たすき掛けのやり方を徹底解説!因数分解の計算問題

この記事では、「たすき掛け」のやり方や問題の解き方を解説していきます。

豊富な計算問題で因数分解のテクニックを解説していくので、ぜひこの記事を通してマスターしてくださいね!

 

たすき掛けとは?

たすき掛け(たすきがけ)とは、二次式を因数分解するためのテクニックの \(1\) つです。

たすき掛け

\(Ax^2 + Bx + C = (ax + b)(cx + d)\) と因数分解できるとき、\(a\), \(b\), \(c\), \(d\) を以下のように求める方法を「たすき掛け」という。

 

 

【復習】二次式の因数分解とたすき掛け

二次式の因数分解には、次の \(5\) つの公式がありましたね。

このうち、\(x^2\) の係数と定数項が平方数(何かの \(2\) 乗)でない \(5\) つ目の公式でたすき掛けが役に立ちます。

二次式の因数分解の公式

  1. \(a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\)
  2. \(a^2 − 2ab + b^2 = (a − b)^2\)
  3. \(a^2 − b^2 = (a + b)(a − b)\)
  4. \(x^2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)\)
  5. \(\color{red}{acx^2 + (ad + bc)x + bd}\) \(\color{red}{= (ax + b)(cx + d)}\)
因数分解とは?公式や計算のやり方、問題の解き方

公式 \(1\) 〜 \(4\) のかたちなら、\(a\), \(b\) に当てはまる値が比較的簡単に思い浮かびます。

一方、公式 \(5\) のかたちだと、複数の値のかけ合わせを考える必要がありますね。

このような状況で、たすき掛けを使います。

 

たすき掛けのやり方【例題】

例題を通して、たすき掛けのやり方を解説していきます。

例題

\(4x^2 + 12x + 5\) を因数分解しなさい。

 

この問題は定数項が平方数でないので、因数分解の公式 \(1\) 〜 \(4\) には当てはまりません。

たすき掛けができないか試してみましょう。

STEP.1
たすき掛けの筆算を用意する

たすき掛けの準備です。

まず横線を引き、その下に「\(\bf{x^2}\) の係数定数項「\(\bf{x}\) の係数」の順に並べます。

今回は「\(4\)」→ 「\(5\)」→ 「\(12\)」の順ですね。

 

STEP.2
かけて x2 の係数になる 2 数を探す

かけ合わせると \(x^2\) の係数になる \(2\) 数(整数)の組み合わせを考えます。

例題では、かけ合わせて「\(4\)」になる \(2\) 数なので \((1, 4)\), \((2, 2)\), \((−1, 4)\), \((−2, 2)\) のペアが考えられますね。

マイナス同士のペアを見落としがちなので注意しましょう!

 

STEP.3
かけて定数項になる 2 数を探す

同じく、かけ合わせると定数項になる \(2\) 数(整数)の組み合わせを考えます。

例題における定数項は「\(5\)」ですので、\((1, 5)\), \((−1, −5)\) のペアが考えられます。

 

STEP.4
斜めにたすき掛けする

STEP.2、STEP.3 のペアの候補から \(1\) つずつ書き出し、斜め同士をかけ合わせます(「たすき掛け」の言葉の由来です)。

このとき、かけ合わせた \(2\) つの答えを足すと「\(x\) の係数」になるようなペアを見つけるのがポイントです。

見つかるまで、数のペアを組み替えて試してみましょう。

このペアではないようです。ほかを試しましょう。

 

\((2, 2)\), \((1, 5)\) の組み合わせでうまくいきましたね。

Tips

慣れるまでは、とにかく数のペアを試しましょう。

慣れてくると、不思議とすぐに正解のペアが思いつくようになりますよ。

 

STEP.5
答えを書く

筆算に当てはまる数のペアが見つかったら、もう因数分解はできたも同然です。

斜め同士でかけ算した \(4\) 数のうち、上側と下側がそれぞれ因数の係数部分となります。

よって答えは、\(4x^2 + 12x + 5 = \color{red}{(2x + 1)(2x + 5)}\) となります。

 

完了

以上がたすき掛けのやり方でした!

