微分方程式とは?解き方(変数分離など)や一般解・特殊解の意味

この記事では、「微分方程式」についてわかりやすく解説していきます。

一般解・特殊解の意味や解き方のパターン(変数分離など)を説明していくので、ぜひマスターしてくださいね。

 

微分方程式とは?

微分方程式とは、ある関数とその導関数を含む方程式のことです。

つまり、\(x\) の関数 \(y\) とその導関数 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)(\(y’\))を含んだ式は微分方程式といえます。

この方程式を満たす関数 \(y\) がこの方程式の解であり、これを求めることを「微分方程式を解く」といいます。

 

微分方程式の解(一般解と特殊解)

微分方程式の解には、「一般解」と「特殊解」の \(2\) 種類があります。

  • 一般解
    任意定数を含む解。微分方程式のすべての解を表す。
  • 特殊解
    一般解のうち、初期条件(※)を満たす特定の解。微分方程式の解の \(1\) つ
    (※)ある \(x\) における \(y\) の値。任意定数を特定できる条件。

微分方程式には導関数が含まれますから、解を求めるには積分が必要であり、解は無数に存在します(不定積分)。

そのため、すべての解を総称して「一般解」と呼び、任意定数を使用して表現します。

一方、\(1\) つ \(1\) つの解である「特殊解」は、初期条件さえわかれば具体的に求められます。

補足

一階微分方程式の初期条件は、「\(\color{red}{y(a) = b}\)」というかたちで与えられることが多いです。

「\(x = a\) のとき、\(y = b\) である」ことを意味しています。

 

微分方程式の使い道

微分方程式は、多くの物理現象を解き明かすのに利用されます(自由落下・振動・流動など)。

また、エンジニアリング(工学)の分野でも非常に便利なツールです(材料の強度分析、機械の制御など)。

物理学や工学に興味のある人は、ぜひ理解しておきたいですね!

 

微分方程式の種類

微分方程式には、含まれる関数や導関数の分類に応じてさまざまな種類があります。

分類の仕方はいろいろとありますが、ここでは次の \(3\) つの分類を紹介します。

【分類①】階数

関数を微分する回数は「階数」と呼ばれ、「一階、二階…」などと数えられます(「一次、二次…」と数えることもあります)。

最大 \(n\) 階の導関数が含まれる微分方程式を「\(n\) 階微分方程式」といいます。

(例)

  • \(\color{salmon}{y’} = 2xy^2\) (一階微分方程式)
  • \(\color{salmon}{y’’} − y’ = \sin x\) (二階微分方程式)

階数が上がるほど計算の手間も増えるため、高校では「一階微分方程式」の問題がメインです。

補足

一般に、\(n\) 階微分方程式の一般解には \(n\) 個の任意定数が含まれます。

 

【分類②】線形性

微分方程式の次数に応じて、「線形微分方程式」と「非線形微分方程式」があります。

  • 線形微分方程式
    関数とその導関数についての一次式で表される方程式。
  • 非線形微分方程式
    関数とその導関数の二次以上の項も含む方程式。

微分方程式の中で関数 \(y\) や導関数 \(y’, \) \(y”, \cdots\) などを同じ変数とみたとき、一次方程式になっていれば「線形微分方程式」といえます。

(例)

  • \(x\color{salmon}{y} + \color{salmon}{y’} = 2x^3\) (線形微分方程式)
  • \(\color{salmon}{y”} + 3x^3\color{salmon}{y’} = \color{salmon}{y}\) (線形微分方程式)
  • \(2y’ + \color{skyblue}{y’y} = 0\) (非線形微分方程式)
  • \(y’ + \color{skyblue}{y^2} = 3x\) (非線形微分方程式)

線形性を確認するときは、\(x\) は定数と同じように見てくださいね!

 

【分類③】常微分・偏微分

関数に含まれる変数の数に応じて、「常微分方程式」と「偏微分方程式」があります。

  • 常微分方程式
    一変数関数とその導関数を含む方程式。
  • 偏微分方程式
    多変数関数とその偏導関数を含む方程式。

偏微分とは、多変数関数(\(2\) つ以上の変数をもつ関数)で特定の変数以外を定数とみなして微分することです。

高校では偏微分を習わないので、「常微分方程式」の問題がメインです。

 

微分方程式の種類の例

上記の分類①〜③を組み合わせて、微分方程式を呼び分けることができます。

(例)

