正三角形とは?定義や面積公式、高さや角度の求め方

この記事では、「正三角形」の定義や面積の公式を解説していきます。

また、高さ・角度・重心・辺の長さの求め方についても紹介していくので、ぜひマスターしてくださいね!

 

正三角形とは?【定義】

正三角形とは、\(\bf{3}\) つの辺がすべて等しい三角形です。

正三角形は \(2\) つ以上の \(3\) つの辺がすべて等しいので、二等辺三角形の一種ともいえますね。

このことは証明の問題でも利用されるので、覚えておきましょう。

補足

なお、小・中学校で習う「正三角形の書き方」については以下の記事で説明しています。

正三角形・二等辺三角形・直角三角形の書き方(作図)まとめ!

 

正三角形の定理(性質)

正三角形の定理(性質)はズバリ、正三角形の \(\bf{3}\) つの角はすべて等しいということです。

三角形の内角の和は \(180^\circ\) なので、正三角形の \(1\) つの角は

\(180^\circ \div 3 = \color{red}{60^\circ}\)

\(3\) つの角はそれぞれ \(\color{red}{60^\circ}\) となりますね。

こちらも当たり前の知識として頭に入れておきましょう!

 

正三角形の面積の公式

正三角形の面積は次の公式で求められます。

正三角形の面積の公式

正三角形の \(1\) 辺の長さを \(a\) 、面積を \(S\) とすると、

\begin{align}\color{red}{\displaystyle S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2}\end{align}

 

この公式は、三角比を利用した三角形の面積公式 \(\displaystyle S = \frac{1}{2} ab \sin C\) から導けます。

正三角形の面積を \(S\)、\(1\) 辺の長さを \(a\) とすると、公式 \(\displaystyle S = \frac{1}{2} ab \sin C\) に代入して、

\(\begin{align} S &= \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin 60^\circ \\ &= \frac{1}{2} \cdot a^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &= \color{red}{\frac{\sqrt{3}}{4} a^2} \end{align}\)

 

となります。

 

例題「1 辺が 4 の正三角形の面積」

それでは、例題で公式を使ってみましょう。

例題

\(1\) 辺の長さが \(4\) の正三角形の面積を求めなさい。

 

正三角形の面積の公式に当てはめます。

解答

 

\(\begin{align} S &= \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 4^2 \\ &= 4\sqrt{3} \end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{4\sqrt{3}}\)

この公式を覚えておけば、いちいち高さを求めたり三角比を計算したりしなくても簡単に面積を求められますね!

 

正三角形の角度の求め方

ここでは、正三角形の角度の求め方を次の例題を通して説明します。

例題「\(\angle x\)、\(\angle y\) の大きさ」

例題

図の正三角形 \(\mathrm{ABC}\) の \(\angle x\)、\(\angle y\) の大きさを求めなさい。

 

正三角形の \(1\) つの角は \(60^\circ\) でしたね。

また、外角の和の性質を利用すると \(\angle y\) の大きさも求められます。

解答

 

\(\begin{align} \angle x &= 60^\circ − 35^\circ \\ &= 25^\circ\end{align}\)

 

\(\begin{align} \angle y &= 35^\circ + 60^\circ \\ &= 95^\circ\end{align}\)

 

答え: \(\color{red}{\angle x = 25^\circ}\)\(\color{red}{\angle y = 95^\circ}\)

 

正三角形の高さの求め方

ここでは、正三角形の高さの求め方を解説していきます。

正三角形のある頂点から角の二等分線を下ろすと、合同な \(2\) つの直角三角形ができます。

この直角三角形は、角度が必ず「\(\color{red}{30^\circ, 60^\circ, 90^\circ}\)」となり、辺の比は「\(\color{red}{1: \sqrt{3} : 2}\)」となります。

この性質を知っていると、辺の比から高さを求められます

 

それでは、例題を見てみましょう。

例題「1 辺が 4 の正三角形の高さ」

例題

\(1\) 辺の長さが \(4\) の正三角形 \(\mathrm{ABC}\) があります。

頂点 \(\mathrm{A}\) から辺 \(\mathrm{BC}\) に垂線を下ろし、その交点を点 \(\mathrm{D}\) とします。

このとき、\(\mathrm{AD}\) の長さを求めなさい。

 

正三角形のある頂点から下ろした垂線が「高さ」でしたね。

正三角形特有の辺の比を利用して解いていきましょう。

解答

 

 

