多角形とは？外角・内角の和、面積、対角線の公式と求め方

 

どのような多角形も対角線を引くことにより、いくつかの三角形に分けられる。

四角形は \(2\) つの三角形、

五角形は \(3\) つの三角形、

六角形は \(4\) つの三角形、

…

つまり、\(n\) 角形は \((n − 2)\) 個の三角形に分けられる。

 

 

\(n\) 角形 を \((n − 2)\) 個の三角形に分けたとき、すべての三角形の内角の和は、もとの \(n\) 角形の内角の和に等しい。

 

三角形の内角の和は \(180^\circ\) であるから、 \(n\) 角形の内角の和は

\(\color{red}{180^\circ (n − 2)}\)

 

（証明終わり）

 

四角形を考える。

 

図の四角形において、外角をそれぞれ \(\angle a_1\)、\(\angle a_2\)、\(\angle a_3\)、\(\angle a_4\)、内角をそれぞれ \(\angle b_1\)、\(\angle b_2\)、\(\angle b_3\)、\(\angle b_4\) とすると、

\(\angle a_1 + \angle b_1 = 180^\circ\) …①

\(\angle a_2 + \angle b_2 = 180^\circ\) …②

\(\angle a_3 + \angle b_3 = 180^\circ\) …③

\(\angle a_4 + \angle b_4 = 180^\circ\) …④

 

よって、すべて外角と内角の和は

①～④より、

\(180^\circ \times 4 = 720^\circ\)

 

そのうち、\(\angle b_1\)、\(\angle b_2\)、\(\angle b_3\)、\(\angle b_4\) は内角であるから、その和は

\(180^\circ \times (4 − 2) = 360^\circ\)

 

よって、四角形の外角の和は

\(720^\circ − 360^\circ = 360^\circ\)

 

 

同様に、\(n\) 角形（\(n\) は \(3\) 以上の自然数）について考える。

\(n\) 角形において、外角を \(\angle a_1\)、\(\angle a_2\)、\(\cdots\)、\(\angle a_n\)、内角を \(\angle b_1\)、\(\angle b_2\)、\(\cdots\)、\(\angle b_n\) とすると、

\(\angle a_1 + \angle b_1 = 180^\circ\)

\(\angle a_2 + \angle b_2 = 180^\circ\)

\(\cdots\)

\(\angle a_n + \angle b_n = 180^\circ\)

 

よって、すべての外角と内角の和は

\(n \times 180^\circ = 180^\circ n\)

 

そのうち、内角 \(\angle b_1 \sim \angle b_n\) の和は

\(180^\circ (n − 2)\)

 

よって、\(n\) 角形の外角の和は

\(180^\circ n − 180^\circ (n − 2) = 360^\circ\)

 

したがって、多角形の外角の和は常に \(360^\circ\) となる。

 

（証明終わり）

 

\(n\) 角形の任意の点 \(\mathrm{A}\) について、

点 \(\mathrm{A}\) 自身と点 \(\mathrm{A}\) の隣り合う頂点には対角線が引けない。

\(n\) 角形には \(n\) 個の頂点があるので、頂点 \(\mathrm{A}\) から引ける対角線の本数は

\((n − 3)\) 本

よって、\(n\) 角形のすべての頂点から引ける対角線の本数は

\(\displaystyle n \times (n − 3) = n(n − 3)\) 本

しかし、この数は \(1\) 本の対角線を \(2\) つの頂点で重複して数えているため、合計本数を \(2\) で割ると

\(\color{red}{\displaystyle \frac{n(n − 3)}{2}}\) 本

 

（証明終わり）

 

(1) 多角形の内角の和の公式より、

\(180^\circ (n − 2)\)

 

正十二角形なので、 \(n = 12\) を代入すると、

\(\begin{align} 180^\circ (12 − 2) &= 180^\circ \cdot 10 \\ &= 1800^\circ \end{align}\)

 

答え：　\(1800^\circ\)

 

 

