点と直線の距離とは?公式や証明、計算問題

この記事では、「点と直線の距離」の公式や証明をわかりやすく解説していきます。

\(3\) 次元(座標空間)の公式や問題の解き方も説明していますので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

点と直線の距離とは?

点と直線の距離とは、任意の点と直線との最短距離、つまり、点から直線に向けて引いた垂線の長さです。

二次元(座標平面上)において、点と直線の距離を表す公式があります。

 

点と直線の距離の公式

点と直線の距離の公式は次の通りです。

点と直線の距離

点 \(\mathrm{A}(x_1, y_1)\) と直線 \(\ell\) : \(ax + by + c = 0\) の距離 \(D\) は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle D = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}}\end{align}

 

特に、原点 \(\mathrm{O}(0, 0)\) と直線 \(\ell\) との距離 \(D\) は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle D = \frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}}\end{align}

直線の式を一般形で表すのがポイントです。

式の形

  • 一般形: \(ax + by + c = 0\)
  • 基本形: \(y = ax + b\)
  • 切片形: \(\displaystyle \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

 

【発展】点と平面の距離の公式(3次元)

二次元では「点と直線の距離」ですが、三次元(座標空間)では「点と平面の距離」の公式があります。

ある点からある平面への最短距離のことですね。

点と平面の距離

点 \(\mathrm{A}(x_1, y_1, z_1)\) と平面 \(\alpha\) : \(ax + by + cz + d = 0\) の距離 \(D\) は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle D = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}}\end{align}

 

特に、原点 \(\mathrm{O}(0, 0, 0)\) と直線 \(\ell\) との距離 \(D\) は

\begin{align}\color{red}{\displaystyle D = \frac{|d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c ^2}}}\end{align}

よく見ると、二次元の公式とかたちは同じですね。

補足

平面(二次元)と空間(三次元)のイメージはこんな感じです。

 

点と直線の距離の証明

ここでは、点と直線の距離の公式を \(2\) 通りの方法で証明します。

点と直線の距離の証明

点 \(\mathrm{A}(x_1, y_1)\) と直線 \(\ell\) : \(ax + by + c = 0\) の距離 \(D\) が

\begin{align}\displaystyle D = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\end{align}

となることを証明せよ。

 

【証明①】三角形の面積の利用

まずは、三角形の面積を利用した証明です。

証明

 

点 \(\mathrm{A}\) から直線 \(\ell\) に下ろした垂線の足を \(\mathrm{H}\) とおく。

また、点 \(\mathrm{A}\) と \(x\) 座標が同じな \(\ell\) 上の点を \(\mathrm{P}(x_1, y_\mathrm{P})\)、点 \(\mathrm{B}\) と \(y\) 座標が同じな \(\ell\) 上の点を \(\mathrm{Q}(x_\mathrm{Q}, y_1)\) とする。

 

\(\triangle \mathrm{PAQ}\) の面積 \(S\) は次の \(2\) 通りの方法で表すことができる。

  •  \(\displaystyle S = \frac{1}{2} \mathrm{AP} \cdot \mathrm{AQ}\) …①
  •  \(\displaystyle S = \frac{1}{2} \mathrm{PQ} \cdot \mathrm{AH}\) …②

 

\(\mathrm{AP} = p\), \(\mathrm{AQ} = q\) とおくと、

\(\begin{align} \mathrm{PQ} &= \sqrt{\mathrm{AP}^2 + \mathrm{AQ}^2} \\ &= \sqrt{p^2 + q^2} \end{align}\)

 

①より

\(\displaystyle S = \frac{1}{2} pq\)

 

②より

\(\displaystyle S = \frac{1}{2} D \sqrt{p^2 + q^2}\)

 

よって

\(\displaystyle \frac{1}{2} pq = \frac{1}{2} D \sqrt{p^2 + q^2}\)

 

\(\displaystyle D = \frac{pq}{\sqrt{p^2 + q^2}}\) …③

 

ここで、

\(p = \mathrm{AP} = |y_\mathrm{P} − y_1|\)

 

\(\mathrm{P}(x_1, y_\mathrm{P})\) は直線 \(\ell\) 上の点であるから、

\(ax_1 + by_\mathrm{P} + c = 0\)

\(\displaystyle y_\mathrm{P} = −\frac{ax_1 + c}{b}\)

 

よって

\(\begin{align} p &= \left| −\frac{ax_1 + c}{b} −  y_1 \right| \\ &= \frac{1}{|b|} |−ax_1 − c − by_1| \\ &= \frac{1}{|b|} |ax_1 + by_1 + c| \text{ …④}\end{align}\)

 

 

\(q = \mathrm{AQ} = |x_\mathrm{Q} − x_1|\)

 

\(\mathrm{Q}(x_\mathrm{Q}, y_1)\) は直線 \(\ell\) 上の点であるから、

\(ax_\mathrm{Q} + by_1 + c = 0\)

\(\displaystyle x_\mathrm{Q} = −\frac{by_1 + c}{a}\)

 

