この記事では「偶関数」と「奇関数」の意味や見分け方をわかりやすく解説していきます。
また、偶関数と奇関数の定積分の公式とその使い方についても説明していくので、この記事を通してぜひマスターしてくださいね！
目次
偶関数・奇関数とは？
偶関数と奇関数は、それぞれ特別な対称性をもつ関数です。
- 偶関数：\(y\) 軸について対称（線対称）な関数
- 奇関数：原点について対称（点対称）な関数
偶関数・奇関数の定義
偶関数または奇関数である関数は、次のように定義できます。
任意の実数 \(x\) に対し、
- \(\color{red}{f(−x) = f(x)}\) を満たす関数を「偶関数」
- \(\color{red}{f(−x) = −f(x)}\) を満たす関数を「奇関数」
という。
つまり、\(x\) を \(−x\) に置き換えた時、\(f(x)\) と同じ値になるのが偶関数、\(f(x)\) の \(−1\) 倍になるのが奇関数ということです。
すべての関数が「偶関数」または「奇関数」に分類されるわけではありません。
多くの関数は「どちらでもない関数」です。
代表的な偶関数・奇関数
関数のかたちから、偶関数か奇関数かが一目でわかる代表的な関数があります。
ずばり、べき乗関数（\(x^n\)）、三角関数、定数関数は、以下のルールで偶関数か奇関数かを見分けられます。
- べき乗関数の場合
- \(x^n\)（\(n\) が偶数の場合） → 偶関数
- \(x^n\)（\(n\) が奇数の場合） → 奇関数
- 三角関数の場合
- \(\cos x\) → 偶関数
- \(\sin x, \tan x\) → 奇関数
- 定数関数の場合 → 偶関数
（ただし、定数関数 \(y = 0\) は偶関数かつ奇関数）
定数関数
\(y\) の値が \(x\) によらず一定である関数。
（例）\(f(x) = 3\)
定数関数は \(x\) 軸に平行な直線となり、\(y\) 軸について対称であるから偶関数なのですね。
偶関数と奇関数の和・差・積・商
偶関数と奇関数の和・差・積・商には、一定の法則が成り立ちます。
偶奇が同じ関数同士ならば、足しても引いても偶奇は変わりません。一方で、偶奇が異なる関数同士を足し引きするとどちらでもない関数になります。
\begin{align}\color{red}{\text{(偶関数)} \pm \text{(偶関数)} = \text{(偶関数)}}\end{align}
\begin{align}\color{red}{\text{(奇関数)} \pm \text{(奇関数)} = \text{(奇関数)}}\end{align}
\begin{align}\color{red}{\text{(偶関数)} \pm \text{(奇関数)} = \text{(どちらでもない関数)}}\end{align}
偶奇が同じ関数同士をかけたり割ったりすると偶関数に、異なる種類同士をかけたり割ったりすると奇関数になります。
\begin{align}\color{red}{\text{(偶関数)} \times \text{(偶関数)} = \text{(偶関数)}}\end{align}
\begin{align}\color{red}{\text{(奇関数)} \times \text{(奇関数)} = \text{(偶関数)}}\end{align}
\begin{align}\color{red}{\text{(偶関数)} \times \text{(奇関数)} = \text{(奇関数)}}\end{align}
\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{\text{(偶関数)}}{\text{(偶関数)}} = (\text{偶関数})}\end{align}
\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{\text{(奇関数)}}{\text{(奇関数)}} = \text{(偶関数)}}\end{align}
\begin{align}\color{red}{\displaystyle \frac{\text{(偶関数)}}{\text{(奇関数)}} = \text{(奇関数)}}\end{align}
偶関数と奇関数の見分け方
ある関数が偶関数・奇関数・どちらでもない関数かを見分ける方法を説明します。
見分け方には、① \(f(−x)\) を計算する方法と、② 項ごとに偶奇を考える方法の \(2\) つがあります。
見分け方① f(−x) を計算する
偶関数・奇関数の定義に従って、\(x\) の値に \(−x\) を代入した \(f(−x)\) の値がどうなるかを確認する方法です。
以下の \(x\) の関数は、偶関数・奇関数・どちらでもない関数のどれにあたるか。
(1) \(f(x) = 2x^2 + 1\)
(2) \(f(x) = x \cos x\)
(3) \(f(x) = 1 − x^3\)
\(f(−x) = f(x)\) ならば偶関数、\(f(−x) = −f(x)\) ならば奇関数といえます。
(1)
\(\begin{align} f(−x) &= 2(−x)^2 + 1 \\ &= (−1)^2 \cdot 2x^2 + 1 \\ &= 2x^2 + 1 \\ &= f(x) \end{align}\)
より、偶関数。
(2)
\(\begin{align} f(−x) &= (−x) \cos(−x) \\ &= −x \cos x \\ &= −f(x) \end{align}\)
より、奇関数。
(3)