  • \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2x − 3\) (一階線形常微分方程式)
  • \(y’ = 2xy^2\) (一階非線形常微分方程式)
  • \(y” + 3x^3y’ = y\) (二階線形常微分方程式)
  • \(\displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\) (二階線形偏微分方程式)

 

高校では、「一階常微分方程式」の問題がほとんどです。

一階常微分方程式のうち、最も代表的なパターンは次の \(2\) つです。

  1.  直接積分形
  2.  変数分離形

それぞれの形と解き方を順番に解説していきます。

 

直接積分形の微分方程式の解き方

「\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x)\)」のように、導関数と \(x\) の式だけで表せる微分方程式を「直接積分形」といいます。

解き方は非常にシンプルで、両辺を \(x\) で積分するだけです。

直接積分形の解法

[1] \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x)\) の形に変形する

 

[2] 両辺を \(x\) で積分する

 両辺を \(x\) について積分すると、

\begin{align}\displaystyle \int \frac{dy}{dx} \ dx = \int f(x) \ dx\end{align}

 \(\displaystyle \frac{dy}{dx} \ dx\) は分数のように約分でき、

\begin{align}\displaystyle \int dy = \int f(x) \ dx\end{align}

 \(f(x)\) の原始関数を \(F(x)\) とすると

 

\(y = F(x) + C\)(\(C\) は任意定数)…一般解

 

[3] 初期条件から \(C\) を決定し、特殊解を求める

 初期条件の \(x\), \(y\) を一般解に代入し、\(C\) を決定 …特殊解

 

例題「\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 3x + 1\)」

それでは、例題で流れを確認しましょう。

例題

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 3x + 1\) の一般解を求め、初期条件 \(y(0) = 2\) を満たす特殊解を求めよ。

 

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x)\) の形になっているので、直接積分形ですね。

まずは両辺を \(x\) で積分して、一般解を求めます。

そして、一般解に初期条件の値を代入して特殊解を求めましょう。

解答

 

\(\begin{align} y &= \int(3x + 1) \ dx \\ &= \frac{3}{2} x^2 + x + C \end{align}\)

 (\(C\) は任意定数)

 

よって、一般解は \(\displaystyle y = \frac{3}{2} x^2 + x + C\)

 

 

初期条件 \(y(0) = 2\) より

\(y(0) = C = 2\)

よって、特殊解は \(\displaystyle y = \frac{3}{2} x^2 + x + 2\)

 

答え: 

一般解 \(\color{red}{\displaystyle y = \frac{3}{2} x^2 + x + C}\)

特殊解 \(\color{red}{\displaystyle y = \frac{3}{2} x^2 + x + 2}\)

 

変数分離形の微分方程式の解き方

「\(\displaystyle f(y) \frac{dy}{dx} = g(x)\)」のように、左辺を \(y\) と \(y\) の導関数の積(または商)に、右辺を \(x\) の式に分離できる微分方程式を「変数分離形」といいます。

変数分離形の微分方程式を解く手順は次の通りです。

変数分離形の解法

[1] \(\displaystyle f(y) \frac{dy}{dx} = g(x)\) の形に変形する

 (変数分離形に落とし込める微分方程式についてはコチラ

 

[2] 両辺を \(x\) で積分する

 両辺を \(x\) について積分すると、

\begin{align}\displaystyle \int \left\{ f(y) \frac{dy}{dx} \right\} dx = \int g(x) \ dx\end{align}

\begin{align}\displaystyle \int f(y) \ dy = \int g(x) \ dx\end{align}

 \(f(y)\), \(g(x)\) の原始関数をそれぞれ \(F(y)\), \(G(x)\) とおくと

 

\(F(y) = G(x) + C\)(\(C\) は任意定数)一般解

 

 

[3] 初期条件から \(C\) を決定し、特殊解を求める

 初期条件の \(x\), \(y\) の値を一般解に代入し、\(C\) を決定…特殊解

\(y, y’\) と \(x\) を分離しておくことで、左辺は \(y\) についての積分にできるのですね。

 

例題「\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 3x^2 y\)」

それでは、例題を見てみましょう。

例題

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 3x^2 y\) の一般解を求め、初期条件 \(y(0) = 2\) を満たす特殊解を求めよ。

 

\(y\) を左辺にもってくれば、変数分離形になります。

両辺を \(y\) で割ることになるので、\(y = 0\) の場合だけ別に考えます。

解答

 

(i) \(y = 0\) のとき

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 0\) より、定数関数 \(y = 0\) は明らかに解である。

 

