\mathrm{GH}\)、\(\mathrm{JI}\) の中点となっています。台形における中点連結定理を利用しましょう。
台形 \(\mathrm{GHIJ}\) の上底を \(\mathrm{GJ}\)、下底を \(\mathrm{HI}\) とすると、点 \(\mathrm{K}\)、\(\mathrm{L}\) は辺 \(\mathrm{GH}\)、\(\mathrm{JI}\) の中点なので、台形における中点連結定理より
\(\begin{align} \mathrm{KL} &= \frac{1}{2} (\mathrm{GJ} + \mathrm{HI}) \\ &= \frac{1}{2} (3 + 5) \\ &= 4 \end{align}\)
答え： \(4\)
練習問題③「平行四辺形であることを証明する」
四角形 \(\mathrm{ABCD}\) において、点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\)、\(\mathrm{G}\)、\(\mathrm{H}\) は各辺の中点である。
このとき、点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\)、\(\mathrm{G}\)、\(\mathrm{H}\) を結んでできた四角形 \(\mathrm{EFGH}\) が平行四辺形であることを証明しなさい。
内角の \(1\) つが \(180^\circ\) を超える凹四角形ですね。
この場合も、通常の四角形と証明手順はなんら変わりません。
対角線を引いて、\(2\) つの三角形に分けてから中点連結定理を利用しましょう。
対角線 \(\mathrm{AC}\) を引く。
\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、点 \(\mathrm{E}\)、\(\mathrm{F}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{BA}\)、\(\mathrm{BC}\) の中点なので、中点連結定理より
\(\mathrm{EF} \ // \ \mathrm{AC}\) …①
\(\displaystyle \mathrm{EF} = \frac{1}{2} \mathrm{AC}\) …②
また、\(\triangle \mathrm{ADC}\) において、点 \(\mathrm{G}\)、\(\mathrm{H}\) はそれぞれ辺 \(\mathrm{DC}\)、\(\mathrm{DA}\) の中点なので、中点連結定理より
\(\mathrm{HG} \ // \ \mathrm{AC}\) …③
\(\displaystyle \mathrm{HG} = \frac{1}{2} \mathrm{AC}\) …④
①、③より、
\(\mathrm{EF} \ // \ \mathrm{HG}\) …⑤
②、④より、
\(\mathrm{EF} = \mathrm{HG}\) …⑥
よって、⑤、⑥より、
\(1\) 組の向かい合う辺が平行で長さが等しいので、四角形 \(\mathrm{EFGH}\) が平行四辺形である。
（証明終わり）
以上で練習問題も終わりです！
中点連結定理は、\(2\) つの相似な図形の辺の比として、図とともに覚えておくと定着しますよ！
証明問題でもよく使われる定理なので、しっかりと覚えておきましょう。