有理数・無理数とは?定義や具体例、違いと見分け方、証明問題

この記事では、「有理数」「無理数」の定義や違いをできるだけわかりやすく解説していきます。

\(0\) の位置付けや簡単な問題なども紹介していきますので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね。

 

有理数・無理数とは?【定義】

有理数とは、整数のわり算、つまり分数で表せる実数です。
整数 \(\div\) 整数(または \(\displaystyle \frac{整数}{整数}\))にできる数すべてをいいます。

一方、無理数とは有理数ではない実数のことを指します。

有理数と無理数の定義

整数 \(a, b\)(ただし、\(b \neq 0\))を用いて、

\(\color{red}{a \div b}\) すなわち \(\color{red}{\displaystyle \frac{a}{b}}\) で表せる実数を有理数、表せない実数を無理数という。

 

有理数・無理数の具体例

有理数と無理数には、以下のような数が含まれます。

 

有理数・無理数の違いと見分け方

有理数と無理数を見分けるには、ズバリ「分数(整数 \(\div\) 整数)にできるか」を調べます。

次の数は分数で表せるので、すべて有理数です。

  • 整数
    \(0\) を含め、整数はすべて分数で表せます。
    (例)\(3 = \displaystyle \frac{3}{1}\)
  • 有限小数
    有限小数も分数で表せますね。
    (例)\(0.5 = \displaystyle \frac{1}{2}\)、\(− 0.25 = − \displaystyle \frac{1}{4}\)
  • 循環小数
    無限に続く数ではありますが、これも分数に直せるので立派な有理数です。
    (例) \(0.333333\cdots = \displaystyle \frac{1}{3}\)、\(− 0.133333\cdots = − \displaystyle \frac{2}{15}\)

 

一方、無限小数のうちの「非循環小数」は、分数で表すことができないので無理数です。

(例)

  • \(\sqrt{2} = 1.41421356\cdots\) などの平方根
  • 円周率 \(\pi = 3.141592\cdots\)

同じ無限小数でも、「循環小数」は有理数、「非循環小数」は無理数であることに注意しましょう。

合わせて読みたい

数の分類については「実数」の記事で、循環小数については「循環小数」の記事で詳しく説明しています。

実数とは?0 は実数?定義や記号、虚数との関係や計算方法 循環小数とは?分数に直す方法や記号による表し方、計算問題

 

有理数と無理数の練習問題

それではさっそく、イメージをつかむために練習してみましょう。

練習問題「有理数と無理数に分類」

練習問題

以下の数字について、問いに答えなさい。

 

\(− 6、\sqrt{7}、\displaystyle \frac{4}{3}、\pi、0.134、\displaystyle \frac{11}{2}、0\)

 

(1) 有理数、無理数に分類しなさい。

(2) 整数、有限小数、無限小数に分類しなさい。

 

有理数は分数(整数 \(\div\) 整数)に直せる実数、無理数はそれ以外の実数でしたね。

また、小数のうち、有限小数は小数点以下が有限なもの、無限小数は無限に続くものです。

(2) では、それぞれの数字を小数であらわして、\(1\) つずつ確認してみましょう。

解答

 

(1)

それぞれの数を分数に直すと、

  • \(− 6 = − \displaystyle \frac{6}{1}\)
  • \(\sqrt{7}\) (×)
  • \(\displaystyle \frac{4}{3}\)
  • \(\pi\)(×)
  • \(0.134 = \displaystyle \frac{134}{1000}\)
  • \(\displaystyle \frac{11}{2}\)
  • \(0 = \displaystyle \frac{0}{1}\)

 

\(\sqrt{7}\) と \(\pi\) は分数にできないため、無理数である。

 

 

答え:

  • 有理数 \(− 6、\displaystyle \frac{4}{3}、0.134、\displaystyle \frac{11}{2}、0\)
  • 無理数 \(\sqrt{7}、\pi\)

 

 

(2)

それぞれの数を小数に直すと、

  • \(− 6\)
  • \(\sqrt{7} = 2.6457513\cdots\)
  • \(\displaystyle \frac{4}{3} = 1.333333\cdots\)
  • \(\pi = 3.141592\cdots\)
  • \(0.134\)
  • \(\displaystyle \frac{11}{2} = 5.5\)
  • \(0 = \displaystyle \frac{0}{1} = 0\)

 

\(− 6\) と \(0\) は、小数点以下が \(0\) になる整数である。

\(\sqrt{7}\)、\(\displaystyle \frac{4}{3}\)、\(\pi\) は小数点以下の数字が無限に続く無限小数である。

 

 

答え:

  • 整数 \(− 6、0\)
  • 有限小数 \(0.134、\displaystyle \frac{11}{2}\)
  • 無限小数 \(\sqrt{7}、\displaystyle \frac{4}{3}、\pi\)

 

有理数と無理数の証明問題

有理数と無理数について、だいたいのイメージはつかめてきたでしょうか。

最後に \(1\) つ、無理数の証明をしてみましょう。

証明問題「√3 が無理数であることを証明」

証明問題

\(\sqrt{3}\) は無理数であることを証明せよ。

 

無理数の証明は、\(\sqrt{3}\) が有理数であるという仮定のもと、背理法を利用します。

証明

 

\(\sqrt{3}\) は有理数であると仮定する。

このとき、互いに素な自然数 \(p, q\) を使い、

\(\sqrt{3} = \displaystyle \frac{q}{p}\) とおく。

 

両辺を二乗して根号を外すと、

\(3 = \left(\displaystyle \frac{q}{p}\right)^2\)

 

さらに、分母を移項し、

\(3p^2 = q^2\)

左辺が \(3\) の倍数となっているため、右辺 \(q^2\) も \(3\) の倍数である。

したがって、\(q\) も \(3\) の倍数となる。

 

このとき、\(n\) を自然数として \(q = 3n\) とすると、

\(3p^2 = 9n^2\)

 

右辺が \(9\) の倍数となっているため、左辺 \(3p^2\) も \(9\) の倍数である。

したがって、 \(p^2\) は \(3\) の倍数となり、 \(p\) も \(3\) の倍数となる。

 

以上は、\(p\) と \(q\) が互いに素であるということに矛盾している。

したがって、\(\sqrt{3}\) は無理数である。

 

(証明終わり)

以上で、すべての解説は終わりです!

 

有理数・無理数は、分数や小数に直してあげると違いがわかりやすいです。

とても大事な概念なので、よく慣れて、理解しておきましょう!

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。 * が付いている欄は必須項目です