正三角形の頂点から下ろした垂直二等分線は辺を二等分するので、

\(\mathrm{BD} = 4 \div 2 = 2\)

 

\(\triangle \mathrm{ABD}\) において、

\(\mathrm{AB} : \mathrm{AD} = 2 : \sqrt{3}\) より

\(4 : \mathrm{AD} = 2 : \sqrt{3}\)

\(2\mathrm{AD} = 4\sqrt{3}\)

よって、\(\mathrm{AD} = 2\sqrt{3}\)

 

答え: \(\color{red}{\mathrm{AD} = 2\sqrt{3}}\)

 

正三角形の重心の求め方

ここでは、正三角形の重心の求め方を説明します。

正三角形の重心には次の特別な性質があります。

正三角形の重心
  • 重心と各頂点を結ぶ線分の長さが等しい
  • 重心と各辺を結ぶ線分の長さがそれぞれ等しい
  • 重心と各辺を結ぶ線分は、各辺と垂直に交わる

 

したがって、正三角形の重心、内心(内接円の中心)、外心(外接円の中心)、垂心は一致する。

 

反対に、ある三角形の重心・内心・外心・垂心のうち \(2\) 点以上が一致すれば、その三角形は正三角形であるといえます。

補足

ちなみに、一般的な三角形の重心の性質は次の通りです。

  • 中線の交点が重心であり、重心はその中線を \(2 : 1\) に分ける。
  • 重心と頂点を結んでできる \(3\) つの三角形の面積の大きさは等しくなる。
五心(重心・内心・外心・垂心・傍心)とは?求め方や性質

 

それでは、例題を使って確認してみましょう。

例題「内接円、外接円の半径を求める」

例題

\(\triangle \mathrm{ABC}\) の重心 \(\mathrm{O}\) が中線を \(2 : 1\) に内分することを利用して、\(1\) 辺が \(6\) の正三角形の内接円の半径と外接円の半径をそれぞれ求めなさい。

 

正三角形の重心である点 \(\mathrm{O}\) は、内心でもあり、外心でもあるといえますね。

これらを利用すると、

  • 内接円の半径 \(\displaystyle \mathrm{OM} = \frac{1}{3} \mathrm{AM}\)
  • 外接円の半径 \(\displaystyle \mathrm{OG} = \frac{2}{3} \mathrm{AM}\)

なので、中線 \(\mathrm{AM}\) の長さがわかればそれぞれの半径の長さも求められます。

解答

 

\(\triangle \mathrm{ABM}\) において、

\(\mathrm{AB} : \mathrm{AM} = 2 : \sqrt{3}\) より

\(6 : \mathrm{AM} = 2 : \sqrt{3}\)

\(\mathrm{AM} = 3\sqrt{3}\)

 

重心 \(\mathrm{O}\) は中線 \(\mathrm{AM}\) を \(2 : 1\) に内分するから、

内接円の半径 \(\mathrm{OM}\) は

\(\begin{align} \mathrm{OM} &= \frac{1}{3} \mathrm{AM} \\ &= \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} \\ &= \sqrt{3} \end{align}\)

 

外接円の半径 \(\mathrm{OG}\) は

\(\begin{align} \mathrm{OG} &= \frac{2}{3} \mathrm{AM} \\ &= \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} \\ &= 2\sqrt{3} \end{align}\)

 

答え: 内接円の半径 \(\color{red}{\sqrt{3}}\)、外接円の半径 \(\color{red}{2\sqrt{3}}\)

 

正三角形の練習問題

最後に正三角形の練習問題を解いてみましょう!

練習問題①「正方形と正三角形」

練習問題①

次の四角形 \(\mathrm{ABCD}\) が正方形、\(\triangle \mathrm{BCE}\) が正三角形のとき、以下の問いに答えなさい。

(1) \(\angle x\)、\(\angle y\) の大きさを求めよ。

(2) \(\triangle \mathrm{BCE}\) の高さを求めよ。

(3) \(\triangle \mathrm{BCE}\) の面積を求めよ。

 

正方形と正三角形が合わさった図形ですね。

どの部分が同じ長さになっているかを考えてみましょう。

解答

 

(1) \(\triangle \mathrm{BCE}\) は正三角形なので、

\(\mathrm{BC} = \mathrm{CE} = \mathrm{EB}\) …①

 

四角形 \(\mathrm{ABCD}\) は正方形なので、

\(\mathrm{AB} = \mathrm{BC} = \mathrm{CD} = \mathrm{DA}\) …②

 

