群数列とは？問題の解き方やコツ（分数の場合など）

 

(1)

\(k\) を自然数とすると、

全体の \(k\) 番目の奇数は \(2k − 1\) …①

 

\(n \geq 2\) のとき、第 \(n − 1\) 群までにある奇数の個数は

\(\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots + (n − 1) = \frac{1}{2} n(n − 1)\)

 

よって、第 \(n\) 群の最初の奇数は \(\displaystyle \frac{1}{2} n(n − 1) + 1\) 番目の奇数であるから、①より

\(\displaystyle 2 \left\{ \frac{1}{2} n(n − 1) + 1 \right\} − 1 = n^2 − n + 1\)

\(1^2 − 1 + 1 = 1\) より、\(n = 1\) のときも成り立つ。

 

答え：　\(\color{red}{n^2 − n + 1}\)

 

(2)

第 \(n\) 群は、初項 \(n^2 − n + 1\)、公差 \(2\)、項数 \(n\) の等差数列をなすから、

その総和は

\(\displaystyle \frac{1}{2} n \{2(n^2 − n + 1) + (n − 1) \cdot 2\}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} n(2n^2 − 2n + 2 + 2n − 2)\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} n \cdot 2 n^2\)

\(= n^3\)

 

答え：　\(\color{red}{n^3}\)

 

(3)

\(301\) は第 \(n\) 群の \(m\) 番目の奇数であるとすると

（見切れる場合は横へスクロール）

 

各辺から \(1\) を引いて

\(n(n − 1) \leq 300 < (n + 1)\{(n + 1) − 1\}\)

\(n(n − 1) \leq 300 < (n + 1)n\) …②

 

\(n \geq 1\) より \(n(n − 1)\), \((n + 1)n\) は単調に増加し、

\(17 \cdot 16 = 272\), \(18 \cdot 17 = 306\) より、

\(n = 17\) のときのみ②を満たす。

 

第 \(17\) 群の初項は \(17^2 − 17 + 1 = 273\)、

公差は \(2\) であるから

\(301 = 273 + (m − 1) \cdot 2\)

よって \(m = 15\)

 

したがって、\(301\) は第 \(17\) 群の \(15\) 番目に並ぶ数である。

 

答え：　第 \(\color{red}{17}\) 群の \(\color{red}{15}\) 番目

 

(1)

群数列の第 \(k\) 群までに現れる数の個数は

\(\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots + k = \frac{1}{2} k(k + 1)\)

よって第 \(k\) 群の末項は数列 \(\{a_n\}\) の第 \(\displaystyle \frac{1}{2} k(k + 1)\) 項である。

 

第 \(k\) 群は \(k, k + 1, k + 2, \cdots, 2k − 1\) で構成されるから、

\(99\) が第 \(k\) 群の末項であるとすると、

\(2k − 1 = 99\)

\(k = 50\)

よって、第 \(50\) 群の末項に初めて \(99\) が現れる。

 

\(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot 51 = 1275\) より

数列 \(\{a_n\}\) に初めて \(99\) が現れるのは第 \(1275\) 項

 

答え：　第 \(\color{red}{1275}\) 項

 

 

(2)

第 \(1999\) 項が第 \(l\) 群 \((l \geq 2)\) にあるとすると、

\(\displaystyle \frac{1}{2} (l − 1)l < 1999 \leq \frac{1}{2} l(l + 1)\)

\((l − 1)l < 3998 \leq l(l + 1)\)

\(l \geq 2\) より、これを満たすのは \(l = 63\)

 

このとき、

\(\displaystyle \frac{1}{2} (l − 1)l = \frac{1}{2} \cdot 62 \cdot 63 = 1953\) より

\(1999 − 1953 = 46\)

よって数列 \(\{a_n\}\) の第 \(1999\) 項は群数列において第 \(63\) 群の第 \(46\) 項である。

また、その数は

\(63 + (46 − 1) \cdot 1 = 108\)

 

答え：　

第 \(\color{red}{63}\) 群の第 \(\color{red}{46}\) 項、\(\color{red}{a_{1999} = 108}\)

 

(1)

分母が等しいものを群と考えると、

\(\displaystyle \frac{1}{2} \) \( \mid\) \(\displaystyle \frac{1}{4}, \frac{3}{4}\) \( \mid\) \(\displaystyle \frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{5}{8}, \frac{7}{8}\) \( \mid\) \(\displaystyle \frac{1}{16}, \frac{3}{16}, \frac{5}{16}, \cdots, \frac{15}{16}\) \( \mid\) \(\displaystyle \frac{1}{32}, \cdots\)

 

第 \(k\) 群には \(2^{k−1}\) 個の項があるから、

第 \(1\) 群から第 \(n\) 群までの項の総数は

\(\begin{align} 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n−1} &= \frac{2^n − 1}{2 − 1} \\ &= 2^n − 1 \end{align}\)

 

また、第 \(n\) 群の項の分母は \(2^n\)、

各群の \(k\) 番目の項の分子は \(2k − 1\) である。

 

ここで、

\(128 = 2^7\), \(2k − 1 = 13\) から \(k = 7\)

よって \(\displaystyle \frac{13}{128}\) は第 \(7\) 群の第 \(7\) 項である。

 

\((2^6 − 1) + 7 = 70\) より、元の数列では第 \(70\) 項

 

答え：　第 \(\color{red}{70}\) 項

 

 

(2)

第 \(n\) 群の項の和は

\(\displaystyle \frac{1}{2^n} \{1 + 3 + \cdots + (2 \cdot 2^{n − 1} − 1)\}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2^n} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2^{n − 1} \{1 + (2^n − 1)\}\)

\(= 2^{n − 2}\)

 

第 \(100\) 項が第 \(n\) 群の項であるとすると、(1) より

\(2^{n − 1} − 1 < 100 \leq 2^n − 1\)

\(2^{n − 1} < 101 \leq 2^n\)

これを満たす自然数 \(n\) は \(n = 7\)

 

\(n = 7\) のとき

\(2^{7 − 1} − 1 = 63\)

\(100 − 63 = 37\)

したがって、第 \(100\) 項は第 \(7\) 群の第 \(37\) 項である。

 

よって、求める和は

\(\displaystyle \sum_{k = 1}^6 2^{k − 2} + \frac{1}{2^7} \{1 + 3 + \cdots + (2 \cdot 37 − 1)\}\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \frac{2^6 − 1}{2 − 1} + \frac{1}{128} \cdot 37^2\)

\(\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot 63 + \frac{37^2}{128}\)

\(\displaystyle = \frac{63 \cdot 64 + 37^2}{128}\)

\(\displaystyle = \frac{5401}{128}\)

 

答え：　\(\color{red}{\displaystyle \frac{5401}{128}}\)