(2) 多角形の対角線の本数の公式より、

\(\displaystyle \frac{n(n − 3)}{2}\)

 

正十二角形なので、 \(n = 12\) を代入すると、

\(\begin{align} \frac{12(12 − 3)}{2} &= 12 \cdot \frac{9}{2} \\ &= 54 \end{align}\)

 

答え：　\(54\)

 

 

(3) 正十二角形のすべての頂点から対角線を引くと、\(12\) 個の合同な二等辺三角形ができる。

 

この三角形の頂角は

\(360^\circ \div 12 = 30^\circ\)

底辺は \(3\) である。

 

残りの \(2\) 辺を \(r\) とおくと、

余弦定理より

\(3^2 = r^2 + r^2 − 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos 30^\circ\)

\(\displaystyle 9 = 2r^2 − 2r^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(9 = 2 r^2 − \sqrt{3} r^2\)

\((2 − \sqrt{3}) r^2 = 9\)

\(\begin{align} r^2 &= \frac{9}{2 − \sqrt{3}} \\ &= \frac{9(2 + \sqrt{3})}{(2 − \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} \\ &= 9(2 + \sqrt{3}) \text{ …①}\end{align}\)

 

三角形の面積の公式より、

\(\begin{align} S &= \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin 30^\circ \\ &= \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{4} r^2 \text{ …②} \end{align}\)

 

①、②より、

\(\begin{align} S &= \frac{1}{4} \cdot 9(2 + \sqrt{3}) \\ &= \frac{9(2 + \sqrt{3})}{4} \end{align}\)

 

よって、 正十二角形の面積は、

\(\displaystyle \frac{9(2 + \sqrt{3})}{4} \times 12 = 27(2 + \sqrt{3})\)

 

答え：　\(27(2 + \sqrt{3})\)

 

(1) 

\(n\) 角形の内角の和は \(180^\circ (n − 2)\) であるから、内角の和 \(1260^\circ\) を代入すると

\(180^\circ (n − 2) = 1260^\circ\)

\(n − 2 = 7\)

\(n = 9\)

 

答え：　\(n = 9\)

 

 

(2) 

多角形の外角の和は常に \(360^\circ\) なので、正九角形の \(1\) つの外角の大きさは

\(360^\circ \div 9 = 40^\circ\)

 

答え：　\(40^\circ\)

 

 

(3) 

\(n\) 角形の対角線の本数は

\(\displaystyle \frac{n(n − 3)}{2}\)

 

九角形なので、\(n = 9\) を代入すると、

\(\begin{align} \frac{12(9 − 3)}{2} &= 12 \cdot \frac{6}{2} \\ &= 36 \end{align}\)

 

答え：　\(36\)

 

(1) 頂角をそれぞれ \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\) とすると、その和は

\(a + b + c + d + e\)

 

また、三角形の外角の定理を利用すると、図に示すとおり

\(a + c = g\) …①

\(b + d = f\) …②

 

①、②より、

\(\begin{align} a + b + c + d + e &= g + f + e \\ &= 180^\circ \end{align}\)

 

答え：　\(180^\circ\)

 

 

(2) 示された角をそれぞれ \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)、\(e\) とすると、その和は

\(a + b + c + d + e\)

 

また、図のように補助線を引き、残りの角を \(f\)、\(g\)、\(h\)、\(i\) とする。

 

\(\triangle deh\) と \(\triangle fgi\) において、

対頂角は等しいので、

\(h = i\) …①

 

三角形の内角の和は \(180^\circ\) より、

\(h = 180^\circ − (d + e)\) …②

\(i = 180^\circ − (f + g)\) …③

 

①、②、③より、

\(180^\circ − (d + e) = 180^\circ − (f + g)\)

\(d + e = f + g\) …④

となる。

 

よって、④より、

\(a + b + c + d + e = a + b + c + f + g\)

となり、三角形の内角の和と等しくなるので、

\(a + b + c + d + e = 180^\circ\)

 

答え：　\(180^\circ\)