\(\begin{align} f(−x) &= 1 − (−x)^3 \\ &= 1 + x^3 \end{align}\)
より、どちらでもない関数。
このように求めることができました。とはいえ、毎回代入計算をするのも大変です。
そこで、次の方法の出番です。
見分け方② 項ごとに偶奇を考える
複雑な関数であっても、項ごとに偶奇を考えることで関数全体の偶奇を判断することができます。
先ほどと同じ例題で説明します。
以下の \(x\) の関数は、偶関数・奇関数・どちらでもない関数のどれにあたるか。
(1) \(f(x) = 2x^2 + 1\)
(2) \(f(x) = x \cos x\)
(3) \(f(x) = 1 − x^3\)
各項に含まれるべき乗関数、三角関数、定数関数など代表的な偶関数・奇関数を見極めます。
そのあと、偶関数・奇関数の和・差・積・商の性質から関数全体の偶奇を判断します。
(1) \(f(x) = 2x^2 + 1\)
\(2x^2\) は偶関数、\(1\) も偶関数。
\(\text{(偶関数)} + \text{(偶関数)} = \text{(偶関数)}\) であるから、
\(f(x)\) は偶関数。
(2) \(f(x) = x \cos x\)
\(x\) は奇関数、\(\cos x\) は偶関数。
\(\text{(奇関数)} \times \text{(偶関数)} = \text{(奇関数)}\) であるから、
\(f(x)\) は奇関数。
(3) \(f(x) = 1 − x^3\)
\(1\) は偶関数、\(x^3\) は奇関数。
\(\text{(偶関数)} − \text{(奇関数)} = \text{(どちらでもない関数)}\) であるから、
\(f(x)\) はどちらでもない関数。
このように、計算なしで簡単に偶奇を見分けることができましたね！
この方法は最初から丸暗記するのではなく、まずは見分け方① \(f(−x)\) を計算する方法を理解した上で、感覚的に身につけていきましょう。
練習問題「\(\displaystyle −x(x^4 + 3) \sin \left( \frac{x}{x^2 + 1} \right)\) の偶奇」
\(\displaystyle f(x) = −x(x^4 + 3) \sin \left( \frac{x}{x^2 + 1} \right)\) は偶関数、奇関数、どちらでもない関数のどれにあたるか答えよ。
\(f(−x)\) を計算してももちろん求められますが、多分あまり気乗りしませんよね。
このように式が長くて複雑なときは、個々の項の偶奇を調べて関数全体の偶奇を判断しましょう。
\(\displaystyle f(x) = −x(x^4 + 3) \sin \left( \frac{x}{x^2 + 1} \right)\)
について、
- \(−x\) → \(\text{(奇)}\)
- \(x^4 + 3\)
\(\text{(偶)}+ \text{(偶)}\) → \(\text{(偶)}\) - \(\displaystyle \sin \left( \frac{x}{x^2 + 1} \right)\)
\(\displaystyle \frac{x}{x^2 + 1}\) は \(\displaystyle \frac{\text{(奇)}}{\text{(偶)} + \text{(偶)}} = \frac{\text{(奇)}}{\text{(偶)}}\) → \(\text{(奇)}\)
よって、\(\sin \text{(奇)}\) → \(\text{(奇)}\)
以上より、
\(\begin{align} f(x) &= (\text{奇}) \times (\text{偶}) \times (\text{奇}) \\ &= \{(\text{奇}) \times (\text{偶})\} \times (\text{奇}) \\ &= (\text{奇}) \times (\text{奇}) \\ &= (\text{偶}) \end{align}\)
答え： 偶関数
ところで、そもそもある関数が偶関数か奇関数かを知ることの何が重要なのでしょうか？
次の章で、偶関数・奇関数の判別がとても役に立つ場面を紹介していきます！
偶関数・奇関数の定積分の公式
偶関数と奇関数の判別は、「定積分」でものすごく力を発揮します。
定積分における被積分関数が偶関数または奇関数のとき、次の公式が成り立ちます。
任意の実数 \(a\) に対し、
- \(f(x)\) が偶関数のとき
\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int_{−a}^a f(x) \, dx = 2 \int_0^a f(x) \, dx}\end{align} - \(f(x)\) が奇関数のとき
\begin{align}\color{red}{\displaystyle \int_{−a}^a f(x) \, dx = 0}\end{align}
複雑な関数の定積分もあっという間に計算できるため、とても強力な公式です。
積分区間が \(x = 0\) について対称な定積分では、必ず関数の偶奇を調べるようにしましょう。
公式が成り立つ理由
定積分はグラフの面積を求める計算でしたね。
偶関数と奇関数の対称性から、積分区間が \(x = 0\) について対称であれば、求める面積は次のようになります。
\(y\) 軸 \((x = 0)\) を境に見ると、偶関数は \(x < 0\) の部分と \(0 < x\) の部分の面積が等しくなります（\(x\) 軸より下の部分は負の面積であるため）。
