期待値とは？計算公式や求め方をわかりやすく解説！

 

全事象を \(U\) とすると、起こりうる事象はそれぞれ以下のとおり。

\(A\) : \(3\) 枚とも裏

\(B\) : \(1\) 枚が表で \(2\) 枚が裏

\(C\) : \(2\) 枚が表で \(1\) 枚が裏

\(D\) : \(3\) 枚とも表

 

各硬貨の出方は表になるか裏になるかの \(2\) 通りなので、全事象 \(U\) の場合の数は

\(n(U) = 2 \times 2 \times 2 = 8\)（通り）

 

(1) \(3\) 枚の硬貨を投げて表が \(2\) 枚出る場合の数は、

\(n(C) = {}_3 \mathrm{C}_2= \displaystyle \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 1}= 3\)

 

したがって、求める確率は

\(P(C) = \displaystyle \frac{n(C)}{n(U)}= \displaystyle \frac{3}{8}\)

 

答え：　\(\displaystyle \frac{3}{8}\)

 

 

(2)「\(3\) 枚とも裏」が出る場合の数は、「\(3\) 枚とも表」が出る場合の数と等しいので

\(n(A) = n(D) = {}_3 \mathrm{C}_3 = 1\)（通り）

 

また、「\(1\) 枚が表で \(2\) 枚が裏」が出る場合の数は「\(2\) 枚が表で \(1\) 枚が裏」が出る場合の数と等しいので

\(n(B) = n(C) = 3\)（通り）

 

したがって、各事象が起こる確率は、

\(P(A) = P(D) = \displaystyle \frac{1}{8}\)

\(P(B) = P(C) = \displaystyle \frac{3}{8}\)

 

確率変数 \(X\) を表が出る枚数とすると、

\(X(A) = 0\), \(X(B) = 1\), \(X(C) = 2\), \(X(D) = 3\)

である。

求めたい期待値は、

\(E[X]\)

\(= X(A)P(A) + X(B)P(B) \) \(+ \ X(C)P(C) + X(D)P(D)\)

 

\(= 0 \cdot \displaystyle \frac{1}{8} + 1 \cdot \displaystyle \frac{3}{8} \) \(+ \ 2 \cdot \displaystyle \frac{3}{8} + 3 \cdot \displaystyle \frac{1}{8}\)

 

­\(= \displaystyle \frac{0 + 3 + 6 + 3}{8}\)

 

\(= \displaystyle \frac{12}{8}\)

 

\(= \displaystyle \frac{3}{2}\)

 

答え：　\(\displaystyle \frac{3}{2}\)

 

(1)

サイコロを投げて出る目のうち、 \(3\) の倍数は \(3 , 6\) の \(2\) 通りであるから、求めたい確率は

\(\displaystyle \frac{2}{6} = \displaystyle \frac{1}{3}\)

 

答え：　\(\displaystyle \frac{1}{3}\)

 

 

(2)

サイコロを \(4\) 回投げたとき、\(3\) の倍数が出る回数は \(0\) 〜 \(4\) 回のいずれかである。

 

\(3\) の倍数が \(0, 1, 2, 3, 4\) 回出る事象をそれぞれ \(A , B , C , D , E\) で表すと、それぞれの確率変数 \(X\) は

\(X(A) = 4\), \(X(B) = 3\), \(X(C) = 2\), \(X(D) = 1\), \(X(E) = 0\)

 

(1) より、

\(1\) 回の試行で \(3\) の倍数の目が出る確率は \(\displaystyle \frac{1}{3}\)、

\(3\) の倍数以外の目が出る確率は \(1 − \displaystyle \frac{1}{3} = \displaystyle \frac{2}{3}\) であるから、

 

\(\begin{align}P(A) &= {}_4 \mathrm{C}_0 \times \left(\displaystyle \frac{2}{3}\right)^4\\\\&= 1 \times \displaystyle \frac{16}{81}\\\\&= \displaystyle \frac{16}{81}\end{align}\)

 

 

\(\begin{align}P(B) &= {}_4 \mathrm{C}_1 \times \displaystyle \frac{1}{3} \times \left(\displaystyle \frac{2}{3}\right)^3\\\\&= 4 \times \displaystyle \frac{1}{3} \times \displaystyle \frac{8}{27}\\\\&= \displaystyle \frac{32}{81}\end{align}\)

 

 

\(\begin{align}P(C) &= {}_4 \mathrm{C}_2 \times \left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^2 \times \left(\displaystyle \frac{2}{3}\right)^2\\\\&= \displaystyle \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} \times \displaystyle \frac{1}{9} \times \displaystyle \frac{4}{9}\\\\&= 6 \times \displaystyle \frac{1}{9} \times \displaystyle \frac{4}{9}\\\\&= \displaystyle \frac{24}{81}\end{align}\)

 

 

\(\begin{align}P(D) &= {}_4 \mathrm{C}_3 \times \left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^3 \times \displaystyle \frac{2}{3}\\\\&= {}_4 \mathrm{C}_1 \times \displaystyle \frac{1}{27} \times \displaystyle \frac{2}{3}\\\\&= 4 \times \displaystyle \frac{1}{27} \times \displaystyle \frac{2}{3}\\\\&= \displaystyle \frac{8}{81}\end{align}\)

 

 

\(\begin{align}P(E) &= {}_4 \mathrm{C}_4 \times \left(\displaystyle \frac{1}{3}\right)^4\\\\&= 1 \times \displaystyle \frac{1}{81}\\\\&= \displaystyle \frac{1}{81}\end{align}\)

したがって、求める期待値は

 

\(E[X]\)

 

\(= X(A)P(A) + X(B)P(B) + X(C)P(C)\) \(+ \ X(D)P(D) + X(E)P(E)\)

 

\(= \left(\displaystyle \frac{16}{81} \times 0\right) + \left(\displaystyle \frac{32}{81} \times 1\right) + \left(\displaystyle \frac{24}{81} \times 2\right)\) \(+ \left(\displaystyle \frac{8}{81} \times 3\right) + \left(\displaystyle \frac{1}{81} \times 4\right)\)

­­

 

\(= 0 + \displaystyle \frac{32}{81} + \displaystyle \frac{48}{81} + \displaystyle \frac{24}{81} + \displaystyle \frac{4}{81}\)

 

\(= \displaystyle \frac{108}{81}\)

 

\(= \displaystyle \frac{4}{3}\)

 

答え：　 \(\displaystyle \frac{4}{3}\)