線形計画法とは？例題（文章題）の解き方をわかりやすく解説！

境界線の関数はそれぞれ

\(x + y = 1\) すなわち \(y = −x + 1\) …①

\(2x + y = 6\) すなわち \(y = −2x + 6\) …②

\(x + 2y = 4\) すなわち \(\displaystyle y = −\frac{1}{2} x + 2\) …③

①と②の交点は \((5, −4)\)

②と③の交点は \(\displaystyle \left( \frac{8}{3}, \frac{2}{3} \right)\)

③と①の交点は \((−2, 3)\)

よって不等式の表す領域は下図の斜線部である（ただし、境界を含む）。

ここで、\(2x + 3y = k\) …④ とおくと、

\(\displaystyle y = −\frac{2}{3} x + \frac{k}{3}\) より、これは傾き \(\displaystyle −\frac{2}{3}\)、\(y\) 切片 \(\displaystyle \frac{k}{3}\) の直線を表す。

図より、直線④が点 \(\displaystyle \left( \frac{8}{3}, \frac{2}{3} \right)\) を通るとき \(k\) は最大で、

\(\begin{align} k &= 2 \cdot \frac{8}{3} + 3 \cdot \frac{2}{3} \\ &= \frac{16 + 6}{3} \\ &= \frac{22}{3} \end{align}\)

また、直線④が点 \((5, −4)\) を通るとき \(k\) は最小で、

\(\begin{align} k &= 2 \cdot 5 + 3 \cdot (−4) \\ &= 10 − 12 \\ &= −2 \end{align}\)

答え：

最大値 \(\color{red}{\displaystyle \frac{22}{3}}\) (\(\color{red}{\displaystyle x = \frac{8}{3}, y = \frac{2}{3}}\) のとき)

最小値 \(\color{red}{−2}\) (\(\color{red}{x = 5, y = −4}\) のとき)

A を \(x\) 個、B を \(y\) 個作るとすると、

\(x \geq 0\) …①, \(y \geq 0\) …②

電力の制限から \(2x + 3y \leq 19\) …③

ガスの制限から \(2x + y \leq 13\) …④

この条件のもと、利益 \(7x + 5y\) (万円) を最大にする \(x\), \(y\) の値を求めればよい。

③の境界は \(2x + 3y = 19\) すなわち \(\displaystyle y = −\frac{2}{3} x + \frac{19}{3}\)

④の境界は \(2x + y = 13\) すなわち \(y = −2x + 13\)

それらの交点は \((5, 3)\)

よって、不等式①〜④の表す領域は以下の図の斜線部である（ただし、境界を含む）。

\(7x + 5y = k\) …⑤ とおくと、

\(\displaystyle y = −\frac{7}{5} x + \frac{k}{5}\) より、傾き \(\displaystyle −\frac{7}{5}\)、\(y\) 切片 \(\displaystyle \frac{k}{5}\) の直線を表す。

\(\displaystyle −2 < −\frac{7}{5} < −\frac{2}{3}\) であるから、直線⑤が点 \((5, 3)\) を通るとき \(k\) は最大となる。

このとき、

\(k = 7 \cdot 5 + 5 \cdot 3 = 35 + 15 = 50\) (万円)

答え：　A を \(\color{red}{5}\) 個、B を \(\color{red}{3}\) 個作るとき利益は最大値 \(\color{red}{50}\) 万円をとる