一方で、奇関数では \(x < 0\) の部分と \(0 < x\) の部分の面積が完全に打ち消し合います。
したがって、\(−a\) から \(a\) で積分すると、偶関数ならば \(x > 0\) の部分の面積の \(2\) 倍になり、奇関数ならばどんな関数であっても値は \(0\) になるのですね。
定積分の定義や面積との関係について説明しています。
定積分とは？計算・面積公式や求め方をわかりやすく解説！
計算問題①「多項式関数の定積分」
それでは、さまざまな関数を定積分する計算問題に挑戦しましょう。
偶関数・奇関数の定積分の公式を使って楽に解けることを実感してみてください！
次の定積分を計算せよ。
\(\displaystyle \int_{−2}^2 (5x^5 + x^2 + 3x + 1) \, dx\)
べき乗を含む多項式の定積分の問題です。
積分区間が \(x = 0\) について対称なので、項を偶奇で分別すれば偶関数・奇関数の定積分の公式を適用できます。
\(5x^5\), \(3x\) は奇関数、\(x^2\), \(1\) は偶関数であるから
\(\displaystyle \int_{−2}^2 (5x^5 + x^2 + 3x + 1) \, dx\)
\(\displaystyle = \int_{−2}^2 (5x^5 + 3x) \, dx + \int_{−2}^2 (x^2 + 1) \, dx\)
\(\displaystyle = 0 + 2 \int_0^2 (x^2 + 1) \, dx\)
\(\displaystyle = 2 \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^2\)
\(\displaystyle = 2 \left( \frac{8}{3} + 2 \right)\)
\(\displaystyle = 2 \cdot \frac{14}{3}\)
\(\displaystyle = \frac{28}{3}\)
答え： \(\color{red}{\displaystyle \frac{28}{3}}\)
偶関数・奇関数の性質を使わない場合、積分後の代入計算の手間が増えます。
（見切れる場合は横へスクロール）
\(\displaystyle \int_{−2}^2 (5x^5 + x^2 + 3x + 1) \, dx\)
\(\displaystyle = \left[\frac{5}{6}x^6 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x \right]_{−2}^2\)
\(\displaystyle = \frac{5}{6}\{2^6 − (−2)^6\} + \frac{1}{3}\{2^3 − (−2)^3\} + \frac{3}{2}\{2^2 − (−2)^2\} + \{2 − (−2)\}\)
\(\displaystyle = \frac{5}{6}(64 − 64) + \frac{1}{3}\{8 − (−8)\} + \frac{3}{2}(4 − 4) + (2 + 2)\)
\(\displaystyle = \frac{5}{6} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 16 + \frac{3}{2} \cdot 0 + 4\)
\(\displaystyle = \frac{16}{3} + 4\)
\(\displaystyle = \frac{16 + 12}{3}\)
\(\displaystyle = \frac{28}{3}\)
答え： \(\color{red}{\displaystyle \frac{28}{3}}\)
計算問題②「どちらでもない関数の定積分」
次の定積分を計算せよ。
\(\displaystyle \int_{−1}^1 (x + 1)(x^4 + 1) \, dx\)
今度は積を含む多項式の定積分です。
積分区間が \(x = 0\) について対称なので、偶関数・奇関数の積分公式を使いたいところです。
そのままだと「どちらでもない関数」となってしまうので、少し工夫してみましょう。
\((x + 1)(x^4 + 1) = x(x^4 + 1) + (x^4 + 1)\)
ここで、\(x\) は奇関数、\(x^4\), \(1\) はともに偶関数であるから、
\(x(x^4 + 1)\) は奇関数、 \((x^4 + 1)\) は偶関数である。
したがって、
\(\displaystyle \int_{−1}^1 (x + 1)(x^4 + 1) \, dx\)
\(\displaystyle = \int_{−1}^1 \{x(x^4 + 1) + (x^4 + 1)\} \, dx\)
\(\displaystyle = \int_{−1}^1 x(x^4 + 1) dx + \int_{−1}^1 (x^4 + 1) \, dx\)
\(\displaystyle = 0 + 2 \int_0^1 (x^4 + 1) \, dx\)
\(\displaystyle = 2 \left[ \frac{x^5}{5} + x \right]_0^1\)
\(\displaystyle = 2 \left( \frac{1}{5} + 1 \right)\)
\(\displaystyle = 2 \cdot \frac{6}{5}\)
\(\displaystyle = \frac{12}{5}\)
答え： \(\color{red}{\displaystyle \frac{12}{5}}\)