①、②より、

\(\mathrm{AB} = \mathrm{BC} = \mathrm{CD} = \mathrm{DA} = \mathrm{CE} = \mathrm{EB}\)

 

\(\begin{align} \angle \mathrm{ABE} &= 90^\circ − \angle \mathrm{EBC} \\ &= 90^\circ − 60^\circ \\ &= 30^\circ \end{align}\)

 

\(\triangle \mathrm{ABE}\) は二等辺三角形なので、

\(\begin{align} \angle x &= \frac{180^\circ − \angle \mathrm{ABE}}{2}\\&= \frac{180^\circ − 30^\circ}{2} \\ &= 75^\circ \end{align}\)

 

また、

\(\begin{align} \angle \mathrm{DAE} &= 90^\circ − 75^\circ \\ &= 15^\circ \end{align}\)

 

\(\triangle \mathrm{AED}\) も二等辺三角形なので、

\(\begin{align} \angle y &= 180^\circ − 2\angle \mathrm{DAE}\\ &= 180^\circ − 2 \cdot 15^\circ\\ &= 150^\circ \end{align}\)

 

答え: \(\angle x = 75^\circ\)、\(\angle y = 150^\circ\)

 

 

(2) 点 \(\mathrm{E}\) から下ろした垂線が、辺 \(\mathrm{BC}\) と交わる点を \(\mathrm{F}\) とすると、\(\triangle \mathrm{BCE}\) の高さは \(\mathrm{EF}\) となる。

 

\(\triangle \mathrm{BEF}\) は、 \(1 : \sqrt{3} : 2\) の直角三角形なので、

\(\mathrm{BF} : \mathrm{EF} = 1 : \sqrt{3}\)

\(3 : \mathrm{EF} = 1 : \sqrt{3}\)

\(\mathrm{EF} = 3\sqrt{3}\)

 

答え: \(3\sqrt{3}\)

 

 

(3)

\(\begin{align} \triangle \mathrm{BCE} &= \frac{\sqrt{3}}{4} \mathrm{BC^2} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 \\ &= 9\sqrt{3} \end{align}\)

 

(別解)

\(\triangle \mathrm{BCE}\) は底辺が \(6\)、高さが \(3\sqrt{3}\) なので、

\(\begin{align} \triangle \mathrm{BCE} &= \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 3\sqrt{3} \\ &= 9\sqrt{3} \end{align}\)

 

答え: \(9\sqrt{3}\)

 

練習問題②「正三角形であると証明する」

練習問題②

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、重心と内心が一致するとき、\(\triangle \mathrm{ABC}\) は正三角形であることを証明しなさい。

 

重心と内心が一致するパターンでは、中線角の二等分線の性質から三角形の \(2\) 辺が等しいことを示しましょう。

証明

 

\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、仮定より重心と内心は点 \(\mathrm{O}\) で一致する。

直線 \(\mathrm{AO}\) と辺 \(\mathrm{BC}\) の交点を点 \(\mathrm{D}\) とおくと、点 \(\mathrm{O}\) は重心なので、点 \(\mathrm{D}\) は \(\mathrm{BC}\) の中点となる。

よって、

\(\mathrm{BD} = \mathrm{CD}\) …①

 

また、点 \(\mathrm{O}\) は内心でもあるので、\(\mathrm{AD}\) は \(\angle \mathrm{BAC}\) の二等分線である。

よって、

\(\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = \mathrm{BD} : \mathrm{CD}\) …②

 

①、②より、

\(\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = 1 : 1\)

\(\mathrm{AB} = \mathrm{AC}\) …③

 

直線 \(\mathrm{BO}\) と辺 \(\mathrm{AC}\) の交点を点 \(\mathrm{E}\) とおくと、先ほどと同様にして

\(\mathrm{BA} = \mathrm{BC}\) …④

 

③、④より \(\mathrm{AB} = \mathrm{BC} = \mathrm{CA}\) となり、\(\triangle \mathrm{ABC}\) は \(3\) 辺がすべて等しい三角形である。

 

よって、\(\triangle \mathrm{ABC}\) において、重心と内心が一致するとき、\(\triangle \mathrm{ABC}\) は正三角形である。

 

(証明終わり)

補足

「角の二等分線」については以下の記事で解説しています。

角の二等分線とは?定理や比の性質、証明、問題、作図方法

以上で計算問題も終わりです!

 

正三角形について理解が深まりましたか?

知っていて当たり前の知識ばかりなので、しっかりと定着させましょう!

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です