よって

\(\begin{align} q &= \left| −\frac{by_1 + c}{a} −  x_1 \right| \\ &= \frac{1}{|a|} |−by_1 − c − ax_1| \\ &= \frac{1}{|a|} |ax_1 + by_1 + c| \text{ …⑤}\end{align}\)

 

④、⑤を③に代入すると、

\(\begin{align}D &= \frac{\frac{1}{|b|} |ax_1 + by_1 + c| \cdot \frac{1}{|a|} |ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{\frac{1}{b^2} (ax_1 + by_1 + c)^2 + \frac{1}{a^2} (ax_1 + by_1 + c)^2}}\\&= \displaystyle \frac{\frac{1}{|ab|}(ax_1 + by_1 + c)^2}{\sqrt{(ax_1 + by_1 + c)^2 \frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}}}\\&= \displaystyle \frac{\frac{1}{|ab|} (ax_1 + by_1 + c)^2}{|ax_1 + by_1 + c| \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{|ab|}}\\&= \frac{1}{|ab|} (ax_1 + by_1 + c)^2 \cdot \frac{|ab|}{|ax_1 + by_1 + c| \sqrt{a^2 + b^2}}\\&= \displaystyle \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\end{align}\)

(見切れる場合は横へスクロール)

 

したがって、

\(\displaystyle D = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\) は成り立つ。

 

(証明終わり)

計算は大変でしたが、無事に導けましたね。

 

【証明②】ベクトルの利用

続いて、ベクトルを利用した証明です。

証明

 

直線 \(\ell: ax + by + c = 0\) の法線ベクトルを \(\vec{n}\) とおくと、

\(\vec{n} = (a, b)\)

 

 

\(\mathrm{H}\) の座標を \((X, Y)\) とすると、

\(\overrightarrow{\mathrm{AH}} = (X − x_1, Y − y_1)\)

 

\(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\) は \(\ell\) の法線ベクトルと平行なので、実数 \(t\) を用いて

\((X − x_1, Y − y_1) = t(a, b)\) …①

と表せる。

 

点 \(\mathrm{H}\) が \(\ell\) 上にあるには、\(aX + bY + c = 0\) を満たす \(t\) を求めればよい。

 

①の両辺に対して、\((a, b)\) との内積をとると

\(a(X − x_1) + b(Y − y_1) = ta \cdot a + tb \cdot b\)

\(aX − ax_1 + bY − by_1 = t(a^2 + b^2)\)

 

これと、\(aX + bY = −c\) より

\(−c − ax_1 − by_1 = t(a^2 + b^2)\)

\(a^2 + b^2 \neq 0\) より、

\(\displaystyle t = −\frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2}\)

 

よって、\(\mathrm{AH}\) の長さ、すなわち \(t(a, b)\) の長さは

\(\begin{align} D &= |t| \sqrt{a^2 + b^2} \\ &= \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{a^2 + b^2} \cdot \sqrt{a^2 + b^2} \\ &=  \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \end{align}\)

 

したがって、与式は成り立つ。

 

(証明終わり)

計算式だけで理解しようとすると混乱するので、図をよく見ながら理解していきましょう。

補足

「絶対値」、「法線ベクトル」に不安がある人は、さかのぼって復習しておきましょう。

絶対値とは?記号の外し方や計算、方程式や不等式の解き方 法線、法線ベクトルとは?方程式、2 直線のなす角の求め方

 

点と直線の距離の計算問題

それでは、問題を通して公式の使い方に慣れていきましょう。

計算問題①「原点と直線の距離を求める」

計算問題①

原点と直線 \(2x + 3y + 4 = 0\) の距離を求めよ。

 

公式にそのまま当てはめればよいですね。

この問題では、点の座標が原点 \((0, 0)\) となります。

解答

 

原点と直線の距離を \(D\) とおくと、

 

\(\begin{align} D &= \frac{|2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 4|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} \\ &= \frac{4}{\sqrt{13}} \\ &= \frac{4\sqrt{13}}{13} \end{align}\)

 

答え: \(\displaystyle \frac{4\sqrt{13}}{13}\)

 

計算問題②「直線(基本形)と点の距離を求める」

計算問題②

直線 \(y = −x + 4\) と点 \((4, 6)\) の距離を求めよ。

 

直線の式が基本形で与えられているので、一般形に変形してから公式に当てはめましょう。

解答

 

\(y = −x + 4\) を変形して

\(x + y − 4 = 0\)

 

点\((4, 6)\) と直線 \(x + y − 4 = 0\) の距離を \(D\) とおくと、

\(\begin{align} D &= \frac{|1 \cdot 4 + 1 \cdot 6 − 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} \\ &= \frac{|−4 − 6 + 4|}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{6}{\sqrt{2}} \\ &= \frac{6\sqrt{2}}{2} \\ &= 3\sqrt{2} \end{align}\)

 

答え:  \(3\sqrt{2}\)

いかがでしたか?

 

点と直線の距離は、公式が覚えにくいと感じるかもしれませんね。

問題の数をこなしていけば、パターンが分かってきてサクサク解けるようになりますよ!

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