(ii) \(y \neq 0\) のとき

両辺を \(y\) で割ると、

\(\displaystyle \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 3x^2\)

 

変数が分離できたので、両辺を \(x\) で積分します。

(解答続き)

 

両辺を \(x\) について積分すると

\(\displaystyle \int \left( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \right) dx = \int 3x^2 \ dx\)

\(\displaystyle \int \frac{1}{y} \ dy = \int 3x^2 \ dx\)

\(\log |y| = x^3 + C’\) (\(C’\) は任意定数)

指数と対数の関係から、「\(y =\) 〜」に直せば一般解が求められます。

(解答続き)

 

\(\begin{align} y = \pm e^{x^3 + C’} \\ = \pm e^{C’} e^{x^3} \end{align}\)

 

\(\pm e^{C’} = C\) とおくと、

一般解は \(y = C e^{x^3}\) (\(C\) は任意定数)

最後に、初期条件の値を代入して特殊解を求めましょう。

(解答続き)

 

初期条件 \(y(0) = 2\) より

\(C e^{0^3} = C = 2\)

 

よって、特殊解は \(\begin{align} y = 2 e^{x^3} \end{align}\)

 

答え:

一般解 \(\color{red}{y = C e^{x^3}}\)

特殊解 \(\color{red}{y = 2 e^{x^3}}\)

 

変数分離形に落とし込めるパターン

微分方程式の中には、変数分離形に変形できるものが多くあります。

代表的なパターンを確認しましょう。

① \(\displaystyle \frac{dy}{dx}, f(y), g(x)\) の積や商が含まれる

このような微分方程式では、変数分離形を疑いましょう。

式変形によって左辺を \(y\) の式と \(y\) の導関数の積に、右辺を \(x\) だけの式に分離できるかもしれません。

  • \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{g(x)}{f(y)}\) → \(\color{red}{\displaystyle f(y) \frac{dy}{dx} = g(x)}\)
  • \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{f(y)}{g(x)}\) → \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{f(y)} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{g(x)}}\)
  • \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(y)g(x)\) → \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{f(y)} \frac{dy}{dx} = g(x)}\)
  • \(\displaystyle g(x) \frac{dy}{dx} = f(y)\) → \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{f(y)} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{g(x)}}\)

 

このとき、定数があっても問題ありません。

とにかく左辺に導関数 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\)(\(y’\))が残るように式変形を進めるのがポイントです。

(例)

  • \(y = xy’ + 1\)
    \(xy’ = y − 1\)
    \(\displaystyle y’ = \frac{y − 1}{x}\)
    \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{y − 1} y’ = \frac{1}{x}}\)
  • \(xy’ + y = y’ + 1\)
    \((x − 1)y’ = −y + 1\)
    \((x − 1)y’ = −(y − 1)\)
    \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{y − 1} y’ = −\frac{1}{x − 1}}\)
  • \(y’ = 2y^2\)
    \(\color{red}{\displaystyle \frac{1}{y^2} y’ = 2}\)

\(3\) つ目の例のように \(x\) が含まれていない場合でも、「\(\text{(定数)} = g(x)\)」ととらえると分離できますね。

 

② 変数の置き換えで変数分離形になる

別の変数に置き換えることで変数分離形にできることがあります。

こちらは高校数学の中ではかなり発展的な内容なので、必要な人だけ詳しく学ぶようにしましょう。

Tips
  • 同次形 \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = f\left( \frac{y}{x} \right)\)
    同次形とは、\(x\) と \(y\) の次数がそろっており、\(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) が \(\displaystyle \frac{y}{x}\) の関数として表せる微分方程式です。
    \(\displaystyle \frac{y}{x} = z\) に置き換えることで変数分離形にできます。
  • \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(ax + by + c)\)
    \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) が \(x\) と \(y\) の一次式で表せる微分方程式も、\(ax + by + c = z\) と置き換えることで変数分離形にできます。
  • \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{ax + by + c}{px + qy + r}\)
    \(\displaystyle \frac{dy}{dx}\) が、分母・分子ともに \(x\) と \(y\) の一次式で表せる微分方程式は、定数項 \(c\), \(r\) が消えるように変数を置き換えると、変数分離形にできます。

 

微分方程式の計算問題

それでは、最後に微分方程式の計算問題に挑戦しましょう。

計算問題①「\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{5}{x}\)」

計算問題①

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{5}{x}\) の一般解を求め、初期条件 \(y(1) = 2\) を満たす特殊解を求めよ。

 

これは \(\displaystyle \frac{dy}{dx} = f(x)\) の形なので、直接積分形ですね。

解答

 