式を展開してふつうに積分する場合、積分後の代入計算の手間が増えます。
（見切れる場合は横へスクロール）
\(\displaystyle \int_{−1}^1 (x + 1)(x^4 + 1) \, dx\)
\(\displaystyle = \int_{−1}^1 (x^5 + x^4 + x + 1)\} \, dx\)
\(\displaystyle = \left[\frac{x^6}{6} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^2}{2} + x \right]_{−1}^1\)
\(\displaystyle = \frac{1^6 − (−1)^6}{6} + \frac{1^5 − (−1)^5}{5} + \frac{1^2 − (−1)^2}{2} + \{1 − (−1)\}\)
\(\displaystyle = \frac{1 − 1}{6} + \frac{1 − (−1)}{5} + \frac{1 − 1}{2} + (1 + 1)\)
\(\displaystyle = \frac{0}{6} + \frac{2}{5} + \frac{0}{2} + 2\)
\(\displaystyle = \frac{2}{5} + 2\)
\(\displaystyle = \frac{2 + 10}{5}\)
\(\displaystyle = \frac{12}{5}\)
答え： \(\color{red}{\displaystyle \frac{12}{5}}\)
計算問題③「三角関数を含む定積分」
この問題は数 Ⅲ の三角関数の積分の内容を含みます。
次の定積分を計算せよ。
\(\displaystyle \int_{−\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} (\cos x − \sin x) \, dx\)
もちろんそのまま定積分もできますが、関数の偶奇に着目すれば簡単に答えがわかります。
\(\cos x\) は偶関数、\(\sin x\) は奇関数なので、
\(\displaystyle \int_{−\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} (\cos x − \sin x) \, dx\)
\(\displaystyle = \int_{−\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \cos x \, dx − \int_{−\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \sin x \, dx\)
\(\displaystyle = 2 \int_0^{\frac{\pi}{3}} \cos x \, dx − 0\)
\(\displaystyle = 2\left[ \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle = 2 \sin \frac{\pi}{3}\)
\(\displaystyle = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(= \sqrt{3}\)
答え： \(\color{red}{\sqrt{3}}\)
そのまま積分すると、頑張って代入計算したうちの半数が結局相殺されることがわかりますね。
（見切れる場合は横へスクロール）
\(\displaystyle \int_{−\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} (\cos x − \sin x) \, dx\)
\(\displaystyle = \left[ \sin x + \cos x \right]_{−\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}\)
\(\displaystyle = \left(\sin \frac{\pi}{3} − \sin \left(−\frac{\pi}{3}\right)\right) + \left(\cos \frac{\pi}{3} − \cos \left(−\frac{\pi}{3}\right)\right)\)
\(\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} − \left(−\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \frac{1}{2} − \frac{1}{2}\)
\(\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(= \sqrt{3}\)
答え： \(\color{red}{\sqrt{3}}\)
関数の種類に応じた積分公式を説明しています。
不定積分とは？公式ややり方をわかりやすく解説（分数の問題も）
以上で問題も終わりです。
一見複雑な計算問題も、偶関数・奇関数の対称性をうまく使えば、簡単に答えにたどり着けることが実感できたかと思います。
偶関数・奇関数をマスターして、他の人と差をつけましょう！
数学が楽しくなった気がします
この度はコメントいただきありがとうございます。
当サイト記事がお役に立てておりましたら何よりです。
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