 

二次方程式の問題では、たすき掛けが \(100 \ \text{%}\) うまくいくとは限りません。

たすき掛けできない場合は、きれいなかたちに因数分解できないことを意味しています。

そのようなときは、因数分解はあきらめ、解の公式を使うようにしましょう。

補足

「二次方程式」や「解の公式」については、以下の記事を参考にしてください。

二次方程式とは?解き方(因数分解、解の公式など)や計算問題

 

たすき掛けの計算問題

それでは、計算問題でたすき掛けをマスターしましょう!

計算問題①「\(3x^2 − 14x + 15\) の因数分解」

計算問題①

\(3x^2 − 14x + 15\) を因数分解しなさい。

 

\(x^2\) の係数も定数項も平方数でないので、たすき掛けを試しましょう。

たすき掛けのやり方を \(1\) つ \(1\) つ確認しながら解いてみてくださいね。

解答

 

かけて \(3\) になる数の組み合わせは

\((1, 3)\), \((−1, −3)\)

 

かけて \(15\) になる数の組み合わせは

\((1, 15)\), \((−1, −15)\), \((3, 5)\), \((−3, −5)\)

 

\((1, 3)\)、\((−3, −5)\) の組み合わせでたすき掛けすると、

 

よって、

\(3x^2 − 14x + 15 = (x − 3)(3x − 5)\)

 

答え: \(\color{red}{(x − 3)(3x − 5)}\)

 

計算問題②「\(3x^2 − 4xy + y^2 + 2x − 6y − 16\) の因数分解」

計算問題②

\(3x^2 − 4xy + y^2 + 2x − 6y − 16\) を因数分解しなさい。

 

\(x\), \(y\) の \(2\) 変数が含まれる二次式です。

\(x\) の二次式とみて整理すると、定数項が \(y\) の二次式となり、因数分解できます。

たすき掛けする際は、\(y\) は変数ではなくただの数字として扱うのがポイントです。

解答

 

\(x\) について整理すると、

\(3x^2 − 4xy + y^2 + 2x − 6y − 16\)

\(= 3x^2 + (−4y + 2)x + y^2 − 6y − 16\)

\(= 3x^2 + (−4y + 2)x + (y + 2)(y − 8)\)

 

\(x\) の二次式とみて、たすき掛けを行う。

かけて \(3\) になる数の組み合わせは

\((1, 3)\), \((−1, −3)\)

 

かけて \((y + 2)(y − 8)\) になる数の組み合わせは

\((y + 2, y − 8)\), \((−(y + 2), −(y − 8))\)

 

\((1, 3)\)、\((−(y + 2), −(y − 8))\) の組み合わせでたすき掛けすると

 

よって、

\(3x^2 + (−4y + 2)x + (y + 2)(y − 8)\)

\(= \{x − (y + 2)\} \{3x − (y − 8)\}\)

\(= (x − y − 2)(3x − y + 8)\)

 

答え: \(\color{red}{(x − y − 2)(3x − y + 8)}\)

 

計算問題③「\(2(x^2 + y^2) + 4xy − 5(x + y) − 3\) の因数分解」

計算問題③

\(2(x^2 + y^2) + 4xy − 5(x + y) − 3\) を因数分解しなさい。

 

まずは展開して、\(x\) の二次式とみて整理しましょう。

そうすると、定数項の部分(\(y\) の二次式)、全体(\(x\) の二次式)の \(2\) か所がたすき掛けで因数分解できます。

解答

 

\(x\) について整理すると、

\(2(x^2 + y^2) + 4xy − 5(x + y) − 3\)

\(= 2x^2 + 2y^2 + 4xy − 5x − 5y − 3\)

\(= 2x^2 + (4y − 5)x + 2y^2 − 5y − 3\) …(*)

 

ここで、定数項 \(2y^2 − 5y − 3\) について、

\(2y^2 − 5y − 3 = (y − 3)(2y + 1)\)

 

よって、

(*) \(= 2x^2 + (4y − 5)x + (y − 3)(2y + 1)\)

 

ここで、全体を \(x\) の二次式とみてたすき掛けすると

(*)

\(= \{x + (y − 3)\} \{2x + (2y + 1)\}\)

\(= (x + y − 3)(2x + 2y + 1)\)

 

答え: \(\color{red}{(x + y − 3)(2x + 2y + 1)}\)

以上で問題も終わりです!

 

たすき掛けは、因数分解する際にとても便利なテクニックです。

この記事でしっかりと復習して、必ずマスターしておきましょうね!

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