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{5}{x}\) の両辺を \(x\) で積分すると、

\(\begin{align} y &= \int \frac{5}{x} \ dx \\ &= 5\log|x| + C \end{align}\)

 (\(C\) は任意定数)

 

初期条件 \(y(1) = 2\) より

\(2 = 5\log|1| + C\)

\(C = 2\)

 

よって、

\(y = 5\log|x| + 2\)

 

答え: 

一般解 \(\color{red}{y = 5\log|x| + C}\)\(\color{red}{C}\) は任意定数)

特殊解 \(\color{red}{y = 5\log|x| + 2}\)

 

計算問題②「\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = y\)」

計算問題②

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = y\) の一般解を求め、初期条件 \(y(−1) = 3\) を満たす特殊解を求めよ。

 

\(x\) がないよ?と思うかもしれません。

\(g(x) = 1\) と見ると、変数分離形として解くことができます。

解答

 

(i) \(y = 0\) のとき

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = 0\) より、定数関数 \(y = 0\) は明らかに解である。

 

(ii) \(y \neq 0\) のとき

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = y\) の両辺を \(y\) で割って、

\(\displaystyle \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 1\)

 

両辺を \(x\) で積分すると、

\(\displaystyle \int \left( \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} \right) dx = \int 1 \ dx\)

\(\displaystyle \int \frac{1}{y} \ dy = \int 1 \ dx\)

\(\log|y| = x + C’\) (\(C’\) は任意定数)

 

\(\begin{align} y &= \pm e^{x + C’} \\ &= \pm e^{C’} e^x \end{align}\)

 

\(\pm e^{C’} = C\) (\(C\) は任意定数)とおくと、

\(y = C e^x\)

 

初期条件 \(y(−1) = 3\) より

\(3 = C e^{−1}\)

\(C = 3e\)

 

よって、

\(\begin{align} y &= 3e \cdot e^x \\ &= 3 e^{x + 1} \end{align}\)

 

答え:

一般解 \(\color{red}{y = C e^x}\)\(\color{red}{C}\) は任意定数)

特殊解 \(\color{red}{y = 3 e^{x + 1}}\)

 

計算問題③「\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1 − x − y}{x + y}\)」

計算問題③

括弧内の置き換えを利用して、次の微分方程式を解け。

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1 − x − y}{x + y}\) (\(x + y = z\))

 

置き換えによって解く問題ですね。

置き換え後の変数で変数分離形を作ること、積分後に元の変数に戻すことがポイントです!

解答

 

\(z = x + y\) とおくと、元の式は

\(\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1 − z}{z}\) …①

と変形できる。

 

ここで、\(z = x + y\) を \(x\) について微分すると、

\(\displaystyle \frac{dz}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}\)

 

①を代入して

\(\displaystyle \frac{dz}{dx} = 1 + \frac{1 − z}{z} = 1 + \frac{1}{z} − 1 = \frac{1}{z}\)

\(\displaystyle \frac{dz}{dx} = \frac{1}{z}\) から

\(\displaystyle z \frac{dz}{dx} = 1\)

 

両辺を \(x\) について積分して、

\(\displaystyle \int \left( z \frac{dz}{dx} \right) dx = \int 1 \ dx\)

\(\displaystyle \int z \ dz = \int 1 \ dx\)

\(\displaystyle \frac{1}{2} z^2 = x + C’\)(\(C’\) は任意定数)

 

\(z = x + y\) に戻すと、

\(\displaystyle \frac{1}{2} (x + y)^2 = x + C’\)

\((x + y)^2 = 2x + 2C’\)

\(2C’ = C\) とおくと、

\((x + y)^2 = 2x + C\)

 

答え:

\(\color{red}{(x + y)^2 = 2x + C}\) \(\color{red}{C}\) は任意定数)

補足

答えは、無理に「\(y =\) ~ 」にする必要はありません。

\(x\) と \(y\) の関係式が示せていればOKです!

以上で微分方程式の解説は終わりです。

 

微分方程式は奥が深く、高校で勉強するのはほんの入り口です。

慣れてきたら、ぜひ多くの問題にチャレンジしてみてください!

2 COMMENTS

うどん

変数分離系の例題なのですが、計算ミスをしてませんか?
xに2を代入しているとおもいます

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Mu

この度はコメントいただきありがとうございます。
ご指摘を受け、該当部分を修正いたしました。

今後ともどうぞ当サイトをよろしくお願いいたします。

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